线性代数第三章B1课件.ppt
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- 线性代数 第三 B1 课件
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1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、线性方程组的消元法线性方程组的消元法 一、一、线性方程组的矩阵表示线性方程组的矩阵表示mn的矩阵表示为的矩阵表示为AXb()11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xbaxaxaxbaxaxaxb12mbbbb111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa其中其中:系数矩阵系数矩阵12nxxXx11121121222212nnmmmnmaaabaaabBaaab增广矩阵增广矩阵常常数数矩矩阵阵未未知知量量阵阵第一次课第一次课机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、线性方程组二、线性方程组 是否有解是否有解AX
2、b12312311.220 xxxxxx有解有解,但不止一个但不止一个,例如例如12301,2xxx123122xxx是解是解.121212.223xxxx无解无解.三、线性方程组三、线性方程组 解法解法:AXb1.A为方阵为方阵,当当|A|0 0 时可用时可用Cramer法则法则;2.A为方阵为方阵,当当|A|0 0 时时1AXbXA b3.消元法消元法机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、四、A X=b 有解的判别法有解的判别法,及解的求法及解的求法12312312311)2313324xxxxxxxxx 1.1.引例引例:用消元法解下列线性方程组用消元法解下列线性方程组-2-31232
3、33101001xxxxxx 213123rrrr其解为其解为123201xxx 有解时看出有解时看出111101110011111121313324(|)BA b()(|)3()r Br A br A机动 目录 上页 下页 返回 结束 123123123212)3421112173xxxxxxxxx-2-1112rr无解时看出无解时看出211113421112173(|)BA b()(|)3()2r Br A br A 123123123342211112173xxxxxxxxx1342211111121731232323342793212719xxxxxxx 2131211rrrr1342
4、0793021271912323342793010 xxxxx -3323rr1342079300010机动 目录 上页 下页 返回 结束(1)Th1.1:线性方程组:线性方程组 AX=b 有解有解()(|)r Ar A b2.线性方程组有解的判别法线性方程组有解的判别法(2)Th1.2:方程组:方程组 AX=b 对应矩阵为对应矩阵为(A|b););则则 AX=b b 与与BX=p 同解同解.如果如果初等行变换初等行变换(|)(|)A bBp书书:P:P116 116 例例2,例例3机动 目录 上页 下页 返回 结束 1234512345134532224453xxxxxxxxxxxxxx【例
5、例1】解线性方程组解线性方程组21312rrrr1 111 322 211441 01 51 3(|)A b 解解:323(1)rrr 2(1)r 13232rrrr1 1 11 320 1 26 410 0 13 201 1 02120 1 00010 0 13 2011113200132 001264 112rr1 0 02130 1 00010 0 13 20机动 目录 上页 下页 返回 结束 得等价方程为得等价方程为1 0 02130 1 00010 0 13 201452345231320 xxxxxxx 145234523132xxxxxxx 其中其中x4,x5为自由未知量为自由未
6、知量令令 x4=c1,x5=c2 则方程组的全部解则方程组的全部解(通解通解)为为1122312415223132xccxxccxcxc12213001320100010cc机动 目录 上页 下页 返回 结束 五、五、线性方程组解的个数线性方程组解的个数(一)(一)A X=b 解的情况解的情况11121121222212(|)nnmmmnmaaabaaabA baaab111121221111100rnrnr rrnrrccdccdccdd行变换行变换()r Ar1.1.分析分析:(1):(1)如果如果dr+10,从而从而(|)1()r A brr Ar ,故无解故无解(2)(2)如果如果dr
7、+1=0,若若 r=n,即即 r(A)=r(A|b)=n,方程有唯一解方程有唯一解 若若 r n,即即 r(A)=r(Ab)=r n时时,证明证明:设设m个个n维向量组为维向量组为 A,则则 r(A)min(m,n)=n s(1)向量组向量组 A 能被能被 B 线性表示线性表示,则向量组则向量组12,ma aa 必线性相关必线性相关.如果如果2.推论推论1:如果向量组如果向量组12,sb bb 能被能被12,ma aa 12,:,sB b bb 线性表示线性表示,且且12,ma aa 线性无关线性无关,那么那么.ms3.推论推论2:两个等价无关的向量组两个等价无关的向量组,的向量的向量.必含有
8、相同个数必含有相同个数第四次课第四次课机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.定义定义3.1:给定向量组给定向量组 A,如果如果向量组向量组并且并且 A中任意中任意 r+1个向量个向量的一个最的一个最(极极)大无关组大无关组.二、最二、最(极极)大无关组大无关组012:,rAa aa 2.定理定理3.2:一个向量组的任意两个最大无关组一个向量组的任意两个最大无关组(如果如果存在的话存在的话)是等价的是等价的.3.定理定理3.3:一个向量组的任意最大无关组都含有相同一个向量组的任意最大无关组都含有相同个数的向量个数的向量A中存在中存在 r 个线性无关的个线性无关的(如果存在的话如果存在的话)都线
9、性相关都线性相关,那么向量组那么向量组 A0 称为称为A4.定义定义3.1:向量组的最大无关组所含向量的个数向量组的最大无关组所含向量的个数,称为称为向量组的秩向量组的秩,记为记为:12()(,)rr Ar a aar 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.定义定义3.2:矩阵的行秩就是矩阵行向量的秩矩阵的行秩就是矩阵行向量的秩.三、矩阵的秩与向量组的秩的关系三、矩阵的秩与向量组的秩的关系1 1 3 10 21 40 0 0 50 0 0 0A1234(1,1,3,1),(0,2,1,4),(0,0,0,5),(0,0,0,0)aaaa由由1 1310 21 43,0 005r设矩阵设矩阵又
10、因为又因为40a 123,a a a 线性无关线性无关,可知可知行向量为行向量为线性相关线性相关,1234,a a a a 所以所以故行向量组的秩为故行向量组的秩为3矩阵的列秩就是矩阵列向量的秩矩阵的列秩就是矩阵列向量的秩.机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1310 21 40 0050 000A列向量为列向量为123411310214,00050000bbbb 所以列向量组所以列向量组1234,b b b b 1110243005000r由由124,b b b 线性无关线性无关,可知可知线性相关线性相关,可知可知1234,b b b b 由由1 1 3 10 21 430 0 0 50
11、 0 0 0r2.定理定理3.4:对于任意矩阵对于任意矩阵m nA,都有都有:A的秩的秩=A的行秩的行秩=A的列秩的列秩的秩为的秩为3.机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.性质性质1:只含只含0向量的向量组没有最大无关组向量的向量组没有最大无关组,规定规定四、性质四、性质2.性质性质2:向量组与它的任意一个最大无关组等价向量组与它的任意一个最大无关组等价.3.性质性质3:向量组线性无关向量组线性无关它的秩等于向量的个数它的秩等于向量的个数.它的秩为它的秩为0.机动 目录 上页 下页 返回 结束【例例11】求向量组求向量组的最大无关组的最大无关组,解解:12345(,)a a a a a 初
12、等行变换初等行变换345(0,1,1,1),(1,3,2,1),(2,6,4,1)TTTaaa 12(1,1,0,0),(1,2,1,1)TTaa 并将其余向量用最大无关组线性表示并将其余向量用最大无关组线性表示.11 01 21 2 1 3 60 1 1 2 401 1 11 1 1 0 1 20 1 1 2 40 0 0 1 10 0 0 0 0 所以最大无关组为所以最大无关组为124,a aa如果要将其余向量用最大如果要将其余向量用最大无关组线性表示无关组线性表示.1 0 1 0 10 1 1 0 20 0 0 1 10 0 0 0 0初等行变换初等行变换312,aaa51242aaaa
13、机动 目录 上页 下页 返回 结束 五、向量组秩的重要结论五、向量组秩的重要结论2.推论推论1:两个等价的向量组有相同的秩两个等价的向量组有相同的秩.反之不然反之不然.1.定理定理3.5:向量组向量组 A 能由能由 B 线性表示线性表示,则则A 能由能由 B 线性表示线性表示,则则1212(,)(,)msr a aar b bb ()()orr Ar BA 的秩不大于的秩不大于B 的秩的秩.12:,mA a aa 12:,sB b bb 即即:设设()(),()()r Cr Ar Cr B3.推论推论2:设设m nm ss nCAB,则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 B 线性无关线性无关
14、,且向量组且向量组 A 能由向量组能由向量组 B 线性表示线性表示,4.推论推论3:设向量组设向量组 B 是向量组是向量组 A 的部分组的部分组,若向量组若向量组则则 B 是是 A 的一个最大无关组的一个最大无关组.证明证明:设设 B 含有含有 r 个向量个向量,则它的秩为则它的秩为 r,因为因为 A 能被能被 B 线性表示线性表示,故向量组故向量组 A 的秩的秩,r所以所以 A 组中任意组中任意 r+1 个向量都线性相关个向量都线性相关,从而由定义可知从而由定义可知 B 是是 A 的一个最大无关组的一个最大无关组.【例例12】已知已知121223540264(,),(,)11533195aa
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