线性代数第二章C课件.ppt

1、v2.1 n维向量空间v2.2 线性相关性v2.3 向量组的秩v2.4 子空间v2.5 欧式空间v2.6 线性方程组解的结构2.1 n 维向量空间维向量空间v定义2.1 n个数构成的有序数组 称为一个n维向量，其中第i个数ai 称为这个向量的第i个分量.),(21naaa用小写的希腊字母 等表示向量空间行向量：列向量：,),(21naaanaaa21Question知道两个或多个向量，如何定义两个向量相等？v定义定义 2.2 如果n维向量的对应分量都相等，即就称这个两个向量是相等的，记作 ),(21naaa),(21nbbb),2,1(nibaii上面我们学习了n维向量的定义和n维向量相等的概

2、念下面来学习一下如何进行n维向量的运算v定义定义2.3 (1)加法 设是两个n维向量，规定 称为 的和),(21naaa),(21nbbb),(2211nnbababa,(2)向量与数的乘法(简称数乘)设k是一个数，规定 称为 与 的数量乘积.),(21nkakakakkkv线性运算：向量的加法和数乘.向量的加法满足 交换律：结合律：)()(v零向量：分量全部为零的向量 )0,0,0(v负向量v满足v向量的减法：),(21naaa),(21naaa0)()(v向量的数乘：v向量的数乘与加法满足：1)()(kllklklkkkk)()(v向量运算的性质：k)1(0v上面就是我们学习的线性运算的一

3、些性质v下面我们再来学习一个重要的定义：n维向量空间v定义定义2.4：用Rn表示n维向量全体构成的集合，在其中可以进行线性运算，称为n维向量空间维向量空间.当n=3时，三维向量空间就可以认为是一个三维几何空间.上面我们介绍向量空间的一些性质，线性相关性.线性表出.2.2 线性相关性线性相关性v定义定义2.5:设 都是n维向量.如果 可以表示成：则称 是 的一个线性组合，或称 可以由 线性表出.,21ssskkk2211s,21s,21v如果向量 可由向量 表示：成比例.k,下面我们再来看一下n维基本向量的概念.v设n维向量则所以 是 的一个线性组合.称为n维基本向量.),(),1,0,0,0,

4、0(),0,0,0,1,0(),0,0,0,0,1(2121nnaaannaaa2211n,21n,21v例例2.4 设问 能否由 线性表出？)1,4,3,2()4,5,1,2(),5,2,1,2(),4,3,2,1(321321,要判断一个n维向量 能否由线性表出，需要解一个线性方程组这就转化到第一章所学习的内容下面我们来学习一下如何建立这个线性方程组s,21v设 求 使得),(),(),(),(2122221211211121snsssnnnaaaaaaaaabbbsxxx,21ssxxx2211线性方程组11 121211121222221122ssssnnsnsna xa xa xba

5、 xa xa xba xa xa xb根据第一章所学到的知识线性方程组解有三种情况：(1)无解(2)唯一解(3)无穷多解v 能否由 线性表示 也有三种情况：(1)不能表示 (无解)(2)唯一表示 (唯一解)(3)无穷多种情况 (无穷多解)s,21下面我们再介绍一个重要的概念：线性相关线性相关是由前面的线性组合或线性表出演变而来v定义定义2.6 设 是一组维数相同的向量.如果有不全为零的数 使得则称向量组 线性相关线性相关.s,21skkk,2102211sskkks,21其实线性相关可以看成是一个零向量由一组向量线性表出.线性相关对应于齐次线性方程组的情况11 1212112 12222112

6、2000ssssnnsnsa ka ka ka ka ka ka ka ka k齐次线性方程组对应两种解的情况：(1)零解(线性无关)(2)无穷多解(线性相关)v例例2.7 向量组)1,6,1,2(),4,3,1,4(),1,3,0,2(321 向量组的线性相关性，有以下几个重要的结论：(1)包含零向量的向量组一定是线性相关的.(2)N个n维基本向量 是线性无关的.n,21上面我们学习了线性相关性的概念，同学们我们再来学习什么是线性无关？v定义定义2.7 如果向量组 不是线性相关的，就称是线性无关的线性无关的.也就是说，如果等式 只有当 时才成立，就称 是线性无关的线性无关的.s,210221

7、1sskkk021skkks,21这时齐次线性方程组对应于只有零解的情况11 1212112 122221122000ssssnnsnsa ka ka ka ka ka ka ka ka kv例例2.8 设问 是否线性相关.)2,2,1,3(),2,1,3,2(),1,3,2,1(321321,v例例2.9 设判断 是否线性相关.)4,3,1,3()2,6,2,0(),4,2,1,1(),2,4,1,1(43214321,n维向量定义行向量列向量向量相等向量的加法向量的数乘零向量负向量n维向量空间线性表出n维基本向量线性相关线性无关线性相关性和线性表出定理定理2.1就给出线性相关性和线性表出之

8、间的关系v定理定理2.1 向量组 线性相关的充分必要条件：充分必要条件：是 中有一个向量有一个向量可以被其余的向量线性表示.)2(,21sss,21如果 是线性无关的那么 中每一个向量都不可能被其余向量线性表出.线性无关充分必要条件)2(,21ss)2(,21ss 注意注意定理定理2.1有一个向量被其它向量线性表出但并不是每一个向量都可以由其余向量表出对这个问题，定理定理2.2给出了一个常用结论v定理定理2.2 如果向量组 线性无关，而 线性相关则 可由 线性表示.s,21,21ss,21表法唯一表法唯一当一个向量能被一组向量表示关于表法唯一有下面这个定理定理2.3v定理定理2.3 设 可由向

9、量组 线性表出，则表法唯一的充分必要条件是：线性无关.s,21s,212.3 向量组的秩向量组的秩v定义定义2.8 如果向量组 中每一个向量 都可以由向量组 线性表出，就称向量组 可以由向量组 线性表出.如果两个向量组可以互相线性表出互相线性表出，就称它们是等价的等价的.s,21),2,1(siit,21s,21t,21 (1)每一个向量组都可以由它自身线性表出.(2)任意一个n维向量组 都可以由基本向量组 线性表出.s,21n,21如果向量 可以由向量组 线性表出，而向量组 又可由向量 组 线性表出，那么 可以由 线性表出.t,21t,21p,21p,21v向量组之间的等价关系有3个性质:(

10、1)反身性 (2)对称性 (3)传递性向量线性表出的关系向量组中所包含的向量个数定理定理2.4v定理定理2.4 设 与 是两个向量组，如果：(1)向量组 可以由 线性表出,(2)那么向量组 一定线性相关.s,21t,21s,21t,21ts s,21v推论推论 2.1 如果向量组 可由向量 组 线性表出，而且线性无关，那么v推论推论2.1其实就是定理定理2.4的另一种说法.s,21t,21ts v推论推论 2.2 任意n+1个n维向量必线性相关证明证明 因为每个n维向量可以被n维基本向量线性表出；n+1相当于st所以由定理定理2.4可知：任意n+1个n维向量必线性相关因此，多于n个n维向量一定

11、也是线性相关的线性无关的n维向量组最多包含n个向量v推论推论 2.3 等价的线性无关的向量组，一定包含相同个数的向量.设 是一个向量组，由其中一部分向量组组成的向量组称为这个向量组的一个部分一个部分组组.(1)如果向量组线性无关，则部分组一定 线性无关线性无关;(2)如果一个部分组是线性相关的，那么原来向量组也一定是 线性相关线性相关;(3)原向量组线性相关，但部分组 不一定线性相关不一定线性相关.s,21v定义定义2.9 向量组的一个部分组，如果：(1)这个部分组本身是线性无关的；(2)但是再从原向量组的其余向量中任取一个添进去以后，所得到的部分组都是线性相关.极大线性无关组 结论结论 一个

12、向量组的极大线性无关组 不一定是 唯一的由极大线性无关组的定义 结论：(1)一个线性无关的向量组的极大线性无关组就是它本身；(2)完全由零向量组成的向量组没有极大线性无关组.一个向量组的极大线性无关组不一定是唯一的，那么同一个向量组的极大线性无关组之间有什么关系呢？下面定理定理2.5就给出了这种关系.定理定理2.1 线性相关与线性表出的关系定理定理2.2 线性无关与线性表出的关系定理定理2.3 表法唯一的定理定义定义2.8 向量组等价v定理定理2.4v推论推论 2.1 v推论推论 2.2v推论推论 2.3v极大线性无关组极大线性无关组v定理定理2.5 (1)向量组的任意一个极大线性无关组都与向

13、 量组本身等价.(2)向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的，因此包含相同个数的向量.定理定理2.5表明：(1)一个向量组可能有几个极大线性无关组 (2)极大线性无关组所含的数量却是一样的.这就引出了秩的概念.v定义定义2.10 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.只含零向量的向量组的秩定为零.,21sr由定义定义2.10 可知：线性无关的向量就是它自身的极大线性无关组，所以一个向量组线性无关的充分必要条件是它的秩等于它所含的向量个数.v由定理定理2.5 可知：每一个向量组都与它的极大线性无关组等价，由等价的传递关系可知 任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价 等价的向

14、量组必有相同的秩.v设 是一个 矩阵:AnssnssnnaaaaaaaaaA212222111211 称为 的行向量 向量组 称为的 行向量组),(),(),(21222212112111snsssnnaaaaaaaaa),2,1(siiAs,21Av定理定理2.6 矩阵的 秩等于它的行向量组的秩Av例例2.11 设求向量组 的秩.),3,0,2,1,2(),3,4,8,5,2(),5,4,7,4,4(),1,1,2,1,1(4321421,2.4 子空间子空间v定义定义 2.11 设 是 维向量空间 的一个非空子集.如果：(1)对任意 ，都有 ；(2)对任意 ，都有 .则称 是 的一个子空间

15、.VnnRV,VRkV,VkVnR第一个条件 对加法封闭第二个条件 对数乘是封闭 对线性运算封闭VVVv例例2.12 只包含一个零向量的集合 是一个子空间，称为零子空间.是它自身的子空间.这两个子空间称为 的平凡子空间.其它的子空间称为非平凡子空间.0nRnRv例例2.13 设 的子集 求证 是 的一个子空间.nR2|),(12321aaaaaaVnVnRv例例2.14 设 是 中的一组向量,用 表示 的全部线性组合所生成的集合:是 的一个子空间.s,21nRVs,212211sskkkVVnRv定义定义2.12 设 是一个向量空间，如果在 中有 个线性无关的向量，而 中任意 个向量都是线性相

16、关的.那么就称 为 维向量空间.向量空间 的维数记作VVdV1ddVVVdim 维向量空间 中任意 个线性无关的向量称为 的一组基.零空间的维数规定为0，没有基.的维数 dVdVnR2.5 欧氏空间欧氏空间v定义定义2.13 设 是向量空间中两个向量，的内积规定为 ),(),(2121nnbbbaaa,nnbababa2211),(v向量内积具有下列性质:).,(),)(3(),(),(),)(2(),(),)(1(1121kkv定义定义2.14 如果向量 与 的内积为0，即 ，则称 与 正交.0),(v定义定义2.15 设 是一个n维向量，令 称为 的长度.如果 ，则 称为单位向量.),(2

17、1naaa),(1(1)单位化 (2)夹角(3)距离),(),cos(),(dv定义定义2.16 如果向量组 中任意两个向量都正交，而且每个 都不是零向量.那么，这个向量组就称为正交向量组；由单位向量构成的正交向量组称为正交单位向量组.s,21),2,1(siiv欧几里德空间：欧几里德空间：在 维向量空间 及其子空间中引进内积.nnR前面学习了n维向量空间的概念，下面我们利用上面的知识，来讨论线性方程组解的结构.解的结构：唯一解：无解的结构无穷多解：解的结构消元法求出一般解，给出了每个解的一般表达式并求出解的集合.利用向量的概念证明，方程组无穷多解，可以用有限多个解表出.2.6 线性方程组解的

18、结构线性方程组解的结构 (2.22)000221122221211212111nsnssnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa(1)两个解的和还是方程组的解(2)解的倍数还是方程组的解 齐次线性方程组(2.22)的解集合，对于线性运算是封闭的，成为的一个 子空间.nRv定义定义2.17 齐次方程组(2.22)的解的全体构成的一个 子空间，称为(2.22)的解空间.v子空间取决于维数和基.v只有零解，零子空间，维数为0.v当有无穷多解时，引出下面的概念nRv定义定义2.18 设 是齐次线性方程组(2.22)的一组解，如果：(1)线性无关;(2)方程组(2.22)的任一个解都能表示成 的线性

19、组合.则 称为方程组(2.22)的一个基础 解系.t,21t,21t,21t,21v条件(2)保证方程组全部解都可以由 线性表出v条件(1)保证基础解系中没有多余的解 基础解系就是解空间的基t,21关于解空间的维数和如何求出基础解系定理定理2.11给出了具体的过程v定理定理 2.5v定义定义 2.10v定理定理 2.6v定义定义 2.11 子空间子空间v欧氏空间欧氏空间v线性方程组解的结构线性方程组解的结构v定义定义 2.17v定义定义 2.18v定理定理2.11 如果齐次方程组(2.22)有非零解，那么它一定有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于n-r，这里r表示系数矩阵的秩.v证明：设方

20、程组的系数矩阵的秩为r.0,0,0112112222211111212111nrnrrrrrrnnrrrrnnrrrrxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxa (2.23).,112112222211111212111nrnrrrrrrnnrrrrnnrrrrxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxav如果r=n，无基础解系v如果rn，此时有无穷多解v此时有n-r个自由未知量：nrrxxx,21将自由未知量任意一组值解出唯一解),(21nrrcccrxxx,21v在方程组(2.23)中分别用n-r个数v代替自由未知量)1,0,0(,),0,1,0(),0,0,1(nrrxxx,2

21、1).1,0,0,(),0,1,0,(),0,0,1,(,1,22121111rrnrnrnrrccccccv齐次线性方程组的(2.22)的全部解是：如果是 一个基础解系，那么解空间就是 2211rnrnkkkrn,21),(21rnLv例例2.16 求线性方程组 的一个基础解系，并用基础解系表示出全部解.062345,0632,0323,0543215432532154321xxxxxxxxxxxxxxxxxx一般线性方程组 (2.31)snsnssnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111导出组000221122221211212111nsn

22、ssnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxav一般线性方程组和导出组的解之间的关系(1)线性方程组(2.31)的两个解的差是它的导出组(2.22)的解.(2)线性方程组(2.31)的一个解与它的导出组(2.22)的一个解的和是方程组(2.31)的解.v定理定理2.12 如果 是线性方程组(2.31)的一个解，那么方程组(2.31)的任一个解都可以表示成：为导出组的一个解.00v线性方程组的全部解：v线性方程组解的集合：v 称为线性方程组的特解rnrnkkk2211022110rnrnkkk0v例例2.18 求方程组的全部解.32252,5223,4322,22543215432154321

23、54321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxv基础解系基础解系v导出组导出组v一般线性方程组的解一般线性方程组的解求线性方程组的解空间0,0532,022,02431432143214321xxxxxxxxxxxxxxx0253,06533,022,0434543215432143215421xxxxxxxxxxxxxxxxxx用导出组的基础解系表出方程组的全部解235,122,0,2553432143243214321xxxxxxxxxxxxxxx532,325,63223,124321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx设证明：与基本向量组等价且证明 线性无关)1

24、,1,1,1,1()0,0,0,1,1()0,0,0,0,1(21nn,21n,21设其中 都不为零证明 线性无关),()0,()0,0,()0,0,0,(1,2,1,1,12,11,1122212111nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannaaa,2211n,21已知 线性无关证明321,313221,设向量组 满足(1)(2)每个 都不能由它前面的向量线性表出，即不能由 线性表出 证明：线性无关s,2101),3,2(sii121,ii,21设向量组 可由向量组 线性表出证明s,21t,21,2121tsrr证明,121121tsstssrrr用导出组的基础解系表出方程组的全部解235,122,0,2553432143243214321xxxxxxxxxxxxxxx135554,7322,115445,124321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx532,325,63223,124321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx设向量组 可由向量组 线性表出证明s,21t,21,2121tsrr证明,121121tsttssrrr