线性代数第6章-二次型及其标准形课件.ppt

1、6.1 二次型及其标准形二次型及其标准形引言引言判别下面方程的几何图形是什么？判别下面方程的几何图形是什么？)1(103222 yxyx6,)cos()sin()sin()cos(yxyyxx作旋转变换作旋转变换代入代入(1)左边，化为：左边，化为：12041021252222 yxyx见下图见下图xyxy称为称为n维维(或或n元元)的的二次型二次型.nxxx,21含有含有n个变量个变量 的二次齐次函数的二次齐次函数nnnxxaxxaxaxxxf11211221112122,关于二次型的讨论永远关于二次型的讨论永远在实数范围内进行！在实数范围内进行！nnxxaxxaxa223223222222

2、2nnnxa例如：例如：22(,)45f x yxxyy22(,)2f x y zxyxzyz1234122324(,)f x xxxx xx xx x 都是二次型。都是二次型。22(,)5f x yxy22(,)22f x yxyx 不是二次型。不是二次型。2211111222121122211222212 nnnnnnnnnnnfaaxaxaxaxxaxxxxxaaaxxxxx ijjiaa 取取2ijijijijjiija x xa x xa x x则则则（则（1）式可以表示为）式可以表示为11112211()nna xa xxxa21122222()nna xa xxxa 1122()

3、nnnnnna xa xxa x,1nijiji ja x x 二次型用和号表示二次型用和号表示11112212112222121122(,)nnnnnnnnnna xa xa xa xa xa xx xxa xa xa x 1111212122221212(,)nnnnnnnnxaaaaaaxx xxaaax 12 nxxXx 111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 令令 TfX AX 则则其中其中 为对称为对称矩阵。矩阵。A二次型的矩阵表示（重点）二次型的矩阵表示（重点）注注1、对称矩阵、对称矩阵A的写法：的写法：A一定是一定是方阵方阵。2、其对角线上的元素、其对角线上的

4、元素iia恰好是恰好是nixi,2,12的系数。的系数。3、jixx的系数的一半分给的系数的一半分给.jia可保证可保证.jiijaa 1123231-20(,)-201/2 01/2-3xxxxxx 22123131223 (,)34f x xxxxx xx x例如例如：二次型：二次型注：二次型注：二次型 对称矩阵对称矩阵把对称矩阵把对称矩阵 称为称为二次型二次型 的矩阵的矩阵Af也把二次型也把二次型 称为对称矩阵称为对称矩阵 的二次型的二次型fA对称矩阵对称矩阵 的秩称为的秩称为二次型二次型 的秩的秩Af TfX AX 二次型二次型定义定义2：例例1写出下面二次型写出下面二次型 f 的矩阵

5、表示，并求的矩阵表示，并求 f 的秩的秩r(f)。解解3231213322211410695xxxxxxxxxf AxxxxxxxxT 321321975753531,BxxxxxxxxxxxfT 321321321987654321,),(2)r()r(Af：在二次型在二次型 中中,如不限制如不限制 A对称对称,A唯一吗唯一吗?AxxfT 只含平方项的二次型只含平方项的二次型2222211nnxkxkxkf nnnxxkkxx111,称为二次型的称为二次型的标准形标准形(或法式或法式)。平方项系数只在平方项系数只在 中取值的标准形中取值的标准形0,1,1 221221rppxxxxf (：这

6、里规范形要求系数为：这里规范形要求系数为1的项排的项排在前面，其次排系数为在前面，其次排系数为-1的项。的项。)称为二次型的称为二次型的规范形规范形。)1(,1,21 njijiijnxxaxxxf对给定的二次型对给定的二次型找可逆的线性变换找可逆的线性变换(坐标变换坐标变换)：nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111)(可逆可逆其中其中ijcC 代入代入(1)式，使之成为标准形式，使之成为标准形2222211nnykykykf 称上面过程为称上面过程为化二次型为标准形化二次型为标准形。简记简记nnycycycx12121111,)

7、(,nnijcCCYX设设,21TnxxxX.,21TnyyyY若若一、一、非退化线性变换（可逆线性变换）非退化线性变换（可逆线性变换）nnycycycx22221212nnnnnnycycycx2211为为可逆线性变换。可逆线性变换。CYX 当当C 是可逆矩阵时是可逆矩阵时,称称对于二次型，我们讨论的对于二次型，我们讨论的主要问题主要问题是：是：寻求寻求可逆的可逆的线性变换，使二次型只含平方项。线性变换，使二次型只含平方项。,1nTijiji jfX AXa x x 即二次型即二次型经过可逆线性变换经过可逆线性变换CYX 2221122 nnfk yk yk y 使得使得为什么研究可逆为什么

8、研究可逆的变换？的变换？即经过可逆线性变换即经过可逆线性变换CYX 可化为可化为AXXfTYACCYTT)()()(CYACYTACCBT令),(,21nkkkdiagB矩阵的合同：矩阵的合同：.,BAACCBCBAnT合同于合同于则称则称使得使得若存在可逆矩阵若存在可逆矩阵、阶方阵阶方阵两个两个 证明证明TTTACCB)()1(2)TBC ACC因为 可逆)()(ArBr所以所以 )()()2()1(ArBrACCBT 仍仍是是对对称称矩矩阵阵定理定理 设设A为对称矩阵，且为对称矩阵，且A与与B合同，则合同，则TTTTCAC)(BACCT注：合同仍然是一种等价关系注：合同仍然是一种等价关系矩

9、阵合同的性质：矩阵合同的性质：(1)反身性反身性(2)对称性对称性(3)传递性传递性记作记作AB二二.化二次型为标准形化二次型为标准形1.正交变换法正交变换法（重点）（重点）2.配方法配方法目标：目标：AXXfT 二次型二次型 CYX 可逆线性变换可逆线性变换YACCYfTT)(标准形标准形2222211nnykykyk YYT 问题转化为：问题转化为：为为对对角角矩矩阵阵，使使得得求求可可逆逆矩矩阵阵ACCCT回忆：回忆：,TA 总存在正交矩阵总存在正交矩阵对于任意实对称矩阵对于任意实对称矩阵 ATT1 使得，使得，为正交矩阵，即为正交矩阵，即又又ETTTT TTT 1 所以所以,TA 总存

10、在正交矩阵总存在正交矩阵对于任意实对称矩阵对于任意实对称矩阵ATTT 使得，使得，此结论用于二次型此结论用于二次型所以，所以，(P191 定理定理6.2.1)总有总有任给二次型任给二次型,1,jiijnjijiijaaxxaf ,2222211nnyyyf .)(,21的特征值的特征值的矩阵的矩阵是是其中其中ijnaAf 化为标准形化为标准形使使正交变换正交变换fPyx,P 的列向量是的列向量是A的相应于特征值的的相应于特征值的n个两两正交个两两正交 的单位特征向量。的单位特征向量。例例1 1 用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。

11、32212221321442,.1xxxxxxxxxf解解（1 1）写出二次型）写出二次型 f 的矩阵的矩阵020212022A(2)(2)求出求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量EA20212022412114223而它们所对应的标准正交的特征向量为而它们所对应的标准正交的特征向量为212311P122312P221313P(3)(3)写出正交变换写出正交变换取正交矩阵取正交矩阵321PPPP 21222112231则得所欲求的正交变换则得所欲求的正交变换PYX 即即21222112231321xxx321yyy（4 4）写出写出321,xx

12、xf的标准型。的标准型。易知经上述正交变换易知经上述正交变换PYX 后所得二次型的标准型后所得二次型的标准型23222124yyyf2.2.3231212322213214844,xxxxxxxxxxxxf124242421A 4512424250512424242112AE4,5:321的特征值为所以 A101,0121:,05,522121得基础解系为解对XAE解解 二次型的矩阵为二次型的矩阵为TXAE1,21,1:,04,433得基础解系为解对3）对每个基础解系进行Schmidt正交化、再单位化：1211;52451,012133111122211,21231,524451,02151,

13、1321则令iii4,5,5,32455031452523245451,41321diagAQQAQQQQT并且是正交矩阵。则令f作正交变换作正交变换 X=QY，则，则232221455yyy注：正交变换化为标准形的优点：注：正交变换化为标准形的优点：在几何中，可以保持曲线在几何中，可以保持曲线（曲面）的几何形状不变。（曲面）的几何形状不变。2.配方法配方法 同时含有平方项同时含有平方项2ix与交叉项与交叉项jixx的情形。的情形。22220212323233(24)15()xxxxxx222123112132323(,)(48)44f x x xxx xx xxxx x用配方法将下列二次型经

14、可逆线性变换化为标准形。用配方法将下列二次型经可逆线性变换化为标准形。解：解：2222204212332322333(24)15()xxxxx xxx3231212322213214844),(xxxxxxxxxxxxf2221231233232(24)(24)1520 xxx xxxxx x22123323(24)1520 xxxxx x321142xxxy22233yxx23xy 令令二次型的标准形为二次型的标准形为22220123315fyyy1122331242013010yxyxyx112233214320132013xyxyxyYCX 112342/3xyyy223(2/3)xyy

15、323(2/3)xyy即即为标准形为标准形,并求出所作的可逆线性变换并求出所作的可逆线性变换.312132142),(xxxxxxxf例例3 3 用配方法化二次型用配方法化二次型211yyx解解 令令212yyx33xy323122213214422),(yyyyyyxxxf233222233121242)2(2yyyyyyyy232231)(2)(2yyyy 只含交叉项只含交叉项),(kjixxji的情形。的情形。311yyz223zyy33yz 211zzy322zzy33zy 即即令令.222221zzf100011011321xxx321yyy321yyy100110011321zzz

16、321xxx100011011100110011321zzz100211011321zzz211zzx32122zzzx33zx 所用的可逆线性变换为所用的可逆线性变换为ZCX 以上说明：以上说明：化为标准形的过程化为标准形的过程，经过可逆线性变换经过可逆线性变换二次型二次型CYXAXXfT .,的秩不变的秩不变且二次型且二次型合同的对角矩阵合同的对角矩阵寻找一个与对称矩阵寻找一个与对称矩阵fACCBAT注意：注意：.1必为对称矩阵必为对称矩阵的矩阵的矩阵二次型二次型Af2.在变换二次型时，要求所作的线性变换是可逆的在变换二次型时，要求所作的线性变换是可逆的.二次型必可化为规范形。二次型必可化

17、为规范形。证证 设二次型设二次型 f(x)=xTAx(r(A)=r)经正交变换化为经正交变换化为:)0(22112211 irrppppkykykykykf(思考为什么一定可化为上面形式？思考为什么一定可化为上面形式？)再做一次可逆的线性变换再做一次可逆的线性变换 nrizyrizkyiiiii,1 ,2,11则则 f 化为化为221221rppzzzzf 思考：在可互化的二次型思考：在可互化的二次型中最简单的是什么？在对中最简单的是什么？在对称矩阵合同等价类中最简称矩阵合同等价类中最简单的矩阵是什么？单的矩阵是什么？(1)二次型的标准形唯一吗？二次型的标准形唯一吗？(2)二次型的标准形中平方

18、项的个数与二次型的二次型的标准形中平方项的个数与二次型的秩有何关系？与二次型矩阵的非零特征值的个数有秩有何关系？与二次型矩阵的非零特征值的个数有何关系？何关系？(3)设设CTAC=D(C可逆，可逆，D是对角阵是对角阵)，D的对角的对角元是元是A的特征值吗？如果的特征值吗？如果C是正交矩阵又如何？是正交矩阵又如何？(4)设设4阶对称矩阵阶对称矩阵A的特征值为的特征值为0,2,2,-3,A的二的二次型的规范形是什么？次型的规范形是什么？思考题：思考题：1、._,0000000000000004,1111111111111111BABA与则设(1)合同且相似；合同且相似；(2)合同但不相似；合同但不

19、相似；(3)不合同但相似；不合同但相似；(4)不合同且不相似；不合同且不相似；化为标准形经正交变换、设PYXAXXfT2,3232221yyyf求原二次型。），的一个特征向量为（对应若,1223TA例例432212221321442),(xxxxaxxxxxf 设二次型设二次型经正交变换经正交变换 化为标准形化为标准形yQx 2322214ybyyf 求求(1)a,b;(2)正交变换矩阵正交变换矩阵 Q.DbAQQAQQT 411 02022022aA二次型的矩阵为二次型的矩阵为由题意由题意由相似矩阵的性质得由相似矩阵的性质得 ，从而，从而)tr()tr(,DADA 410248bab2,1

20、ba解得解得A与与D有相同的特征值，分别为有相同的特征值，分别为4,2,1321 T)2,1,2(1 T)1,2,2(3 T)2,2,1(2 求得它们对应的特征向量求得它们对应的特征向量(正交正交)为为再单位化并排成矩阵即得所求的正交变换矩阵再单位化并排成矩阵即得所求的正交变换矩阵 12222121231Q6.3 正定正定二次型二次型本节讨论二次型的分类问题本节讨论二次型的分类问题.重点是正定二次型重点是正定二次型.在在n维的二次型中维的二次型中,如果两个二次型如果两个二次型 xTAx 和和 yTBy可以互化，即可以互化，即ByyyACCyAxxTTTT)(可逆可逆C yCx 则称这两个则称这

21、两个二次型等价二次型等价。这相当于。这相当于ACCBT 即在即在n阶对称矩阵中阶对称矩阵中A与与B合同等价。合同等价。我们把等价的二次型分为同一类。相当于对称矩我们把等价的二次型分为同一类。相当于对称矩阵的合同等价类。阵的合同等价类。什么条件决定两个二次型等价？什么条件决定两个二次型等价？我们知道我们知道,等价的二次型有相同的秩等价的二次型有相同的秩,也就是标准形也就是标准形中平方项个数相等中平方项个数相等.但秩相等的两个二次型不一定等价但秩相等的两个二次型不一定等价.例如例如 与与 不可能等价不可能等价.2221xxf 2221yyg 因为不存在可逆矩阵因为不存在可逆矩阵 C 满足满足 10

22、01CCECCTT1)2,2(222212 ccCCT元素为元素为的的因为因为(P196 定理定理6.3.1)二次型的标准形中正项个数称为二次型的二次型的标准形中正项个数称为二次型的正惯性指数正惯性指数,负项个数称为二次型的负项个数称为二次型的负惯性指数负惯性指数.设二次型设二次型 f 的秩为的秩为 r,正惯性指数为正惯性指数为 p,则则负惯性指为负惯性指为 r p.f 的规范形为的规范形为221221rppxxxxf ：两个二次型是否等价，被其秩：两个二次型是否等价，被其秩和正惯性指数唯一确定。从而对称阵的合同等价和正惯性指数唯一确定。从而对称阵的合同等价.如果如果 n 维的二次型维的二次型

23、 f(x)=xTAx 其标准形系数全为正，其标准形系数全为正，则称之为则称之为正定二次型正定二次型，二次型的矩阵，二次型的矩阵 A 称为称为正定矩阵正定矩阵；如果标；如果标准形中系数全为负，则称之为准形中系数全为负，则称之为负定二次型负定二次型，二次型的矩阵称为，二次型的矩阵称为负定矩阵负定矩阵。)0(2222211 innkykykyk化标准形化标准形化规范形化规范形22221nzzz AxxxfT)(正定二次型为正定二次型为 显然，如果显然，如果 f 负定，则负定，则 f 正定，以后只需讨论正定二正定，以后只需讨论正定二次型次型(正定矩阵正定矩阵)。)(可逆可逆CCCECCATT .(注：

24、书上以后者为定义注：书上以后者为定义)AxxxfT)(2222211nnykykyk 证证 设设yCx 可逆可逆C必要性：设必要性：设 f 正定，即正定，即),2,1(0niki 对任意对任意x0，则，则 ，故，故01 xCy0)(2222211 nnykykykxf充分性：反证。如果有某个充分性：反证。如果有某个 ，取，取0 ik0 ieCxiiTTikeACCexf )()(,与与 矛盾。矛盾。0 ik,011 a,022211211 aaaa,01111 nnnnaaaa(霍尔维茨定理霍尔维茨定理)对称矩阵对称矩阵A为正定的充要条件是：为正定的充要条件是：A的各阶主子的各阶主子式全为正，

25、即式全为正，即判别二次型判别二次型 32312123222132148455,xxxxxxxxxxxxf 是否正定是否正定.它的各阶顺序主子式它的各阶顺序主子式,051 ,0112252 013 A故上述二次型是正定的故上述二次型是正定的.例例1,524212425 Af 的矩阵为的矩阵为解解是正定二次型？是正定二次型？32312123222132122222,xtxxxxxxxxxxxf解解 二次型的矩阵为二次型的矩阵为2121111ttAtttt22121111,012111,01A的顺序主子式为：的顺序主子式为：所以当所以当,02t例例2 2 问问t 满足什么条件时，二次型满足什么条件时

26、，二次型A的顺序主子式全大于的顺序主子式全大于0 0，此时，此时 f 正定。正定。判别二次型判别二次型xzxyzyxf44465222 的正定性的正定性.,051 ,0262 ,0803 A例例3解解,402062225 A二次型的矩阵二次型的矩阵它的各阶顺序主子式它的各阶顺序主子式A是负定矩阵，二次型是负定二次型。是负定矩阵，二次型是负定二次型。或者，判别或者，判别 为正定为正定.例例4解解判别二次型判别二次型 312322213214542,xxxxxxxxf 是否正定是否正定.二次型的矩阵为二次型的矩阵为 502040202A6,4,1321 即知即知A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型

27、是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.求得其特征值求得其特征值例例5与矩阵与矩阵 合同的矩阵是合同的矩阵是()100001011A 111)A(111)B(111)C(111)D(A特征值是两正一负。特征值是两正一负。例例6为为A的最大特征值。的最大特征值。证明：二次型证明：二次型 f(x)=xTAx 在在 时的最大值时的最大值1 x是最大的特征值是最大的特征值设设1 2222211 )(nnyyyxf yQx 正交正交Q1 xy1222211)()(nyyyxf11 对应的单位特征向量对应的单位特征向量为为特别取特别取 x1111111)(TTAf例例7设设 是正定矩阵是正定矩阵,证明证明)(ijaA 0 iia0 iiiTiaAee