线性代数讲课资料1课件.ppt

1、一元一次方程一元一次方程 ax=b 一元二次方程一元二次方程二元二元、三元线性方程组、三元线性方程组n行列式行列式n矩阵及其运算矩阵及其运算n矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组n向量组的线性相关性向量组的线性相关性n矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量第一章第一章 行列式行列式1 1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式记记22211211aaaa22211211aaaa称它为称它为二阶行列式二阶行列式，21122211aaaa定义为定义为记忆方法：记忆方法：对角线法则对角线法则1 1 二阶行列式二阶行列式333231232221131211aaaaaaaaa312213

2、332112322311aaaaaaaaa 类似的，我们还可以定义三阶行列式为类似的，我们还可以定义三阶行列式为3221312312332211aaaaaaaaa13记忆方法：记忆方法：对角线法则对角线法则注意：注意：对角线法则只适用于二阶、三阶行列式对角线法则只适用于二阶、三阶行列式381141102.1例0201034011.2xxx求解例n 阶排列共有阶排列共有 n!个个.排列的逆序数排列的逆序数 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数 把把 1,2,n 排成排成无重复无重复一列，称为一个一列，称为一个 n 阶全排列阶全排列.奇排列奇排列 逆序数为奇数的排列逆序数为奇数的排列.在一个排列中

3、如果一对数的前后位置与大小次序相反就说有在一个排列中如果一对数的前后位置与大小次序相反就说有 例例 1 排列排列 1 2 n 称为自然排列，称为自然排列，所以是偶排列所以是偶排列.一个一个逆序逆序.偶排列偶排列 一个排列中所有逆序的总数一个排列中所有逆序的总数.逆序数为偶数的排列逆序数为偶数的排列.它的逆序数为它的逆序数为0，三 阶排列阶排列共有共有321=3!个个.321jjj 例例 2 排列排列 3 2 5 1 4 的逆序数为的逆序数为 t()例例 3 排列排列 n(n 1)3 2 1 的逆序数为的逆序数为 t(n(n 1)3 2 1)=0+1+2+(n 1)=21nn 排列排列 3 2

4、5 1 4 为奇排列为奇排列.5排列逆序数的计算方法排列逆序数的计算方法：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数333231232221131211aaaaaaaaa312213332112322311aaaaaaaaa 三阶行列式定义为三阶行列式定义为3221312312332211aaaaaaaaa13 3n 阶行列式的定义阶行列式的定义三阶行列式是三阶行列式是 3!=6 项项 的代数和

5、的代数和.321321j3j2j1jjjtaaa1)()(321j3j2j1aaa 123231312132213321t(123)=0t(231)=2t(312)=2t(132)=1t(213)=1t(321)=3一、定义一、定义三阶行列式可以写成三阶行列式可以写成3213212331232221131211j3j2j1jjjt33aaaaaaaaaaaa1)()(,的的一一个个排排列列，是是其其中中321jjj321.jjjjjjt321321的的逆逆序序数数是是排排列列)(定义定义 由由 n2 个数组成的数表，个数组成的数表，的的一一个个排排列列，是是其其中中n21jjjn21.jjjj

6、jjtn21n21的的逆逆序序数数是是排排列列)(n21n21njj2j1jjjtaaa1.)()(nn2n1nn22221n11211a.aaa.aaa.aa称为称为 n 阶行列式阶行列式,项的代数和，项的代数和，即即 规定为所有形如规定为所有形如记成记成nn2n1nn22221n11211a.aaa.aaa.aa例例 1 下三角行列式下三角行列式333231222111aaa0aa00a332211aaa n21n21njj2j1jjjtaaa1.)().(二、相关题型二、相关题型 例例2 下三角行列式下三角行列式nn2211aaa nn2n1n222111a.aa0.aa0.0a例例 3

7、 三阶行列式三阶行列式321 321 例例5 n 阶行列式阶行列式n21 n2121nn1 )()(4321 例例4 四阶行列式四阶行列式4321 _)(_31232543543112的项为和且包含因子四阶行列式中，带负号的符号应取）在五阶行列式中，项（的符号、判断行列式中项、项例aaaaaaa216例例7用行列式定义计算用行列式定义计算000000000535243423534333231252423222113125aaaaaaaaaaaaaaaaD 的非零元素分别得到的非零元素分别得到行可能行可能中第中第那么，由那么，由行的元素分别为行的元素分别为中第中第设设5,4,3,2,1,5,4,

8、3,2,1554321554321DaaaaaDppppp解解.3,2;3,2;5,4,3,2,1;5,4,3,2,1;3,254321 ppppp.05,554321 Dppppp故故元排列也不能组成，元排列也不能组成，一个一个在上述可能取的代码中在上述可能取的代码中因为因为 的系数是中在函数例321112.xxxxxxxf 8经对换经对换 a 与与 b,得排列得排列 ,m1k1babbaa1babbaatbbabaatm1k1m1k1)()(所以，经一次相邻对换，排列改变奇偶性所以，经一次相邻对换，排列改变奇偶性.,11mkbbabaa 4 4 对换对换 对换对换 定理定理 1 一个排列中

9、的任意两个元素对换，排列改变奇偶性一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.证证 先证相邻对换的情形先证相邻对换的情形.那么那么设排列设排列 1cbcbabaan1m1k1经对换经对换 a 与与 b排列，得排列排列，得排列 2cacbbbaan1m1k1 相邻对换相邻对换 再证一般对换的情形再证一般对换的情形.设排列设排列事实上，排列（事实上，排列（1）经过）经过 2m+1 次相邻对换变为排列（次相邻对换变为排列（2）.np2p1pppptn21n21aaaD1 )()(定理定理 2 n 阶行列式也可以定义为阶行列式也可以定义为根据相邻对换的情形及根据相邻对换的情形及 2m+1 是奇数，是

10、奇数，性相反性相反.所以这两个排列的奇偶所以这两个排列的奇偶 53142 解解 t(5314 2)=0+1+2+1+3=7t(53412)=0+1+1+3+3=8 53412求这两个排列的逆序数求这两个排列的逆序数.经对换经对换1与与4 得排列得排列例例 1 排列排列 1.选择选择 i 与与 k 使使 （1）2 5 i 1 k 成偶排列成偶排列;（2）2 5 i 1 k 成奇排列成奇排列.项项，是是否否为为四四阶阶行行列列式式中中的的和和2431431244332114aaaaaaaa2.若是，指出应冠以的符号若是，指出应冠以的符号 3.计算计算n 阶行列式阶行列式练习练习111是是四四阶阶，

11、不不是是四四阶阶行行列列式式中中的的项项2431431244332114aaaaaaaa2.4331241224314312aaaaaaaa 21nn11113)()(.43312412433124123433124122413taaaaaaaa1aaaaa1 行列式中的项行列式中的项.1.（1）i=4,k=3时，即排列时，即排列 2 5 4 1 3 为偶排列；为偶排列；（2）i=3,k=4时，即排列时，即排列 2 5 3 1 4 为奇排列为奇排列.性质性质 1 性质性质 2 5 行列式的性质行列式的性质 推论推论 两行（列）相同的行列式值为零两行（列）相同的行列式值为零.数数 k,性质性质

12、3 等于用数等于用数 k 乘此行列式乘此行列式.行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.互换行列式的两行（列），行列式变号互换行列式的两行（列），行列式变号.行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个说明：行列式中的行与列具有同等的地位，行列式的性质说明：行列式中的行与列具有同等的地位，行列式的性质凡是对行成立的，对列也同样成立；反之亦然。凡是对行成立的，对列也同样成立；反之亦然。说明：说明：ir第第i行；行；ic第第i列；列；交换两行交换两行jirr 交换两列交换两列jicc 0);(可以取或kkckrii说明：说明：性质性质4 行

13、列式中如果有两行（列）元素成比例行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列，则此行列 式等于零式等于零.推论推论 行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号 外面外面.性质性质 5 若行列式若行列式 的某一列（行）的元素都是两个元素和的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和则此行列式等于两个行列式之和.说明：当某一行（或列）的元素为两数之和时，行列式关于说明：当某一行（或列）的元素为两数之和时，行列式关于n2该行（或列）可分解为两个行列式。若该行（或列）可分解为两个行列式。若n阶行列式每个元素阶行列式每个元素都表示成两

14、数之和，则它可分解成都表示成两数之和，则它可分解成个行列式。个行列式。nnnj2n1nn2j22221n1j11211nnnj2n1nn2j22221n1j11211acaaacaaacaaabaaabaaabaa nnnjnj2n1nn2j2j22221n1j1j11211acbaaacbaaacbaa)()()(例如例如 把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另nnnjnjni1nn2j2j2i221n1j1j1i111aakaaaaakaaaaakaaannnjni1nn2j2i221n1j1i111aaaaaaaaaaaa一行（列）的对应

15、元素上去，一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变行列式的值不变.性质性质 6下一页下一页,nnn2n12n22121n2111aaaaaaaaa,aaaaaaaaaDnn2n1nn22221n11211 设设行列式行列式 DT 称为行列式称为行列式 D 的转置行列式的转置行列式.记记那么那么DDT 222cbacba1111例例222cc1bb1aa1=TD返回返回,bbbbbbbbbDnn2n1nn22221n112111 设行列式设行列式 D=det(aij)互换第互换第 i,j(i j )两行两行,得行列式得行列式 性质性质 2 的证明的证明33332222dcbadcbadcba11

16、112例例33332222dcba1111dcbadcba 其中，当其中，当 k i,j 时时,bkp=akp;当当 k=i,j 时，时，bip=ajp,bjp=aip,nji1nji1npjpipp1t1bbbbpppp1D )()(其中其中,1i j n 是自然排列是自然排列,)()()()(11ppppppppnji1nij1tt 所以所以nij1nij1npjpipp1t1aaaappppD1 )()(nji1nji1npipjpp1taaaapppp1 )()(nij1nji1npjpipp1taaaapppp1 )()(于是于是=D返回返回333231232221131211aaa

17、kakakaaaa 333231232221131211aaaaaaaaak，若若例例121013201D 4121013402 则则D21210132012)()(例例 3333231232221131211aaaaaakakaka 333231232221131211kakakaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaak返回返回132141131132010131 r2-r1 例例5=422510211=0 例例6 例例72542225102114225102112520510211返回返回返回返回返回返回5021011343212101D 解解 r2-r1,r

18、3-3r1,r4-r1 例例 8 计算行列式计算行列式7120641022202101D 第一步第一步 r22 r3+r2 ,r4-2r293005300111021012 71206410111021012 第二步第二步 r4(-3),r3r4 r4+3r353003100111021016 40003100111021016 24 600300301395200199204100103.9D例030015200141003D解：031521413100.2000dc3b6a10cb3a6ba3adc2b3a4cb2a3ba2adcbacbabaadcbaD cb3a6ba3a0cb2a3b

19、a2a0cbabaa0dcbaD ba3a00ba2a00cbabaa0dcba 例例 10 计算行列式计算行列式 解解 从第从第 4 行开始，后行减前行得，行开始，后行减前行得，2334rrrr a000ba2a00cbabaa0dcba 34rr4a 例例 11 计算行列式计算行列式axxxxaxxxxaxx3ax3ax3ax3aD axxxxaxxxxaxxxxaD 解解 各行都加到第一行，各行都加到第一行，axxxxaxxxxax1111x3a)(xa0000 xa0000 xa01111x3a)(3xax3a 各行都减第一行的各行都减第一行的 x 倍倍第一行提取公因子第一行提取公因子

20、(a+3x)1111111111111111.12xxxxD例1111111111114321xxxxxxxDcccc解：特点：各行的和相等特点：各行的和相等1111111111111111xxxx0001001001001141312xxxxcccccc.4x定义bbbbbbabbbbaDn.13例小结小结1.了解行列式的定义了解行列式的定义.2.掌握行列式的性质掌握行列式的性质.3.运用行列式的性质计算行列式运用行列式的性质计算行列式.作作 业业练习练习 1.计算行列式计算行列式,42222322222222212.x 为何值时为何值时,行列式行列式0311111013x203123=-421x D=2+4x.,4321430043204000D4000430043204321D1 3.计算四阶行列式计算四阶行列式,244444033300220001DDT 24DD1 因为行列式因为行列式D互换第互换第1行、第行、第4行行(r1r4)得行列式得行列式D1，所以，所以3.解解4.证明证明0bababababababababa332313322212312111