系统模拟-第8讲课件.ppt

1、系统模拟系统模拟 第第8讲讲授课教师授课教师:左德承左德承 排队论基础1100)1(!)(!)(nnknnnkk ,1,!1,2,1,!)(00nnknnnkknknkk排队论基础n由平稳分布可以得到M/M/n系统所关心的数量指标u平均队长u平均等待时间u顾客到达服务机构需要等待的概率u等待时间的分布u逗留时间分布排队论基础n平均队长、平均等待队长系统稳定状态（稳定分布）k的含义系统中有k个人的概率平均队长为稳定分布的？数学期望用X来表示系统在1下的队长，用Xq表示系统等待队长排队论基础n由前面稳定分布的稳定概率公式，可以得到稳定分布的数学期望0)(kkkXE011!)(nkknnkknknk

2、nk排队论基础n平均队长为系统中的总人数正在排队的人数正在接受服务的人数如何求平均等待的队长？0211)1(!)1()()!1()()(nnnknXEnnkk排队论基础n系统中有k个人在等待相当于系统中有n+k个人可以得到Xq的分布niniiiqknnknqinXPknnkXP0000 !)(0,3,2,1,!排队论基础n通过Xq的分布可以求出平均等待的队长1020)1(!)(!)()(knknqnnnnkXEn2)1(排队论基础n平均占用服务台数K0n的分布均值，即qXEXEK020112)1(!)1(!)1()()!1()(nnnnnpknnnknk排队论基础011)1()!1()()!1

3、()(nknknnkn0111)1()!1()()!1()(nknknnknn020)1()!1()(!)(nknknnknn排队论基础010)!1()()1()!1()(!)(nnnnknnnnknk010)1(!)(!)(nknknnnknn010)1(!)(!)(nnnknnknk排队论基础n因为1100)1(!)(!)(nnknnnkk nK排队论基础n所以KXEXEq)()(2)1(n排队论基础n顾客到达要等待的概率p顾客不需要等待的概率为1)1(!)(!00nnknknnnnnnXp111np排队论基础n等待时间的分布W为在系统平稳条件0，W的分布函数为110nnXPWP00)(t

4、WPWPtWPtFW排队论基础n因为等待时间大于0表明系统的顾客数大于等于nnkkXPkXtWPtWP00nkkkXtWP0排队论基础n系统服务员的服务时间服从(1,)的分布系统中有n个服务员，则服务时间的分布为这n个独立同指数分布的最小分布对等待时间来说，系统的服务时间相当于(1,n)系统相当于只有一个服务时服从(1,n)的服务员系统中第n+1个顾客在服务完之后接受服务系统中第n+k+1个顾客必须在前k个顾客接受服务后才能接受服务k的独立同分布的指数分布之和的分布排队论基础n因为nktxnnknkknkkdxenkxnkXtWP01)1()(0nnkk排队论基础tnkxnnkndxennkx

5、n0)!()(nktxnnknkkdxenkxn01)1()(排队论基础n因为txnndxen0)1(xkkekx0!tkxnkndxenkxn00!)(排队论基础n因为1 1)1(tnne110nnXPWP0 ,11)()1(tetFtnnW排队论基础n等待时间W的概率密度函数为0 ,11)()1(tetFtnnW0 ,)()1(tentftnnW排队论基础n平均等待时间为0)()(dtttfWEW20)1()1(ndttenntnn)()1(2qnXE排队论基础dtentWEtnn)1(022)1(1)(32)1()(2nn422)1()1(2()(nnWD排队论基础n逗留时间T的分布因为

6、等待时间W和服务时间B相互独立)()()(BEWETE)(1)1(2XEn)()()(BDWDTD排队论基础nT的分布为tBWPtTPtxdxexBtBWP0txdxextWP0排队论基础n分布函数为txxtnndxee0)(11)(1(1 ,1)()(tntnttntTeenenetnetF排队论基础n概率密度函数为nennennentntftnntntnnT,)(1(,)()()(222排队论基础nM/M/n队列模型总结生灭过程生率(顾客到达速率)灭率(服务速率)min(i,n)系统稳定的条件为1n排队论基础n系统平稳分布的解为 ,1,!1,2,1,!)(00nnknnnkknknkk11

7、00)1(!)(!)(nnknnnkk排队论基础n关心的性能指标平均队长平均等待时间资源利用率顾客到达服务机构需要等待的概率等待时间的分布逗留时间分布排队论基础n平均队长n平均等待队长2)1()(nXEnqXE2)1()(排队论基础n平均占用服务器的台数资源利用率顾客到达要等待的概率p nK1np排队论基础n平均等待时间n平均逗留时间(平均响应时间)()1()(2qnXEWE)(1)1()(2XETEn排队论基础nM/M/n排队模型比较重要的参数n、0、nn对于单服务器的排队模型M/M/1,1,!0nnknnknk1100)1(!)(!)(nnknnnkk排队论基础nM/M/1排队模型平稳分布

8、的解有稳定分布解的条件为1 ,)1(0kkkk111101 即排队论基础n平均队长)1()1()(22nXE)1()(XE排队论基础n平均等待队长n平均占用服务的台数（资源利用率）)1()1()(22nqXE nK排队论基础n等待时间的分布函数等待时间的概率密度函数0,1)()1(tetFtW0 ,)1()()1(tetftW排队论基础n平均等待时间n逗留时间的概率密度函数)()1()(qXEWE0 ,)()()(tetftT排队论基础nM/M/1排队模型的逗留时间服从n平均逗留时间)()(1)(XETE),1(T排队论基础nM/M/*排队模型的两个重要指标平均等待时间平均逗留时间在其他类型的

9、排队系统中是否也有这样的性质？与到达间隔、服务时间、排队规则无关？)()(qXEWE)()(XETE排队论基础nLittle 公式E(W)与E(Xq)的关系E(T)与E(X)的关系)()(qXEWE)()(XETE为系统的进入率 排队论基础n设(t)为在(0,t时间区间中进入系统的顾客数在这段时间的进入率为ttEt)(排队论基础n设(t)为(t)个顾客到时刻t为止在系统中花费的总时间在这段时间里，每个顾客的平均逗留时间为)()(tEtETt排队论基础n设这段时间的单位时间系统的顾客数那么在系统(0,t时间区间内顾客花费的总时间即单位时间内的顾客数等于花费的总时间除上时间间隔tXtXtEt)(t

10、tEXt)(排队论基础n根据前面的结果n即ttEtEtEttEXt)()()()(tttTX排队论基础n这是系统在(0,t时间区间的结果单位时间内平均顾客数等于系统顾客平均逗留时间与系统进入率之积系统平均逗留时间为单位时间平均顾客数除以进入率，即tttXT排队论基础n在系统平衡条件下，有如下极限存在在平衡条件下，系统的每个顾客平均的逗留时间为系统的平均队长除以顾客的平均进入率，即tt limttTTE lim)(ttXXE lim)()()(XETE排队论基础n设*(t)为在(0,t时间区间(t)个顾客到时刻t为止等待时间之和平均每个顾客的等待时间为)()(*tEtEWt排队论基础n设这段时间的单位时间系统的平均等待顾客数为那么即单位时间系统平均等待的顾客数为qtXtXtEqt)(*ttqtWttEtEtEttEX)()()()(*排队论基础n在系统平衡条件下，有如下极限存在在平衡条件下，系统的每个顾客平均的等待时间为系统的平均等待队长除以顾客的平均进入率，即tt limttWWE lim)(qttqXXE lim)()()(qXEWE排队论基础nLittle公式系统每个顾客平均逗留时间系统每个顾客平均等待时间与到达间隔时间分布、服务时间分布、排队规则无关)()(XETE)()(qXEWE