系统分析与设计中的数学方法课件.ppt

1、系统分析与设计中的数学方法系统分析与设计中的数学方法主要内容主要内容 频谱分析法频谱分析法 付氏级数、付氏积分、付氏级数、付氏积分、典型信号频谱特性、离散付氏变换典型信号频谱特性、离散付氏变换 统计分析法统计分析法 随机变量及其概率分布、典型概率分布；随机变量及其概率分布、典型概率分布；随机过程定义、相关函数随机过程定义、相关函数、谱密度；谱密度；线性系统对平稳随机过程的响应线性系统对平稳随机过程的响应频频 谱谱 分分 析析 法法 分析信号幅值与频率的关系，如何选取输入信号？分析信号幅值与频率的关系，如何选取输入信号？一、付氏级数一、付氏级数 付氏级数的定义：付氏级数的定义：设有一周期函数设有

2、一周期函数f(t)，其周期为，其周期为T，有，有f(t)=f(t+T),若若f(t)满足狄里赫利条件，即在区间满足狄里赫利条件，即在区间T上有界，且上有界，且仅有有限个极大值和极小值，则仅有有限个极大值和极小值，则f(t)可用收敛的付氏级数表可用收敛的付氏级数表示示022()(cossin)21222()cos2222()sin2akkftatbtkkTTkTkafdTkTTTkbfdTkTT式 中从复数角度从复数角度给出欧拉公式给出欧拉公式其复数形式其复数形式02sin,cos22j tj tj tj teeeettTj令；0222222()(co ssin)2122()co s22()si

3、nTTTTakkftatbtkkTTkkafdkTTkbfdkTTcossinj tetjt2222221(),()22cos()2k:kkkkTjtjtTTkkTkjkkkkkkjtjtTTkkkkkkkkf tc ecf t edtTccekccc ec etT为一复数，对应的一个谐波，有：与共轭，则：表示第 次谐波的幅值；表示第 次谐波的相移 付氏级数所表示的付氏级数所表示的f(t)无论是实数形式还是复数形式，都无论是实数形式还是复数形式，都是无数个谐波函数的叠加。其复数形式的系数表示谐波的幅是无数个谐波函数的叠加。其复数形式的系数表示谐波的幅值与相位。值与相位。其系数的集合称为频谱。用

4、其系数的集合称为频谱。用或或f作横坐标，平行纵坐标作横坐标，平行纵坐标的线段的线段c ck k表示相应的系数的模表示相应的系数的模(线谱线谱)。它具有离散性，。它具有离散性，相邻两线谱之间的距离相邻两线谱之间的距离=2/T。CK-35-3-5例：例：设函数设函数f(t)为一方波序列，周期为为一方波序列，周期为T=2 0 0 f(t)=A0,-0 0/2t/2t 0 0/2/2 f(t)=0 ,0 0/2t T-/2t T-0 0/2/2将将f(t)f(t)代入代入得得其基波分量的频率为其基波分量的频率为 =2/T=/0 0得到各次谐波得到各次谐波ck值值(T=2 0 0)2221()kTjtT

5、kTcf t edtT0000s in()kkATckTTA0-0/20/2f(t)tTCkA0/2-A0/4-234-2-3-4T=20T=40-22 3-3-44k01234567ckA0/2A0/0-A0/30A0/50-A0/7几点说明几点说明 因为因为 所以当所以当K=1时，为基波频率项；时，为基波频率项；若若T=4 0 0,基波频率基波频率=2/T下降下降1/2，各线谱间距离缩短一半，各线谱间距离缩短一半，其包络线形状一样，只是其高度与其包络线形状一样，只是其高度与T成反比，幅值由成反比，幅值由A0/2A0/4；可以看出可以看出:f(t)的各次谐波随频率的变化情况；的各次谐波随频率

6、的变化情况；因为因为基波频率基波频率=2/T，当，当T增大，线谱将互相靠近；增大，线谱将互相靠近；当当T 时，则成为连续谱，付氏级数时，则成为连续谱，付氏级数付氏积分。付氏积分。f(t)通过线性环节后的描述通过线性环节后的描述令令r(t)=f(t),为以上方波序列，则为以上方波序列，则可用下式来描述可用下式来描述 2222211()()TTTTkjtj ktTkcf t edtf t edtTTG(s)R(s)Y(s)22()kjtTkkkyc eG jT二、付氏积分与变换二、付氏积分与变换 付氏级数付氏级数周期函数，不适用于非周期函数；周期函数，不适用于非周期函数；对于非周期函数，认为对于非

7、周期函数，认为T，由付氏级数引申到付氏积分。，由付氏级数引申到付氏积分。已知已知周期函数周期函数f(tf(t)的的付氏级数付氏级数将系数代入，即将系数代入，即有有222222()cos22()sinTTTTkafdkTTkbfdkTT022()(cossin)21akkf tatbtkkTTk222222221()()22222()coscossinsin1122()()cos()1TTTTTTTTf tfdTkkkkfttdTTTTTkkfdftdTTTk 若若 有界，有界，当当T 时，有时，有当当T 时，时，0 0，可看成，可看成 dd，k k ，()fd221211lim()022222

8、TTTkkkfdTkTTTT 令则 有，.，2201()lim()cos()11()()cos()()cos()1()()cos()2TTkTf tftdkf tdftdftf tdftd 由 于 被 积 函 数 为的 偶 函 数有 2212kkkTk 称称()1()sin()021()()cos()sin()21()()21()2jtjjdftdf tdftjtddfededfed因为，是 的奇函数欧拉公式()()1()()2j tjF jfedf tF jed为付氏变换为反变换 其物理意义，对式其物理意义，对式取取f=f=/2/2=1/T=1/T作为频率坐标作为频率坐标设设F(j2F(j2

9、f)f)在在f fk k处为单位面积窄脉冲处为单位面积窄脉冲即即F(j2F(j2f)f)在在f fk k处为单位面积窄脉冲，对应幅值为处为单位面积窄脉冲，对应幅值为1 1的复数正弦的复数正弦1()()2jtf tFjed2()(2)jftf tF jf edf0,(2)1,kkkkfffffF jffffff 22()(2)cos2sin 20kjftjf tkkf tF jf edfef tjf tf（当时）(2)F jf1f kfkfff因此，若将付氏变换因此，若将付氏变换 分解为一系列窄脉冲，面积分别分解为一系列窄脉冲，面积分别是是 ，那么，合成的时间函数就是这些复数正弦之和。，那么，合

10、成的时间函数就是这些复数正弦之和。由此可见：由此可见：付氏积分就是在频域上将信号进行分解，其实质付氏积分就是在频域上将信号进行分解，其实质就是将函数就是将函数f(t)看作由无穷多个谐波叠加而成的。看作由无穷多个谐波叠加而成的。与付氏级数的比较：连续与离散、非周期与周期与付氏级数的比较：连续与离散、非周期与周期 注意：在某个频率点上，谐波的幅值为注意：在某个频率点上，谐波的幅值为 ，是无，是无穷小量，所以一般用相对幅值穷小量，所以一般用相对幅值 表示其频谱。表示其频谱。(2)F jf(2)F jff1()()201()()2kjtkjtf tFjekf tFjed 当时，有1()2Fjd()F

11、jf(2)kF jf(2)F jff F(j)可由可由f(t)曲线求得曲线求得 设设f(t)在在T/2T/2以外为以外为0 0，则，则且已知一周期函数的付氏级数系数为且已知一周期函数的付氏级数系数为可得可得即即:可用根据可用根据f(tf(t)构成一个周期函数，并对此进行频谱分析，求构成一个周期函数，并对此进行频谱分析，求得各次谐波的得各次谐波的 值，然后计算值，然后计算 ，再将其用光滑曲线，再将其用光滑曲线连接。连接。22()()TTjtFjf t edt2221()TTkjtTkcf t edtT2(),kkkkF jc TT()kF jkcttf(t)f(t)三、典型信号的频谱分析三、典型

12、信号的频谱分析 理想脉冲信号理想脉冲信号为方便求解，构建等价函数为方便求解，构建等价函数应满足应满足0,0(),()1,0ttt dtt-且有2222(),()(1)()tttett 选 取 以 下 函 数或当时，具 有的 性 质()1()lim()lim()00t dttttt-，且有，以以 为例，计算频谱为例，计算频谱2 2()(1)tt2 2()()(1)lim()1,1j tj tFjt edtedtetFj-即其频谱为()lim()1lim()212ttj tFjedj ted由于tt()t()t()Fj4211利用欧拉公式 对任意对任意，其，其F(j)都为都为1，是一种很有用的输入

13、，是一种很有用的输入函数，可测试系统带宽下的特性。函数，可测试系统带宽下的特性。cossinj tetjt001()21(cossin11()cos,()21cos,sin2cosj ttedtjt dtttddtdtt 对 为奇函数 余弦函数余弦函数 是周期函数，可用付氏级数展开，其线谱由是周期函数，可用付氏级数展开，其线谱由ff f1 1处的两线段处的两线段构成。见右下图构成。见右下图 余弦函数不满足绝对可积条件，余弦函数不满足绝对可积条件，借助于借助于(t)(t)函数，有函数，有 1()cosf tAt111()()11001100sin,cos22()cos22cos()cos()co

14、s2()cos2()2j tj tj tj tj tjtjteeeettjF jAtedtAAfedtedtAtdtAtdtAff t dtAff t dt 欧拉公式:=-f1f1fckA/2A/2由于由于若横坐标改用若横坐标改用，则频谱为，则频谱为反推反推000111()cos2cos 21()cos 22(2)()()222ttdftdffftdtAAFjfffffA对上式进行变换有 余弦函数的频谱由两个 函数组成，其面积为-f1f1fA/2A/2(2)Fjf11()()()F jAA ()F jAA11111111()()()2()cos2j tjtjtF tAAedAeeAt 常值函数

15、常值函数常值的频谱仅在零频率上有一常值的频谱仅在零频率上有一函数，其面积为函数，其面积为也就是说，只含直流分量。也就是说，只含直流分量。()F j()F ttA0/20A00000()2()()2c o s()jtjtAftFjft ed tAed tAtd tA 0A 阶跃函数阶跃函数 f(t)=1(t)借助借助函数，有函数，有0022220()00lim()1()()()1tjttjtetfttfttFjft ed teed tjj 且f(t)ReFImF10.250.51.01.00.50.25将将=1/=1/代入代入得得如右图可知，如右图可知，随角频率的增加而很快衰减。随角频率的增加而

16、很快衰减。2222()F jj220Re()1()1(t)()lim()1()FjtFjFjj 对 取极限，可得的频谱它由两部分组成，连续部分和一个 函数()F j()F jRe()F 1Im F 下面进行反推下面进行反推 由于阶跃信号的频谱的高频部分衰减很快，所以用该函数来测由于阶跃信号的频谱的高频部分衰减很快，所以用该函数来测试对象的动态特性，只能得到一个低频的数学模型。试对象的动态特性，只能得到一个低频的数学模型。011()()2112211cossin22cos11sin()21012()1202jtjtftedjedjttdjtjtftdtftt 因 为为 奇 函 数，所 以 有合成

17、为ttf(t)f(t)11/2-1/2 实际脉冲信号实际脉冲信号 函数频谱是常数，它包含了所有频率信息，而且均匀分布函数频谱是常数，它包含了所有频率信息，而且均匀分布 由于能量不能无穷大，实际使用的脉冲总有一定的宽度，令其由于能量不能无穷大，实际使用的脉冲总有一定的宽度，令其脉冲面积为脉冲面积为1 1，对它们进行分析，对它们进行分析 设要分析的实际脉冲的冲量（面积）为设要分析的实际脉冲的冲量（面积）为1 1。讨论以下两种情况。讨论以下两种情况由于由于比较三角形和矩形脉冲（底部宽为比较三角形和矩形脉冲（底部宽为T,T,面积都为面积都为1 1）的低频段特性。）的低频段特性。TT1/T2/T()()

18、0(0)()1()jtF jf t edtF jf t dtf t当时为与横轴所围成的面积A矩形矩形 B三角形三角形 实际脉冲信号的频谱在高频段都是衰减的，只是在一定范围实际脉冲信号的频谱在高频段都是衰减的，只是在一定范围内可以近似为常值；内可以近似为常值；T越小，频谱越宽，所包含的谐波数愈丰富，用来测量对象也越小，频谱越宽，所包含的谐波数愈丰富，用来测量对象也就愈有利；就愈有利；T相同时，三角波较之矩形波更接近理想脉冲；相同时，三角波较之矩形波更接近理想脉冲；要求精度为测定对象在要求精度为测定对象在06rad/s频段上的特性时，就要选宽频段上的特性时，就要选宽度低于度低于0.5s的脉冲信号作

19、为激励信号。的脉冲信号作为激励信号。sin(/2)()/2TF jT22sin(/4)()(/4)TFjT11234567891 01 11 2()Fj()1()Fjt谱 线1ATs0.5ATs0.5BTs0.2 5ATs四、离散付氏变换四、离散付氏变换 作用：实际计算，计算机完成作用：实际计算，计算机完成 付氏变换从谱的角度来分析系统；采用离散付氏变换，需将付氏变换从谱的角度来分析系统；采用离散付氏变换，需将 连续函数离散化，然后用有限个点的来计算频谱。连续函数离散化，然后用有限个点的来计算频谱。给出离散后的付氏变换与反变换给出离散后的付氏变换与反变换 给定给定f(t),进行周期延拓后，得进

20、行周期延拓后，得12/012/0()(),0,1,2,.,1()1()(),0,1,2,.,1()Njkn NnNjkn NkF kf n ekNf nF k enNN变换反变换f(t)tf(t)t 注意点注意点 1、f(n)为为N个离散点的函数值，即个离散点的函数值，即f(0),f(1),f(N-1)2、F(k)为第为第k点付氏变换值，即点付氏变换值，即F(0),F(1),F(N-1)3、F(k)和和f(n)是经过函数是经过函数f(t)进行周期延拓后得到的进行周期延拓后得到的函数（非周期函数转变为周期函数）函数（非周期函数转变为周期函数）a、经过周期延拓处理后，适用于非周期函数、经过周期延拓

21、处理后，适用于非周期函数 b、所得频谱及反变换所的时间的函数是周期延拓后的函数，、所得频谱及反变换所的时间的函数是周期延拓后的函数，但在一个特定范围内，它就代表原函数但在一个特定范围内，它就代表原函数f(t)的特性。其区间对应的特性。其区间对应关系如下：关系如下：0kN/2时，时，F(k)对应原函数对应原函数f(t)0nN/2时，时，f(n)对应原函数对应原函数f(t)离散值离散值 N/2kN时，时，F(k)对应原函数对应原函数f(t)在负频域上的频谱在负频域上的频谱 N/2nN时，时，f(n)对应原函数对应原函数f(t)在负时域上的离散值在负时域上的离散值4、F(k)并不直接等于并不直接等于

22、F(j2fk)F(k)为离散值，为离散值，F(j2fk)为面积的概念为面积的概念 当当-N/2kN/2时，有时，有F(j2fk)F(k)t 通过通过f(0),f(1),f(N-1),可求得可求得F(k),然后，得到然后，得到F(j2fk)其中，其中，t=T/N (N:总离散点数，总离散点数，T：总时间：总时间)5、F(j2fk)一般为复数，故一般为复数，故F(k)也是复数；应用付氏变换得到也是复数；应用付氏变换得到 的是频率特性的是频率特性 通过输入输出的频谱特性，求得传递函数的频率特性。工程通过输入输出的频谱特性，求得传递函数的频率特性。工程上常采用这种测量方法。上常采用这种测量方法。G(s

23、)r(t)y(t)2(2)(2)(2)(2)(2)(2)yxyxfFjfFjfG jfFjfG jfFjf例：例：求以下函数的频谱求以下函数的频谱解：延拓取两种解：延拓取两种T=1和和T=2,见右图见右图 取取T=2s，N=8为例计算为例计算(见图见图3)有有:t=T/N=2/8=0.25s其序列：其序列：f(n)=f(0),f(1),f(2),f(N-1)=f(0),f(1),f(2),f(3),f(4),f(5),f(6),f(7)t0 0.25 0.5 0.75 1.0 1.25 1.5 1.75f(n)=2,1,0,0,0,0,0,1 f(t)t-0.50.5T=2s2f(t)tf(t

24、)tT=1sT=2s22-0.5-0.51图2图3图1 cos20.5()00.50.5ttf tt 1 cos200.5()00.51.5ttf tt nN/2时，时，f(n)是是f(t)的离散值的离散值N/2nN时，时，f(n)是是f(t)在负时域上的离散值在负时域上的离散值将将f(n)代入式代入式有有12/0()()Njkn NnF kf n e2/2/002/2/770800/47/47718(0)()()(0)(1).(7)4(1)()()(0)(1).(7)72(cos)(cos)4422si23.414227in4s n4jknNjnnnjknNjnnnjjFfn efn eff

25、fFfn efn effefejj 2/0/27/23/7241482/(2)()(0)(1).(7)72(cos)(cos)222(3)(07sin221s)(1).(7)3212(cos)(cos)0.58644(4)sin23sin(0)(1).i(4n4jnnjjjjjFfnjeffefeFffefeFffefjjj 75/435/47)0(5)(0)(1).(7)0.586(6)2;(7)3.414jjjeFffefeFF同 理 可 得：f(n)nF(k)k241212345671234567正频域频谱kN/2负频域频谱N/2kN t=T/N=0.25 s，且频率间隔，且频率间隔f=

26、1/T=0.5 Hz由于由于F(j2fk)F(k)tF(j20)F(0)t=40.25=1F(j21)F(1)t=3.4140.25=0.854 虚线虚线+实线部分为真实频谱实线部分为真实频谱，实线部分为所求得的频谱，实线部分为所求得的频谱 N 增加或增加或 t 减小，可以减小频域上的重叠现象。减小，可以减小频域上的重叠现象。对应点对应点456701234f-2-1.5-1-0.500.511.52F(j2fk)00.1470.50.85410.8540.50.1470(2)F jff10.511.52-0.5-1-1.5-2统计分析法统计分析法 工程设计中，会遇到非确定性信息处理问题。工程设

27、计中，会遇到非确定性信息处理问题。确定函数确定函数值是确定的（随时间变化）值是确定的（随时间变化）不确定信号不确定信号值是不确定的，但有统计规律值是不确定的，但有统计规律例如，随机噪声干扰、输入信号的不确定性、噪声的例如，随机噪声干扰、输入信号的不确定性、噪声的测量误差、船舶在不规则海浪中受到的干扰及运动等。测量误差、船舶在不规则海浪中受到的干扰及运动等。对以上信息必须进行定性和定量的分析，所用理论对以上信息必须进行定性和定量的分析，所用理论就是统计分析的方法。他只能给出统计特性（概率分就是统计分析的方法。他只能给出统计特性（概率分布、方差等）。布、方差等）。用它来解决什么问题呢？用它来解决什

28、么问题呢？解决以下四个方面的问题解决以下四个方面的问题 建立系统随机输入和随机干扰模型建立系统随机输入和随机干扰模型 对于结构、参数确定的控制系统，完成随机输入和对于结构、参数确定的控制系统，完成随机输入和随机干扰下的输出统计特征计算、误差的概率分布随机干扰下的输出统计特征计算、误差的概率分布及最大误差范围分析及最大误差范围分析 对于结构确定的控制系统，根据随机控制理论来确对于结构确定的控制系统，根据随机控制理论来确定有效抑制随机干扰的控制系统的最佳控制参数定有效抑制随机干扰的控制系统的最佳控制参数 设计系统时，有效设计环节来抑制干扰并传递有用设计系统时，有效设计环节来抑制干扰并传递有用信息。

29、对多回路系统，要确定各回路的有效带宽信息。对多回路系统，要确定各回路的有效带宽一、随机变量及其概率分布一、随机变量及其概率分布 通过测量，可知某时刻通过测量，可知某时刻 各各点波幅值点波幅值 （i=1,2,k）（k各测量点测得的数据）各测量点测得的数据）设在设在 时刻的时刻的各组波幅值为：（每个时刻对各组波幅值为：（每个时刻对应一个随机变量）应一个随机变量）对于对于t1时刻所测得时刻所测得k组数据，从中取出组数据，从中取出n个波幅值为个波幅值为i i。当。当kk时，其概率时，其概率.ttt(1)()t(2)()t()()kt1t2tjt()()iti 不规则海浪样本表示第记录点的波形曲线jt(

30、)()jit12Nt tt,.,111222(1)(2)()1()()()(1)(2)()2()()()(1)(2)()()()()(1)(3)()()()():,.,:,.,:,.,jjjktttktttkjtttkttttttlimiknPk (-，)，对每一个，对每一个均有一个概率与之对应。均有一个概率与之对应。引入概率分布函数引入概率分布函数F(F()的概念的概念 以以为横坐标，取波幅值在为横坐标，取波幅值在(-，)的概率为的概率为F(F()。对海浪而言，其波幅的平均值为对海浪而言，其波幅的平均值为0 0，因此，因此F(0)=F(-0)=0.5(即表示一半的波幅值在即表示一半的波幅值在

31、 -0之间之间)概率密度概率密度W(W()的定义的定义()()dFWd211211()()()()PWdPW ()F()W120.5012-1-2概 率 分 布 函 数 曲 线概 率 密 度 曲 线面 积 为 1 随机变量的统计特征值随机变量的统计特征值 均值均值(数学期望值数学期望值)：所有波幅可能取值得平均值。：所有波幅可能取值得平均值。其几何意义为其几何意义为W()质量中心的质量中心的坐标。坐标。方差：随机变量偏离均值的程度。方差：随机变量偏离均值的程度。二阶原点矩二阶原点矩 阶中心矩：阶中心矩：()Wd22()()Wd22()mWd()()Wd0112:()1:()()0:()()Wd

32、WdWd零阶中心矩一阶中心矩二阶中心矩二、典型概率分布二、典型概率分布 正态分布（高斯分布）正态分布（高斯分布）(波幅函数波幅函数(t)(t)符合正态分布符合正态分布)()w x()w xxx0m12m0.3410.3410.1360.1360.0210.0210m10.42.5222()/(2)/2221()20,11()2()()()()()(),2,3()0.6827(2)0.9545(3)0.9973,99.73%xmxw xemw xeE xx Wx dxmD xxmWx dxmmmpxmpxmpxmm 当时，为 标 准 正 态 分 布均 值(方 差)的 概 率 为工 程 上 对 正

33、 态 分 布 的 随 机 变 量 有地 把 握 不 会 超 出3的范 围。为 均 方 差 均匀分布均匀分布 变量在变量在a、b之间取值具有相同的概率分布其概率密度为之间取值具有相同的概率分布其概率密度为 瑞利分布瑞利分布 一个连续性随机变量满足正态分布，而它的能量又分布在一个一个连续性随机变量满足正态分布，而它的能量又分布在一个很窄的频带上时，那么这个随机变量满足瑞利分布。很窄的频带上时，那么这个随机变量满足瑞利分布。不规则海浪的波幅幅度不规则海浪的波幅幅度m m符合瑞利分布符合瑞利分布()w xxab22/(2)22,0()0,0(),()(4)/22xxexw xxE xD x 21,()

34、0,()(),()21 2axbwxbaxaxbabbaExDx2()w xx等面积 引入多维随机变量概念引入多维随机变量概念 左图代表左图代表k个不同测试点所测个不同测试点所测得的数据，不同时刻得的数据，不同时刻tj对应一个对应一个状态变量（由状态变量（由k个值组成），对个值组成），对应应t1,t2,tj,，就构成了多维，就构成了多维随机变量。随机变量。用向量来表示的多维随机变用向量来表示的多维随机变量，称之随机向量。量，称之随机向量。每个每个xj皆为一个一维随机变量。皆为一个一维随机变量。以二维为例：以二维为例：.ttt(1)()t(2)()t()()kt1t2tjt()()iti 不规则

35、海浪样本表示第 记录点的波形曲线12,.,TnXxxx12,TXxx12112212121212,(,)(,),x xxdxxdxw x x dx dxw x xx x分别同时取值，之间的概率是，则是随机变量的联合概率密度函数。k维随机变量维随机变量 的统计特征的统计特征 均值均值(一阶矩一阶矩)协方差（二阶中心矩）协方差（二阶中心矩）12,.,TkXx xx12(),1,2,.,(,.,.,)iiTikmE xikMmmmm向 量 形 式：1 11 212 12 2212c o v(,)()()()()(,),1,2,.,.,.ijijiijjiijjijijkkijjikkk krxxEx

36、mxmxmxmwxxd x d xijkrrrrrrRrrrrr 其 矩 阵 形 式且/21/211()(2)(det)exp()()2kTMRw XRXMRXM对 正 态 随 机 向 量，具 有和的 联 合 概 率 密 度三、随机过程的定义三、随机过程的定义 观察不同点处的波幅随时间的观察不同点处的波幅随时间的变化变化 ，它，它们不仅是测量点的随机变量，而们不仅是测量点的随机变量，而且还是时间的函数且还是时间的函数称随时间变化而随机取值的时间称随时间变化而随机取值的时间随机函数为随机过程。随机函数为随机过程。需要采用随机理论进行定量定需要采用随机理论进行定量定性地分析，研究概率分布，确定性地

37、分析，研究概率分布，确定n维概率密度，进行大量的试验维概率密度，进行大量的试验测试和统计。测试和统计。工程中，需要做一些假设，突工程中，需要做一些假设，突出主要矛盾，形成满足一定假设条出主要矛盾，形成满足一定假设条件的随机过程。件的随机过程。.ttt(1)()t(2)()t()()kt1t2tjt()()iti 不 规 则 海 浪 样 本表 示 第记 录 点 的 波 形 曲 线(1)(2)()()()(),.,kttt(1)(2)()()()(),.,jjjkttt 两种典型的随机过程两种典型的随机过程 马尔科夫随机过程马尔科夫随机过程 随机过程未来的进展和我们所取得的某一开始的时刻有关，而与

38、随机过程未来的进展和我们所取得的某一开始的时刻有关，而与这时刻以前的特性无关。这时刻以前的特性无关。过去即使知道得再多，也无助于了解未来。过去即使知道得再多，也无助于了解未来。比较容易进行数学处理，且结果与实际比较吻合。比较容易进行数学处理，且结果与实际比较吻合。平稳随机过程平稳随机过程 对于前一段的统计，可以很有意义地用来估计其未来的发展。对于前一段的统计，可以很有意义地用来估计其未来的发展。其其本质特点是：概率密度函数的形状不随时间而变化。即本质特点是：概率密度函数的形状不随时间而变化。即:其形状不其形状不随随时间轴上的计时起点而变化。（许多工程实际符合该假设，海浪）时间轴上的计时起点而变

39、化。（许多工程实际符合该假设，海浪）对第对第k个测量点个测量点 所决定的随机过程是平稳随机过程，则有两所决定的随机过程是平稳随机过程，则有两组值组值()()ktt()()kt1t2tjt1212()()()()()()()()()()()()(1):,.,(2):,.,kkkkktttkkkttt它们的概率分布函数相同，与时刻它们的概率分布函数相同，与时刻t、测量点位、测量点位k及组数及组数n无关。无关。即：即：平稳随机过程的两个特点平稳随机过程的两个特点 平稳性平稳性 过程的统计特征值与过程的统计特征值与 无关，可以用过去对该过程的认识预报无关，可以用过去对该过程的认识预报未来和现在。未来和

40、现在。遍历性（各态历经性）遍历性（各态历经性）过程的统计特征值与测点过程的统计特征值与测点k无关，可以用某一点的测量数据来无关，可以用某一点的测量数据来统计整个过程的概率分布统计整个过程的概率分布。利用平稳随机过程的这两个特点，可以使其实现空间（总体）利用平稳随机过程的这两个特点，可以使其实现空间（总体）和时间的转化。和时间的转化。1212()()()()1()2()()()()()1()2()(,;,;.;,)(,;,;.;,)nnkkktttnkkktttnwtttwttt 例：例：考察成熟海浪这个平稳随机过程考察成熟海浪这个平稳随机过程 此时的海浪是一个平稳随机过程此时的海浪是一个平稳随

41、机过程 可以在某个测量点处纪录波幅可以在某个测量点处纪录波幅(t)(t)的足够长的足够长(相对于海浪的相对于海浪的周期而言，一般测量周期而言，一般测量200200个波形个波形)的变化，把纪录分成一定长度的的变化，把纪录分成一定长度的若干段，把其中的每一段记作若干段，把其中的每一段记作 ，其中，其中k=1,2,k=1,2,均值：均值：二阶原点矩：二阶原点矩：()()ktt(1)()t(2)()t()()kt(3)()t.1(,)lim()20TTTWt dt dtT平稳性遍历性平稳对时间的统计平均。222221(,)lim()2TTTmWt dtdt mT 平稳性平稳遍历性，四、相关函数四、相关

42、函数 零均值平稳随机过程。以海浪为例零均值平稳随机过程。以海浪为例 考察考察 的均值，令：的均值，令：有：有：称为相关函数。表征称为相关函数。表征 和和 的关联程度。的关联程度。用用 描述平稳随机过程：一个随机过程均值为常数，而它的描述平稳随机过程：一个随机过程均值为常数，而它的相关函数只与时间间隔相关函数只与时间间隔 有关，这样的随机过程为平稳随机过程。有关，这样的随机过程为平稳随机过程。判断是否平稳，只要看判断是否平稳，只要看 是不是在任何是不是在任何t值和值和 值下都相同。值下都相同。()()tt12(),()tt()R121212()()()(,)1lim()()2TTTRttWddt

43、t dtT ()t()t()R12(,)Wtt0(0)(0)0RR 时，为 最 大。关 联 大，无 关 联 相关函数的特点相关函数的特点 很大时，均值为零的随机过程，有很大时，均值为零的随机过程，有 初值初值 相关函数是偶函数。即相关函数是偶函数。即 对于对于(t)(t)与与(t)(t)之间之间的互相关函数不是偶函数，而是的互相关函数不是偶函数，而是的共轭的共轭函数。函数。自相关函数自相关函数 互相关函数互相关函数lim()()0RR 21(0)lim()(0)2TTTRttdtT()()RR()()()()()()RttttR,()()()()()()()()RttttttR 2,()(0)

44、()(0)(0)RRRRR 依据试验记录曲线求取相关函数依据试验记录曲线求取相关函数 按定义按定义:用数值法：用数值法：取离散值取离散值注意：注意：M为全部采样点数，且有为全部采样点数，且有 ；数据长度数据长度Mt应大于应大于x(t)中最大周期的中最大周期的10倍以上；倍以上；采样间隔采样间隔t要小于要小于x(t)中最小周期的中最小周期的1/4。1()lim()()2TTTRx tx tdtT(),()x t x t11111()()()()1()()()MnlMnlRR ntx lt x ltntMnR nx l x lnMn 数据点不多时，可简写为：,ntnltt 决定五、谱密度五、谱密度

45、 以海浪为例，一个随机波幅函数以海浪为例，一个随机波幅函数(t)(t)，可用无穷多个谐波之，可用无穷多个谐波之和来表示。和来表示。对于某个谐波分量，单位面积水柱的平均波动总能量为对于某个谐波分量，单位面积水柱的平均波动总能量为则部分海浪能量（依则部分海浪能量（依从从0 0开始，由小到大，求前开始，由小到大，求前i i项之和项之和）为）为1()sin():imiiiimiittiii第 个 谐 波 函 数 的 波 幅 值第 个 谐 波 函 数 的 园 频 率第 个 谐 波 函 数 的 初 相 角212imieg2112k miikE(t)(t)的平均波动总能量，以的平均波动总能量，以为自变量为自

46、变量考察考察 的导数，称其为能量谱密度（谱密度函数的导数，称其为能量谱密度（谱密度函数 ）。）。表示单位表示单位上的能量大小。量纲上的能量大小。量纲;在在 之间能量之间能量为为 。(t)(t)在每一个分量在每一个分量i i处有：处有：用来对已知谱密度的随机过程进行时域合成。用来对已知谱密度的随机过程进行时域合成。201,(),2kmkEE2计为量纲为：米()E()S()S()Eii E()E()S2米秒()()dESdiiE()ES2()imS 定义：定义：设设x(t)为平稳随机过程，取为平稳随机过程，取-TT段，有段，有对对xT进行付氏变换进行付氏变换其相关函数为其相关函数为(),()0,T

47、x tTtTxttTtT22()()()1()()221()lim()22TjtjtTTTTTTTxjxt edtxt edtTxjx tTSxjT 当时，定 义的 极 限 值 为的 普 密 度 函 数，即1()(),()()2jtjFjfedftFjed ()1()lim()()211()()221()()221()()22TTTTTjtTTjtjTTjTTRxt xtdtTxtxjeddtTxt edtxjedTxjxjedT 考虑总体平均值与时间均值相等，且考虑总体平均值与时间均值相等，且t,有有可见，可见，S()就是就是R()的付氏变换。可以推出：的付氏变换。可以推出：因此，对于一个平

48、稳随机过程，可以用实验纪录来求取其相关因此，对于一个平稳随机过程，可以用实验纪录来求取其相关函数，然后用付氏变换得到谱密度函数。函数，然后用付氏变换得到谱密度函数。几种典型的谱密度函数几种典型的谱密度函数 白噪声：白噪声：一种随机噪声，能量均匀沿一种随机噪声，能量均匀沿分布，其相关函数是分布，其相关函数是。特点：特点：X(tX(t)的过去与未来之间没有任何的过去与未来之间没有任何关系（很好的干扰信号）其相关函数除关系（很好的干扰信号）其相关函数除=0=0，R(0)R(0)外，其余外，其余R(R()=0)=0。白噪声能量无穷大。工程上，白噪声白噪声能量无穷大。工程上，白噪声不能实现。但可以取远大

49、于系统带宽的噪声近似代替。不能实现。但可以取远大于系统带宽的噪声近似代替。1()(),()()2jjRSedSRed2(0)(),()xRSdS与围成的面积11()()22jSed()S12 海浪谱海浪谱 一种典型随机过程，与风、海域、海流密切相关，目前尚不能建立准确的数一种典型随机过程，与风、海域、海流密切相关，目前尚不能建立准确的数学模型；研究其统计规律对载体运动意义重大。介绍一个海浪谱。学模型；研究其统计规律对载体运动意义重大。介绍一个海浪谱。P-M谱（谱（1966年年ITTC建立的单参数标准谱）建立的单参数标准谱）三个假设：三个假设：强风吹过后，海浪成熟，是一个平稳随机过程强风吹过后，

50、海浪成熟，是一个平稳随机过程 波幅波幅(t)(t)的瞬时值服从高斯分布，均值为零的瞬时值服从高斯分布，均值为零 波幅波幅(t)(t)的幅度的幅度m m服从瑞利分布，即能量分布在较窄频带上服从瑞利分布，即能量分布在较窄频带上有有有义波高的含义：纪录一段有义波高的含义：纪录一段波幅波幅(t)(t)，共，共N N个值，将它们由大到小排列。取前面个值，将它们由大到小排列。取前面1/31/3的个数的幅值相加后平均是有义波幅值，计为的个数的幅值相加后平均是有义波幅值，计为 ，有义波高为，有义波高为25403221/31/3()exp()(0)()3.118.1 10,()ABSRSdAgBHH，其中，为有