第四章高数何满喜46定积分的应用选编课件.ppt

1、第四章 一元积分学4.6 4.6 定积分的应用定积分的应用4.6.1 4.6.1 微元法微元法4.6.2 4.6.2 定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用*4.6.3 4.6.3 定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用*4.6.4 4.6.4 定积分在经济中的应用定积分在经济中的应用 4.6.5 4.6.5 小结小结 回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题()baAf x dxabxyo)(xfy 4.6.1 4.6.1 微元法微元法1xix1ixxabyo解决步骤解决步骤 :1)1)大化小大化小.在区间在区间 a,b 中中任意任意插入插入 n 1 个个bxxxxxann12

2、101,iiixx.用直线用直线ixx 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n 个小曲边梯形个小曲边梯形;2)2)常代变常代变.在第在第i 个窄曲边梯形上个窄曲边梯形上任取任取作以作以,1iixx为底为底,)(if为高的小矩形为高的小矩形,并以此小并以此小梯形面积近似代替相应梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积窄曲边梯形面积,iA得得)()(1iiiiiixxxxfA),2,1,nii分点分点3)3)近似和近似和.niiAA1niiixf1)(4)4)取极限取极限.令令,max1inix则曲边梯形面积则曲边梯形面积niiAA10limniiixf10)(lim1xix1ixxabyo分析：分析：在

3、上述问题注意到在上述问题注意到:所求量所求量(即面积即面积)A满足：满足：1.1.与区间与区间a,b及及a,b上连续函数上连续函数f(x)有关有关;2.2.对对a,b具有可加性，即具有可加性，即1;niiAA3.3.局部量局部量 ，且误差为，且误差为 .()iox()iiiAfx表示为表示为01lim()niiiFfx什么问题可以用定积分解决什么问题可以用定积分解决?1)1)所求量所求量 F是与区间是与区间a,b上的某分布上的某分布f(x)有关有关2)2)F在区间在区间a,b上上具有具有可加性可加性,即可通过即可通过“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,取极限取极限”baxxfd)(ni

4、iixf10)(lim定积分定义定积分定义的一个整体量；的一个整体量；如何应用定积分解决问题如何应用定积分解决问题?第一步第一步 利用利用“化整为零化整为零,以常代变以常代变”求出求出微分表达式微分表达式d()dFf xx第二步第二步 利用利用“积零为整积零为整,无限累加无限累加”求出求出积分表达式积分表达式F()dbaf xx这种分析方法成为这种分析方法成为微元分析法微元分析法，简称，简称微元法微元法.整体量的整体量的精确值精确值局部量的近似值局部量的近似值直角坐标系下求平面图形面积直角坐标系下求平面图形面积4.6.2 4.6.2 定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用4.6.2.1 4.

5、6.2.1 平面图形的面积平面图形的面积（演示）（演示）1.1.由由x=a,x=b,y=0 及及 y=f(x)(f(x)0)所围成所围成的平面图形的面积为的平面图形的面积为()baSf x dx2.2.由由x=a,x=b,y=0 及及 y=f(x)所围成的平面图所围成的平面图形的面积为形的面积为()baSf x dxX型平面图形型平面图形Y型平面图形型平面图形定理定理1 1 若函数若函数f(x)和和g(x)在在a,b上连续且总有上连续且总有，则由两条连续曲线，则由两条连续曲线y=f(x),y=g(x)()()g xf x与两条直线与两条直线x=a,x=b所围成的所围成的X型平面图形的型平面图形

6、的面积为：面积为：()()baSf xg x dx定理定理2 2 若函数若函数f(x)和和g(x)在在a,b上连续，则由上连续，则由两条连续曲线两条连续曲线y=f(x),y=g(x)与两条直线与两条直线x=a,x=b所围成的所围成的X型平面图形的面积为：型平面图形的面积为：()()baSf xg x dx定理定理3 3 若函数若函数 、在在c,d上连续，上连续，()xy()xy图形的面积为：图形的面积为：()()dcSyy dy与两条直线与两条直线y=c,y=d所围成的所围成的Y型平面型平面()xy，则由两条连续曲线，则由两条连续曲线()()yy()xy且总有且总有定理定理4 4 若函数若函数

7、 、在在c,d上连续，上连续，()xy()xy()()dcSyy dy线线y=c,y=d所围成的所围成的Y型平面图形的面积为：型平面图形的面积为：则由两条连续曲线则由两条连续曲线 、与两条直与两条直()xy()xy例例1 求由曲线求由曲线 以及直线以及直线 所围的所围的平面图形的面积平面图形的面积.2xy2yx解：这是一个解：这是一个Y型平面图形，型平面图形，可解得曲线的交点为：可解得曲线的交点为：(1,-1)，(4,2)2212()Syydy92例例2 求由曲线求由曲线 以及以及 所围的平所围的平面图形的面积面图形的面积.32yxx2yx解：这是一个解：这是一个X型平面图形，型平面图形，可解

8、得曲线的交点为：可解得曲线的交点为：(1,-1)，(0,0),(2,4)23212()Sxxx dx0232231022()()xxxdxxxx dx3712极坐标系下求平面图形面积极坐标系下求平面图形面积0()及射线及射线 围成，则面积为：围成，则面积为：,定理定理5 5 设一平面图形由连续曲线设一平面图形由连续曲线()dS)(212例例3 3 求求224xy224xyx与与内的公共部分内的公共部分的面积的面积解解 由对称性，只需求出上半部分的面积由对称性，只需求出上半部分的面积 极坐标系下两曲线的方程分别为极坐标系下两曲线的方程分别为 2cos4)20(交点坐标为：交点坐标为：23 232

9、 0 3112(4 16cos)22Sdd23411816(sin2)2 33243sin22cos2例例4 4 求圆求圆与双扭线与双扭线围成的图形的面积围成的图形的面积 交点为：交点为：，226 6522由对称性可得：由对称性可得：2 64 0 6112(2sincos2 )22Sdd 64 061 cos212sin222d13622解解参数方程形式下求平面图形面积参数方程形式下求平面图形面积定理定理6 6 设一平面图形的边界方程为设一平面图形的边界方程为)()(tytx()t 且且 、可导，则该平面图形的可导，则该平面图形的)(t)(t面积为：面积为：()()Stt dt例例5 5 求椭

10、圆求椭圆22221(0,0)xyabab所围成的面积所围成的面积平行截面面积已知的体积计算平行截面面积已知的体积计算4.6.2.2 4.6.2.2 空间几何图形的体积空间几何图形的体积badxxAV )(定理定理7 设有一空间几何体，该立体位于平面设有一空间几何体，该立体位于平面x=a和和x=b之间之间.已知垂直已知垂直x轴的截面面积函数轴的截面面积函数为为A(x)，且，且A(x)在在a,b上连续上连续，则该几何体则该几何体的体积为的体积为解解 由已知，取底圆的一条直径为由已知，取底圆的一条直径为x轴，在底圆轴，在底圆 则该底圆则该底圆例例6 6 已知一几何体的底面是以已知一几何体的底面是以5

11、 5为半径的圆，为半径的圆，用垂直于底圆的平面去截该几何体，截得的截用垂直于底圆的平面去截该几何体，截得的截面是等边三角形，求该几何体的体积面是等边三角形，求该几何体的体积上取一条垂直于上取一条垂直于x轴的直径作为轴的直径作为y轴，轴，的方程为的方程为 .2225xy在在-5,5之间任取一点之间任取一点x，过该点的截面面积为过该点的截面面积为213 252()()A xABCDx 5 52 5 55003(2533()VA x dxxdx 由平面图形由平面图形D绕定直线绕定直线l旋转一周生成的几旋转一周生成的几何形体称为何形体称为旋转体旋转体，定直线称为，定直线称为旋转轴旋转轴示例：圆锥、圆柱

12、、圆台、等都是旋转体示例：圆锥、圆柱、圆台、等都是旋转体.旋转体的体积计算旋转体的体积计算（演示演示1）（演示演示）（演示演示2）推论推论1 连续曲线连续曲线y=f(x)与直线与直线x=a,x=b及及x轴所围轴所围成的曲边梯形绕成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成的旋转体体积轴旋转一周生成的旋转体体积为为2()baVfx dx（演示演示）围成的曲边梯形绕围成的曲边梯形绕y轴旋转一周生成的旋转体体轴旋转一周生成的旋转体体积为积为2()dcVy dy推论推论2 连续曲线连续曲线 与直线与直线y=c,y=d及及y轴所轴所()xy（演示演示）2yx1x 例例7 7 求由曲线求由曲线与直线与直线以及以及x轴所

13、围轴所围成的图形分别绕成的图形分别绕x轴、轴、y轴旋转所成的立体的体轴旋转所成的立体的体积积.解解 绕绕x 轴旋转所得立体的体积为轴旋转所得立体的体积为1410dVxx5 1015x15绕绕y轴旋转所得立体的体积为轴旋转所得立体的体积为122201d()Vyy2 1012y12xoy0MA nMB 1M2M1 nM011,nnAMMMMB4.6.2.3 4.6.2.3 平面曲线的弧长平面曲线的弧长直角坐标系下求曲线的弧长直角坐标系下求曲线的弧长定理定理8 设设y=f(x)在在a,b上存在连续导数，则该上存在连续导数，则该函数在函数在a,b上的曲线弧长为上的曲线弧长为 2 1()basfxdx例

14、例8 求对数曲线求对数曲线y=lnx在区间在区间1,3上的弧长上的弧长.解解2 3 32 1 111 1xsdxdxxxarctan3 4sectantantdtt3344arctanarctanseccscttdt101211023()()ln参数方程形式下求曲线的弧长参数方程形式下求曲线的弧长 定理定理9 设设 ,在在 上存在连上存在连续导数，则曲线续导数，则曲线 ()的弧长为的弧长为()xt()yt,()()xtyt t 22()()sttdt例例9 求旋轮线求旋轮线 一拱一拱()的弧长的弧长.01sin()cosxa ttayat02t极坐标系下求曲线的弧长极坐标系下求曲线的弧长 定理

15、定理10 设设 是是 的连续可导函数的连续可导函数,则曲则曲线线 的弧长为的弧长为()()()22()()sd 例例10 求阿基米德螺线求阿基米德螺线的弧长的弧长.0 02(,)aa解解 22 01sad 222142142ln()a222011122(ln()a 4.6.3.1 4.6.3.1 质心质心*4.6.3 4.6.3 定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用 现有一均匀薄片现有一均匀薄片,由曲线由曲线 ,()yf x()yx，及直线及直线x=a,a=b所围成，且所围成，且 .薄片的薄片的()()f xx面密度为常数面密度为常数 ，则其质心，则其质心 为为(,)x y()()()()

16、babax f xx dxxf xx dx2212()()()()babafxx dxyf xx dx例例11 11 求密度均匀的直角三角形薄片的质心求密度均匀的直角三角形薄片的质心取坐标系如图所示取坐标系如图所示直线直线AB的方程为的方程为解解()byaxa故质心坐标为故质心坐标为00()()aabxax dxaxbax dxa3a20012()()aabaxdxaybax dxa3b4.6.3.2 4.6.3.2 变力做功变力做功 如果物体在运动过程中所受的力是变化的，如果物体在运动过程中所受的力是变化的，之间满足之间满足y=F(x)，则此力将物体从，则此力将物体从x=a移动到移动到x=b

17、所做的功为所做的功为设做直线运动的物体所受的力与移动的距离设做直线运动的物体所受的力与移动的距离x()baWF x dx例例12 12 用铁锤将铁钉击入木板设木板对铁钉用铁锤将铁钉击入木板设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在击第的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在击第一次时，将铁钉击入木板一次时，将铁钉击入木板1cm 1cm，如果铁锤每次，如果铁锤每次打击铁钉所作的功相等，问锤击第二次时，铁打击铁钉所作的功相等，问锤击第二次时，铁钉又击入多少？钉又击入多少？4.6.3.3 4.6.3.3 液体静压力液体静压力例例1313设半径为设半径为R，的圆形水闸门与水面垂直置，的圆形水闸门与水

18、面垂直置于水中，水面与闸顶齐，求闸门所受的总压力于水中，水面与闸顶齐，求闸门所受的总压力4.6.3.4 4.6.3.4 引力引力例例14 14 设有一长度为设有一长度为l，质量为，质量为M的均匀细直棒，的均匀细直棒，另有一质量为另有一质量为m的质点与细直棒在同一条直线的质点与细直棒在同一条直线上，它到细直棒的近端距离为上，它到细直棒的近端距离为a，试计算该棒，试计算该棒对质点的引力对质点的引力*4.6.4 4.6.4 定积分在经济中的应用定积分在经济中的应用210303()I ttt012t 例例15 15 设某货物去年各月的存货量可用下式表达设某货物去年各月的存货量可用下式表达其中其中t表示

19、月份，表示月份，I(t)表示在表示在t月份的存货量月份的存货量.试求去年第二季度平均存货量（单位：吨）试求去年第二季度平均存货量（单位：吨）例例16 16 某公司每个月生产某公司每个月生产x台电视机，边际利润台电视机，边际利润（以美元为单位）由下式给出：（以美元为单位）由下式给出：目前公司每月生产目前公司每月生产15001500台电视机，并计划提高台电视机，并计划提高1650 1().L xx04000 x 产量，试求出每月生产产量，试求出每月生产16001600台电视机时，利润台电视机时，利润增加了多少？增加了多少？1.1.微元法的提出、思想、步骤微元法的提出、思想、步骤.（注意微元法的本质

20、）（注意微元法的本质）4.6.5 4.6.5 小结小结2.2.定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用平面图形的面积平面图形的面积边界方程边界方程极坐标方程极坐标方程直角坐标方程直角坐标方程参数方程参数方程已知平行截面面积函数已知平行截面面积函数A(x)的立体体积的立体体积baxxAVd)(旋转体的体积旋转体的体积绕绕 x 轴轴 :绕绕 y 轴轴 :)(xyy 平面曲线的弧长平面曲线的弧长曲线方程曲线方程 参数方程方程参数方程方程极坐标方程极坐标方程22)(d)(ddyxs弧微分弧微分:d)()(d22rrs直角坐标方程直角坐标方程注意注意:求弧长求弧长时积分上下限时积分上下限必须必须上大下小上大下小3.3.定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用质心质心 变力做的功变力做的功 液体静压力液体静压力 引力引力4.4.定积分在经济中的应用定积分在经济中的应用人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。