第四章+转动参照系课件.ppt

1、上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 第四章第四章 转动参照系转动参照系 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 j yi xr )()(dtj dydti dxj yi xdtrdv 4.1 4.1 平面转动参照系平面转动参照系xy ijkrPS O 平面参照系（平板）平面参照系（平板）以角以角速度速度 绕垂直于自身的轴转动。绕垂直于自身的轴转动。S 固着于固着于 系系S xyO 任一任一常模常模矢量矢量 对时间的微商，等对时间的微商，等于其运动角速度于其运动角速度 与其本身的叉积。与其本身的叉积。A AdtAd 1、

2、速度（在静系中）、速度（在静系中）上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 rvv jxyiyxv)()(idti d jdtj d kdtkd j xi yzyxkjir 00j yi xv 牵牵连连速速度度相对速度相对速度上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 )()(dtj dydti dxj yi x )(j yi xdtddtvd j xi yj yi xkv )()()(j xi yj yi x 相对变化率相对变化率2、加速度（在静系中）、加速度（在静系中）dtvda 绝对变化率绝对变化率牵连变化率牵连变化率dt

3、rdrdtddtvd 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 )(j yi xdtddtrd )(rv rrv2)(rv2 rrdtd vrrj yi xa 2)(2vj yi xdtvd )(上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 vrrj yi xa 2)(2ctaaaa rrat2 )(j yi xa vac 2牵连向心牵连向心加速度加速度牵连切向牵连切向加速度加速度上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 (1)科氏加速度科氏加速度相对运动相对运动(即即 )v 相对速度相对速度 的

4、的方向方向发生变化发生变化v 牵连速度牵连速度 中中 的的大小大小发生变化发生变化r r在静系看：在静系看：牵连运动牵连运动(即即 )vac 2 1v xO111rvv 1r1r 2v x 1v 2r 222rvv 2r上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 OxyPv ijkv 2(2)牵连加速度牵连加速度rrat2 即刚体定轴转动时，刚体（薄片）上任一点的加速度。即刚体定轴转动时，刚体（薄片）上任一点的加速度。(3)如果如果 不与不与 重合，且重合，且 对对 的速度、加速度分别的速度、加速度分别为为 、，则，则0vO OOO 0arvvv 0ctaaaa

5、a 0 cavac 所决定的平所决定的平面，其指向可将面，其指向可将 随着随着 转转一直角即得。一直角即得。vac 、v 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 4.2 4.2 空间转动参照系空间转动参照系xy ijkrP O z)(O 静系：静系：固着在空间固着在空间 O动系：动系：固着在固着在刚体刚体xyzO 刚体绕定点刚体绕定点O转动的角速度为转动的角速度为 kGjGiGGzyx kdtdGjdtdGidtdGdtGdzyx dtkdGdtj dGdti dGzyx 任一矢量任一矢量kdtdGjdtdGidtdGzyx )(kGjGiGzyx 上上 页

6、页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 rdtrddtrdv *GdtGddtGd *kdtdGjdtdGidtdGdtGdzyx *则则rvv 或或上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 dtvda 2*2dtrd)(*rdtrddtd rdtddtrd *2*2 dtddtd*)(*rdtrd dtrd*rdtd *)(*rdtrd )(r dtrd*2 dtddtddtd *vdtvd *上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 )(rrdtdat vac 2rrr2)(或或2*2dtrda

7、 科氏加速度科氏加速度相对加速度相对加速度牵连加速度牵连加速度上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 OMrr cos OrPRM rOMrr222)(牵连向轴加速度牵连向轴加速度Rrat2 R2 讨论讨论 1、一般与一般与 不共线，不共线，一般不沿一般不沿P点切向，所以称为点切向，所以称为牵连转动牵连转动加速度。加速度。r dtd zxyijkrP O 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 2、如果、如果 系以系以匀角速转动匀角速转动，即，即 =常矢量，例如地球自转，则常矢量，例如地球自转，则 S 0 OrPRM Ra

8、t2 故故 3、如果、如果 不与不与 重合，且重合，且 对对 的速度、加速的速度、加速度分别为度分别为 、，则，则0vO OOO 0arvvv 0ctaaaaa 0上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 相对加速度：相对加速度：ctaaaa 动力学方程：动力学方程：ctamamFam vmrmrmF 22一、平面转动参照系一、平面转动参照系ctFFF rmrmFt2 vmFc 2切向惯性力切向惯性力惯性离心力惯性离心力上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 ctamamFam vmrmrmrmF 2)(2二、空间转动参照系

9、二、空间转动参照系ctFFF RmrmFt2 vmFc 2vmRmrmF 22 OrPRM 转动惯性力转动惯性力惯性离心力惯性离心力上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 （1）如果如果 系以匀角速转动，即系以匀角速转动，即 =常矢量，例常矢量，例如地球自转，则如地球自转，则 S 讨论讨论故故 （2）如果如果 不与不与 重合，且重合，且 对对 的加速度的加速度为为 ，则，则O OOO 0aRmFt2 vmRmFam 22vmRmrmamFam 220vmrmrmrmamFam 2)(20上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照

10、系 如果如果P固着在动系中不动，则：固着在动系中不动，则：0,v 即：当质点在非惯性系中处于平衡时，主动力、即：当质点在非惯性系中处于平衡时，主动力、约束反作用力和由牵连运动引起的惯性力的矢量和等约束反作用力和由牵连运动引起的惯性力的矢量和等于零。称为于零。称为相对平衡相对平衡。三、相对平衡三、相对平衡0 tamF,0 a0 ca上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 srad/103.75 方向沿地理地轴。方向沿地理地轴。地面参考系地面参考系地心参考系地心参考系，公转加速度：，公转加速度：太阳参考系太阳参考系，绕银河系加速度：，绕银河系加速度：a 3.4

11、3.4 cm/s2a 3 3 10-8 cm/s2a 0.6 0.6 cm/s2地球公转产生的惯性离心力与太阳引力近似抵消。地球公转产生的惯性离心力与太阳引力近似抵消。4.4 4.4 地球自转产生的影响地球自转产生的影响自转角速度：自转角速度：自转加速度：自转加速度：上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 1、惯性离心力、惯性离心力 Rmrm2)(重力：重力：RmFamP2 引引赤道：赤道：minmaxPR两极：两极：R=0，引引FP a、使重力方向偏离地心、使重力方向偏离地心b、使重力小于地球引力、使重力小于地球引力=常矢量常矢量 0 引引FP Rm2 O

12、 FTFRRm2 W上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 2、科氏力、科氏力vm 2单位矢量固定在地球表面：单位矢量固定在地球表面：ki sincos 地球自转角速度（地轴方向）可表示为地球自转角速度（地轴方向）可表示为：水平向南水平向南：i水平向东水平向东：j竖直向上竖直向上：kvmkmgFam 2 北半球上某点北半球上某点P相对地相对地球的运动微分方程为：球的运动微分方程为：Oijv kNSPgm 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 zyxkjiv sin0cos cos2)cossin(2sin2ymmgFzm

13、zxmFymymFxmzyx (1)贸易风贸易风(2)轨道磨损和河流冲刷轨道磨损和河流冲刷 在北半球上，科里奥利力的水平分量总是指向运在北半球上，科里奥利力的水平分量总是指向运动的右侧。动的右侧。*上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 OcFcFv v v cF贸易风贸易风上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 cos2cos)(sin2sin2ygtzhzxyyx (3)落体偏东落体偏东 设质点从有限的高度设质点从有限的高度h处自由落下，处自由落下，g值不变，且值不变，且重力以外的重力以外的Fx=Fy=Fz=0。000

14、 zyxhzyxt；，时，时，对对*式积分，并将初始条件代入，得式积分，并将初始条件代入，得把上式代入把上式代入*式，得式，得上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 tghztgyx2321cos310 cos2cos20ygtzgtyx cos)(sincos44cos2cos)(sinsin4222 hzxgzygtyhzxx 略去含略去含 项的二阶小量，得项的二阶小量，得2 积分两次积分两次 代入代入初始条件初始条件上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 消去消去t，得轨道方程：得轨道方程：3222)(cos98hz

15、gy 偏东量：偏东量：)0(,cos8313 zghy 2 2、弹道向右侧偏离（北半球，南半球反之）；、弹道向右侧偏离（北半球，南半球反之）；1 1、科氏力永远、科氏力永远，v 对质点不作功；对质点不作功；讨论：讨论：3 3、如果不忽略、如果不忽略 2 2 项，则还有向南偏移分量。项，则还有向南偏移分量。例：例：一战中，英国海军在马尔维纳斯群岛发射的炮弹。一战中，英国海军在马尔维纳斯群岛发射的炮弹。上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 罗斯贝定则（气象学）罗斯贝定则（气象学）：北半球气流左偏，南半球气流：北半球气流左偏，南半球气流右偏。故北半球气旋（旋风）

16、是逆时针旋转的。右偏。故北半球气旋（旋风）是逆时针旋转的。4.5 4.5 傅科摆傅科摆 假如北极挂一摆假如北极挂一摆静系看：振动面始终在铅直面内。静系看：振动面始终在铅直面内。傅科效应傅科效应：地球自转使球摆在北半球以角速度顺时针转：地球自转使球摆在北半球以角速度顺时针转动（南半球反之）。动（南半球反之）。动系看：若考虑地球以动系看：若考虑地球以 自转，则振动面以自转，则振动面以 转动。转动。傅科实验傅科实验：18511851年，巴黎年，巴黎周期周期16.5s，顺时针转，顺时针转 31小时小时47分摆面转一圈。分摆面转一圈。，h/20110悬线长悬线长67cm67cm，摆球重，摆球重28kg2

17、8kg（直径（直径30cm30cm）上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 北半球北半球南半球南半球上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 例例 在一光滑水平直管中，有一质量为在一光滑水平直管中，有一质量为m的小球，此的小球，此管以恒定角速度管以恒定角速度绕通过管子一端的竖直轴转动。如绕通过管子一端的竖直轴转动。如果起始时，球距转动轴的距离为果起始时，球距转动轴的距离为a，球相对于管子的，球相对于管子的速度为零，求小球沿管的运动规律及管对小球的约束速度为零，求小球沿管的运动规律及管对小球的约束反作用力。反作用力。补充例题补

18、充例题 4.1 P点在一半径为点在一半径为R的球上以速度的球上以速度 沿球的经线作匀沿球的经线作匀速运动，球以匀角速速运动，球以匀角速 绕其坚直直径转动，求绕其坚直直径转动，求P点的绝点的绝对加速度。对加速度。v 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 习题习题 4.4 小环重小环重W，穿在曲线形，穿在曲线形y=f(x)的光滑钢丝上，的光滑钢丝上，此曲线通过坐标原点，并绕竖直轴此曲线通过坐标原点，并绕竖直轴Oy以匀角速以匀角速转动。转动。如欲使小环在曲线上任何位置均处于平衡状态，求此如欲使小环在曲线上任何位置均处于平衡状态，求此曲线的形状。曲线的形状。补充例

19、题补充例题 4.2 一个用金属丝做成的半径为一个用金属丝做成的半径为a的光滑圆的光滑圆圈，以匀角速圈，以匀角速 绕竖直直径转动，圈上套着一个质量绕竖直直径转动，圈上套着一个质量为为m的小环。起始时，小环自圈面的最高点无初速地的小环。起始时，小环自圈面的最高点无初速地沿着圆圈滑下，试求当环与圈中心的连线和竖直向上沿着圆圈滑下，试求当环与圈中心的连线和竖直向上的直径成角的直径成角 时，小环运动微分方程及圈对环的约束时，小环运动微分方程及圈对环的约束反作用力。反作用力。上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 zxy OxPi x例例gmjRykxm 2kRz i

20、xm2 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 补充例题补充例题 4.2xynRn gm av iam sin2 O 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 习题习题 4.2 一直线以匀角速一直线以匀角速在一固定平面内绕其一端在一固定平面内绕其一端O转动。当直线位于转动。当直线位于Ox的位置时，有一质点的位置时，有一质点P开始从开始从O点沿该直线运动。如欲使此质点的绝对速度点沿该直线运动。如欲使此质点的绝对速度v的量值为的量值为常数，问此点应按何种规律沿此直线运动。常数，问此点应按何种规律沿此直线运动。xP O)(ixid

21、txdv jxidtxd x(1)解法一：解法一：以以O为原点，在管子为原点，在管子上建立固连于管子的动坐标上建立固连于管子的动坐标系系 ，其转动角速度为，其转动角速度为。xO x 则则P点的绝对速度点的绝对速度上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 2222)(xdtxdv (3)=常数常数222xvdtxd dtxvxd 222txtvx00|/arcsin tvx sin (2)上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 xP Or解法一：解法一：以以O为原点、为原点、Ox为极为极轴建立极坐标系轴建立极坐标系。jri r

22、v 2222rrv (2)=常数常数222rvdtdr dtrvdr 222trtvr00|/arcsin tvr sin(1)jri r 质点质点P的绝对速度的绝对速度 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 习题习题 4.4 dsdxdyxy O nRgmi xm2 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 习题习题 4.6zx y Ov PjRyjvm 2gmi xm2 xy 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 习题习题 4.8 dsdxdyxy O nRgmi xm2 SzRvm 2v ayx42 z上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 转动参照系转动参照系 习题习题 4.10 xy Ov vm 2rm2 t CarN2