第十五章-整式的乘除与因式分解课件.ppt

1、第十五章整式的乘除与因式分解 北京四中网校抚顺分校12基础达标345 例46 例5 (3)(3)7 例68乘法公式基本公式：a2-b2=(a+b)(a-b)(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b变形公式：9 拓展公式：立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；完全立方公式：a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3 a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)310整式中的数学思想 1、整式运算中的化归思想 定义：把问题A通过一定的手段进行转化，归结为问题B，而问题B是相对容易解决的问题或已有固定的

2、解决程式的问题，且通过B的解决，能够得到A的解决。注意：逆向思维的运用及基本公式的灵活运用，并创造条件运用公式。2、整式运算中的整体思想 北京四中网校2009暑假数学11一、基本变形 1、用“”号，把355、444、533连结起来 。解：解：355=(35)11=24311,444=(44)11=25611,533=(53)11=12511,而 256112431112511.444355533.2、计算19992-20001998=_ 解解：原式=19992-19992+1=112二、公式转换 1、已知 a+b=5,ab=6求a2+b2 和（a-b）2的值。解：a2b2(ab)22ab251

3、213 (ab)2(ab)24ab25241 2、已知x-y=2,x2+y2=4,求x2002+y2002的值？解：(x+y)2002 22002 注意：灵活运用，基本公式及其变形公式。13三、创造条件使用公式 1、已知：x=a+1，y=a+2，z=a+3，求：x2+y2+z2-xy-yz-zx的值。解：原式=1/2（2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2zx）=1/2（x-y)2+（y-z)2+（z-x)2 由题意得：x-y=-1，y-z=-1，z-x=2 原式=1/2（-1)2+（-1)2+（2)2=3 2、求 的值 解：原式=19991998/19991996+19992000=1/

4、2 3、4a2+4b2+12a-16b+25=0,求ab/(a+b)的值？解：(2a+3)2+(2b-4)2=0 a=-3/2 b=2 ab/(a+b)=-614四、x与1/x类型 1、若x-1/x=3，求x2+1/x2的值。答案：11 2、若x2-13x+1=0,则x4+的个位数字是 。答案：7 3、非0实数a、b满足4a2+b2=4ab，求 的值。答案：2 注意：熟悉x与1/x关系一类题的性质，并学会创造条件。15五、消元问题 1、已知实数x、y、z满足x+y=5，z2=xy+y-9,那么 x+2y+3z=_。解：带入，消元，z=0,y=3,所以原式=8 2、设x+2z=3y,试判断x2-

5、9y2+4z2+4xz的值是不是定值?如果是定值,求出它的值;否则请说明理由.解：定值为0 注意：在解决多元问题时，通常使用消元法，切记此类问题要敢于去做，去消，看起来变复杂了，实际常常是柳暗花明。16六、降次问题 1、已知x2-2x-3=0,求x3+x2-9x-8的值。解：x2=2x+3，代入得值为1 注意：降次问题在初二阶段使用不多，但要了解解决此类问题的方法，仅以此题为例。17七、规律性问题 1、19492-19502+19512-19522+19972-19982+19992=_ 解：(1949+1950)(1949-1950)+(1951+1952)(1951-1952)+(1997

6、+1998)(1997-1998)+（2000-1）2=-（1949+1950+1951+1997+1998）+（4000000-4000+1）=-50（1949+1998）+4000000-4000+1=4000000-98675-4000+1=3897326 注意：复杂的公式应用，找到其中的规律。18 2、求 的值 3、注意：灵动思维的锻炼，发现规律。2 005 003 19八、尾数问题 1、19881989+19891988的个位数字是_ 解：解：19881989=19884497+1=(19884)4971988,而(19884)497的个位数是6。19881989的个位数是8。198

7、91988=19892994=(19892)994,而19892的个位数字是1，则(19892)994的个位数字是1。即 19891988的个数数字是1。19881989+19891988的个位数字是9 注意：化归思想，变动为静思想，整体的思想，拆分的思想等多种思想的综合应用20 2、31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，39=19683，它们的个位数字的变化有一定规律，用你发现的规律直接写出910的个位数字是几？答案：1 3、判断（2+1）（22+1）（24+1）（22048+1）+1的个位数字是几？解：原式=（2-1）（2+

8、1）（22+1）（24+1）（22048-1）+1=24096=161024 个位数字必为6。注意：多种数学方法的综合应用。21九、实际应用问题 1、随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低.某品牌电脑按原售价降低m元后，又降价20%，现售价为n元，那么该电脑的原售价为 多少？解：(5n/4+m)元 注意：此类问题是现阶段考试的热点，难度不大，往往联系实际，只是一些固有知识穿上了时尚的外衣。22十、综合运用问题 1、一个自然数减去45后是一个完全平方数,这个自然数加上44后仍是一个完全平方数,试求这个自然数.设这个自然数为x,由题意得-得n2-m2=89 即(n+m)(n-m)=891从而

9、,解得 (m,n都为自然数)故 x=452-44=1981.注意：多个知识点的综合考察性问题。23练习 1已知：5x2+10 x+30=5-4xy-y2,求2x+y的值?2已知：2a+b=4,3b=2c,求(a+c-b)2-(3a+c)2的值？3已知：a-b=ab=2,求3a2+4ab+3b2的值？4已知：x2-5x-1=0,求x2+1/x2的值？5已知：a2+b2+2c2+2ac-2bc=0,求a+b的值?6已知：x2-5x+1=0,求x3-4x2-4x-1的值？7已知：25x2-30 xy+k是完全平方式,求k的值？8已知：三角形abc满足a2+b2+c2=ab+bc+ca 判断三角形ab

10、c的形状。答案：32，-32，32，27，0，-2，9，全等24作业 整式运算中的整体思想 北京四中网校2009暑假数学 知识导学整式运算部分 知识要点梳理 注意对每个知识点的诠释 深刻理解，领悟知识点内涵 成果测评，大量的练习 保持运算的感觉25因式分解 因式分解是代数的重要内容，它是整式乘法的逆变形，在通分、约分、解方程以及函数恒等变形中有直接应用。重点是掌握提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法四种基本方法。难点是根据题目的形式和特征恰当选择方法进行分解，以提高综合解题能力。26 1、提公因式法、2、公式法、3、十字相乘法、4、分组分解法、5、拆项、添项法、6、配方法、7、主元法、

11、8、待定系数法、9、双十字相乘法、10、因式定理法、11、求根法、12、试根法、13、换元法、*14、图象法、*15、特殊值法、27 定义：把一个多项式化成几个整式的积的 形式，叫做因式分解。因式分解是整式乘法的逆变型。注意：1、整式的积的形式 2、分到不能再分为止 3、结果不要带中括号28提公因式法 1、提公因式法 最基本方法 提取：符号（-）、系数(最大公因数)、相同字母(最小次数)注意：1、提公因式一定要提干净 2、不要漏项 3、整体的提法（）字母顺序要一致29 1、5x2y+15x3y2-20 x2y3 2、-3x2y+12x2yz-9x3y2 3、(y-x)(c-b-a)-(x-y)

12、(2a+b-c)-(x-y)(b-2a)4、xn+1-xn-1 5、x(x-y)(a-b)-y(y-x)(b-a)答案：1、5x2y(1+3xy-4y2)2、-3x2y(3xy-4z+1)3、(y-x)(b-a)4、xn-1(x+1)(x-1)5、(x-y)2(a-b)30二、公式法 2、公式法 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a22abb2(ab)2；立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；完全立方公式：a33a2b 3ab2b3=(ab)3.注意：1、有公因式先提公因式 2、再观察可以使用哪

13、个公式 3、分到不能再分为止31 1、32x3y4-2x3 2、(x+y)2-12(x+y)z+36z2 3、1/2(x2-2y2)-2(x2-2y2)y2+2y4 4、8a-4a2-4 5、x7y2-xy8 答案：1、2x3(2y-1)(2y+1)(4y2+1)2、(x+y-6z)2 3、1/2(x+2y)2(x-2y)2 4、-4(a-1)2 5、xy2(x-y)(x2+xy+y2)(x+y)(x2-xy+y2)32十字相乘法 3、十字相乘法 这种方法有两种情况。x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)kx2+mx+n型的式子的因式分解 如

14、果如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=(ax+b)(cx+d)33 1、x2-x-12 2、x2y2-7xy+10 3、(x+y)2-2(x+y)-3 4、2x2-7x+3 5、6-7x-5x2 答案：1、(x-4)(x+3)2、(xy-2)(xy-5)3、(x+y-3)(x+y+1)4、(x-3)(2x-1)5、-(x+2)(5x-3)34分组分解法 4、分组分解法 分组分解主要针对三项以上的多项式进行 一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。分组之后对不同的部分采取不同的方法进行分解35 1、a2-ab+ac-bc 2、x2-3x-6y-4y2 3、

15、x3-x2-x+1 4、(a-b)2-1-2c(a-b)+c2 5、a2-b2-2b-1 答案：1、(a-b)(a+c)2、(x+2y)(x-2y-3)3、(x-1)2(x+1)4、(a-b-c+1)(a-b-c-1)5、(a-b-1)(a+b+1)36拆项、添项法 5、拆项、添项法 这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。6、配方法 对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式。37 1、m4+m2n2+n4 2、x4+4 3、x

16、3+2x2-1 答案：1、(m2+n2+mn)(m2+n2-mn)2、(x2+2x+2)(x2-2x+2)3、(x+1)(x2+x-1)38整体思想 13换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。注意:换元后勿忘还元.39 1、(x2+x+1)(x2+x+2)-12 解：令x2+x=y 原式=(y+1)(y+2)-12 =y2+3y-10 =(y+5)(y-2)即 (x2+x+5)(x2+x-2)=(x2+x+5)(x+2)(x-1)2、(2a2-a)(2a2-a-9)-18 (2a2-a-3)(2a2-a-6

17、)40 3、x(x+1)(x+2)(x+3)-24 (x2+3x+6)(x2+3x-6)4、(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)-9 (x2+8x+16)(x2+8x+6)5、(x2+3x+1)2-2(x2+3x)-10 (x2+3x+3)(x2+3x-3)6、(a+b-c-d)2+4(a+b)(c+d)(a+b+c+d)241复杂分解方法2 10、主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。11、待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。12、双十字相乘法 双十字相乘法属于因式分解的一类，

18、类似于十字相乘法。注意针对解决二次六项式42 1、x2+2xy-8y2-4x-10y+3 (x+4y-3)(x-2y-1)2、2x2+xy-6y2+2x+11y-4 (2x-3y+4)(x+2y-1)3、x2-2xy-3y2+2x+10y-8 (x-3y+4)(x+y-2)4、4x2-4xy-3y2-4x+10y-3 (2x-3y+1)(2x+y-3)43复杂分解方法1 7、因式定理 8、求根法 9、试根法 原理均为找到根，利用综合除法或多项式除法解决。主要针对解决高次多项式问题44 1、x3+6x2+11x+6 (x+1)(x+2)(x+3)2、x3-2x+1 (x-1)(x2+x-1)3、

19、x3-3x-2 (x+1)(x2-x-2)4、2x4+7x3-2x2-13x+6 (2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)5、如果代数式x3-x2-16x+a有一因式x-4，求a的值 a=1645高中方法*14、图象法 令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1,x2,x3,xn，则多项式可因式分解为f(x)=f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn)*15、特殊值法 将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。46十字相乘练习 1、x2-

20、x-2 9、2x2+5x+2 2、x2+5x+6 10、3x2+x-2 3、x2-7x+12 11、6x2+13x+6 4、x2+7x+10 12、4x2+7x-15 5、x2-4x-12 13、12x2+5x-2 6、x2+3x+2 14、20 x2+37x+15 7、x2-2x-15 15、6x2-5x+1 8、x2+6x+8 16、16x2+32x+1547 1、(x-2)(x+1)9、(2x+1)(x+2)2、(x+2)(x+3)10、(3x-2)(x+1)3、(x-3)(x-4)11、(2x+3)(3x+2)4、(x+2)(x+5)12、(4x-5)(x+3)5、(x-6)(x+2)

21、13、(3x+2)(4x-1)6、(x+1)(x+2)14、(5x+3)(4x+5)7、(x-5)(x+3)15、(3x-1)(2x-1)8、(x+2)(x+3)16、(4x+3)(4x+5)48作业 1、己知a、b、c均大于0，任意两个数之和大于第三个数，试确定4b2c2-(b2+c2-a2)2的值的符号。2、如果二次三项式x2+ax-1可分解为(x-2)(x+b)，求则a+b的值。3、若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式,求m的值 4、如果二次三项式x2-ax-8（为整数）在整数范围内可以分解因式，那么 可以取那些值？5、已知x的多项式2x3-x2-13x+k因式分解后有一个因式为(2x+1)(1)求k的值(2)将多项式因式分解 1、70 2、-1 3、24 4、7 2 5、-6 (2x+1)(x-3)(x+2)49小结 注意对数学思想，数学方法的归纳总结，深刻探究，全面理解，逐渐转变数学的学习观念，以适应今后长远的数学学习。重基础 重精髓 重方法 重自学50