第六章-单变量微分学课件.ppt

1、1基本内容 0 微积分的创立 1 导数和微分的定义 2 求导规则 3 区间上的可导函数(中值定理)4 不定式 5 Taylor公式 6 用导数研究函数 7 割线法和切线法(Newton方法)20 微积分的创立 Isaac Newton(1642-1727)Gotfried Wilhelm Leibniz(1646-1716)3Isaac Newton(1642-1727)1661.6(顺治18年)入剑桥三一学院(半公费(做仆人挣钱缴交学费的)学生),数学指导教师Isaac Barrow(1630-1677),1664.1(康熙3年)获学士学位.1664-1666英国流行黑死病(鼠疫),1665

2、-1666牛顿回家乡呆了18个月,其间发明了流数(Fluxion)法(变量为流,变化率为流数)、发现了万有引力定律、用实验证明了白光为各种颜色光合成.1665年11月发明“正流数法”(微分法)，1666年5月发明“反流数法”(积分法)，1666年10月总结文稿“流数简论”，建立了微积分基本定理。4Isaac Newton(II)1669接替Barrow的教授职位;1687(康熙26年)出版Mathematical Principles of Natural Philosophy.Newton有关流数的著作到他身后才发表(1736).5Gotfried Wilhelm Leibniz(1646-

3、1716)1661入Leipzig大学学法律,1663获学士,1666具备获法学博士的资格(出于嫉妒,该校教师拒绝授予),被另一所大学授予博士和请其为教授(他拒绝了后者).作为律师,他被雇主们支得在四处透风的马车中四处奔波,使得他具有在任何时间、任何地点和任何条件下工作的能力，他不停地读着、写着和思考着，他的手稿至今还成捆地放在图书馆里而没有被人们整理过。有趣地是他的头颅比一般人的都小。6Leibniz(II)1666其称作“中学生随笔”的组合艺术中立志要创造出“一般方法和普适语言，其中所有推理都简化为计算，除了可能的事实错误外，只会有计算错误”，为此他创立了符号逻辑但未能完成,发明了能做四则

4、运算和开方的计算机。由于其才能而被种种琐事困扰。1672-1673请求Huygens教授了他现代数学;在英国了解到了无穷级数方法。1675年发现了微积分基本定理，1677年7月11日将其发表，其方法主要经过James和John Bernoulli兄弟的发展而成为一种强有力而又容易运用的工具。7Leibniz(III)Leibniz建立微积分的基本记号和术语,包括微积分(Calculus,原意是鹅卵石,用于计数),微分(原意是差的,Differential),微分,求导和积分的符号.建立了四则运算的求导规则.1673年引入函数的术语。提出：不能像卫道士那样：只有知识而没有判断。81.导数和微分的

5、定义 微分和导数概念的意义 函数增量与微分和导数 连续与导数和导数的解释9微分和导数概念的意义(I)微分的概念源自试图刻划在一个“小”时间间隔或空间上的变化量。导数的概念源自刻划某种现象在一个时刻或位置的变化率，典型的例子有：在一个时刻的速度、曲线在一点的斜率、物质在一点的密度等等。如何理解导数始终是个有挑战性的问题。微分与导数的概念是密切联系着的，所涉及的范围和对其意义的理解是不断演化的。由时间到空间，由一维到高维，由有限维到无穷维。由近似到线性映射。10微分和导数概念的意义(II)导数的物理背景:随时间或空间的变化率(rates of change),包括各种瞬时速度、各种密度、浓度或强度

6、等等。导数的几何背景：切线的斜率、曲线的曲率、曲面切平面的确定和曲面的曲率等等。引入导数的简单模型：由路程函数确定速度函数和由函数图像确定图像切线。由方向导数到梯度再到一般意义上的导数。11函数增量与微分和导数 设在a的一个邻域上有定义.增量定义:称Dx=x-a为自变量x在a处的增量,D(x)=(x)-(a)为在a处的增量.微分定义:若cR使得D(x)cDx(Dx0),就称线性函数g(Dx)=cDx为D(x)(也叫在a处)的微分,记做d(x)或d.Dx也记做dx.此时称在a处可微.导数定义:若cR使得D(x)/Dxc(Dx0),称c为在a处的导数,记做c=(a)或d/dx(a)=D(a).小结

7、:若在a处可微,D(x)=d(x)+g(Dx)Dx(a(0)=0),d(x)(a)dx.d(x)也叫做函数增量D(x)的线性部分.12连续与导数和导数的解释 可微与连续:若在a处可微,则在a处连续.左导数和右导数:右导数(a+),左导数(a-).导数与左右导数:在a处有导数当且仅当在a处左右导数存在且相等.切线定义:曲线y=(x)在(a,(a)的切线定义为直线:y=(a)+(a)(x-a).导数(a)的几何解释:曲线y=(x)在(a,(a)的切线的斜率.导数(a)的物理解释:若(x)为物体在时间间隔t0,a内运动的路程,(a)为在时刻a的瞬时速度.13习题十八(I)1.用定义计算下列函数在x=

8、0点的导数:(1)(0)=0,若x0,(x)=x2 sin 1/x;(2)(0)=0,若x0,(x)=exp(-1/x2);(3)Dirichlet函数D(x);(4)xD(x);(5)x2D(x).2.证明:若(0)存在,则n(1/n)-(0)(0)(n).反过来成立吗？3.设(0)=0且(0)存在.计算数列:xn=(1/n2)+(2/n2)+(n/n2)的极限.计算数列极限:(1)xn=sin(1/n2)+sin(2/n2)+sin(n/n2);(2)yn=(1+1/n2)(1+2/n2)(1+n/n2).14习题十八(II)4.设函数在x=0的一个邻域上有定义并且满足:xI,(x)(0)

9、.证明:如果(0)存在,则(0)=0.5.证明：函数在x=0点可微的充分必要条件是(x)=(0)+g(x)x,其中g在x=0点连续.6.求下列曲线在给定点的切线方程:(1)y=x2-x+3,P(2,5);(2)y=1/x,P(1,1);(3)y=ex+x+1,P(0,3);(4)y=sin x,P(p/6,1/2).若 152 求导规则 复合函数求导的链式法则 反函数求导公式 一阶微分形式的不变性 求导运算的算术性质 初等函数求导公式 双曲函数 双曲函数求导公式 高阶导数和高阶微分16复合函数求导的链式法则 定理定理:设在a点可微,g在(a)点可微,则h=g在a点可微,并且h(a)=g(a)(

10、a).证明证明:记a=(a),b=g(a).则(1)D(x)=a Dx+a1(Dx)Dx(a1(0)=0),(2)Dg(y)=b Dy+b1(Dy)Dy(b1(0)=0).因此,Dh(x)=bD(x)+b1(D(x)D(x)=baDx+ba1(Dx)Dx+b1(a Dx+a1(Dx)Dx)(aDx+a1(Dx)Dx)=baDx+g(Dx)Dx,其中g(Dx)=ba1(Dx)+b1(a Dx+a1(Dx)Dx)(a+a1(Dx)满足g(0)=0.所以,h(a)=ba=g(a)(a).#17反函数求导公式 定理定理:设C(I),g是在(I)上的反函数,这里I是区间.若在a点可微且(a)0,则g在b

11、=(a)可微,并且g(b)=1/(a)=1/(g(b).证明证明:由在(I)上有反函数,在I上严格单调,因此,gC(I).只要证明g(b)存在就够了.而这由(g(y)-g(b)/(y-b)=(g(y)-g(b)/(g(y)-(g(b)和复合函数的极限性质就得到结论.#18一阶微分形式的不变性 这是复合函数求导的链式法则的另外一种说法:设的微分是d(x).若x=g(t)有微分dx=dg(t),则d(g(t)=(g(t)dg(t)=(x)dx=d(x).这看似空洞的公式,许多时候有意想不到作用,同类的公式在高阶导数时不再成立.19求导运算的算术性质 设何g在a点可微,cR.则+g,c,g在a点可微

12、,若g(a)0,/g在a点也可微.并且(+g)(a)=(a)+g(a);(c)(a)=c(a);(g)(a)=(a)g(a)+(a)g(a);(/g)(a)=(a)g(a)-(a)g(a)/g(a)2.证明:极限性质和导数定义的应用.#20初等函数求导公式 基本初等函数求导公式:(c)=0;(x)=1;由归纳法：(xn)=nxn-1;(exp x)=exp x;由链式法则,(ax)=ax ln a;反函数求导规则:(ln x)=1/x;(loga x)=(ln a)/x;(xa)=axa-1;以及(uv)=uv(vln u+vu/u).(sin x)=cos x;由求导运算的算术性质得到:(c

13、os x)=-sin x;(tan x)=sec2 x;(cot x)=-csc2 x;(sec x)=tan x sec x;(csc x)=-cot x csc x.由反函数求导规则:(arcsin x)=1/sqrt1-x2;(arccos x)=-1/sqrt1-x2;(arctan x)=1/(1+x2);(arccot x)=-1/(1+x2);(arcsec x)=1/(|x|sqrtx2-1);(arccsc x)=-1/(|x|sqrtx2-1).21双曲函数 双曲函数定义:sh x=sinh x,ch x=cosh x,th x=tanh x,cth x=coth x,se

14、ch x,csch x.反双曲函数:arsh x=ln(x+sqrt(1+x2);arch x=ln(x+sqrt(x2-1);arth x=1/2 ln(1+x)/1-x);arcth x=1/2 ln(1-x)/1+x);arsec x=ln(1+sqrt(1-x2)/x),0 x1;arcsch x=ln(1+sqrt(1+x2)/|x|).22双曲函数求导公式 双曲函数求导公式:(sh x)=ch x;(ch x)=sh x;(th x)=sech2 x;(cth x)=-csch2 x;(sec x)=-th x sech x;(csch x)=-cth x csch x.反双曲函数

15、求导公式:(arsh x)=1/sqrt1+x2;(arch x)=1/sqrtx2-1;(arth x)=1/(1-x2);(arcth x)=1/(1-x2);(arsech x)=-1/(xsqrt1-x2)(0 xb0);(37)y=a2arcsin(x/a)+xsqrt(a2-x2);(38)y=a2ln|x+sqrt(a2+x2)|+xsqrt(a2+x2);(39)y=e(x2)(x2+2x+2);(40)y=ln(arccos(1/sqrt(x).27高阶导数 定义:设在(a,b)上处处可微,就定义了(a,b)上的一个函数,这个函数叫做的导函数;若也有导数,其导函数叫做的二阶导

16、函数,记做;(x)叫做在点x的二阶导数;依此类推.的n阶导数记做(n),Dn或dn/dxn.约定:(0)=.Leibniz公式:设u,v有n阶导数,则有公式:证明:对n做归纳法:n=0时成立.然后由n=k成立推出n=k+1,与二项式定理的证明类似。#(-nkknkknnvuCuv0)()()(28高阶微分 定义:设在(a,b)上处处可微,d2(x)=(d(x)dx叫做的二阶微分.一般d(n+1)(x)=d(dn(x)=(d(n)(x)dx=(n)(x)dxn 注:高阶微分没有形势不变性,有关讨论参看教材90-92页.记号 F.D.Bruno公式:设和g都有n阶导数.则h=g的n阶导数满足下面的

17、公式:niinjniNnjjnjxgxgfnxh11)(|)(|)(!)()(!)(aaaaa29习题二十(I)1.证明Leibniz公式.2.证明Bruno公式。3.计算下列函数的n阶导数:(1)y=1/(1-x2);(2)y=(1+x)/(1-x)(1/3);(3)y=sin2 x;(4)y=xn/(1-x);(5)y=sin3 x;(6)y=ex sin x;(7)y=xn/(x2-1);(8)y=ex(cos x+sin x);(9)y=xn/(x+1)2(x+2)2);(10)y=1/sqrt(1+x2).4.证明y=arcsin x和y=arccosx满足(1-x2)y-xy=0.

18、5.证明 y=(x+sqrt(1+x2)m满足(1+x2)y+xy=m2 y.30习题二十(II)6.证明.切比雪夫多项式Tn(x)=1/2(n-1)cos(n arccos x)满足(1-x2)y-xy+n2 y=0.7.设y=(x)有反函数并且满足y+(y)3=0.证明的反函数g满足g=1,并由此给出的一个例子.8.求下列函数的指定阶数的微分,其中u,v都有用到的各阶导数:(1)y=u2,求d10y;(2)y=arctan(u/v),求d2y;(3)y=eu,求d4y;(4)y=ln u,求d3y.9.设在x=0点连续且(2x)-(x)/xl(x0).证明在x=0点可微,且(0)=l.10

19、.证明:(f(x)-b)/(x-a)A(xa)当且仅当(e(f(x)-eb)/(x-a)Aeb(xa).313区间上的可导函数(中值定理)有关函数一点行为的定义 导数对函数一点行为的刻划 中值定理的意义及其逻辑 中值定理证明及其简单推论 例子 Lagrange中值定理的一些推论 三个不等式 参变量函数求导定理32导数对函数一点行为的刻划 定义:设a是定义的内点.U是a的邻域 在a点增:xU,xa,则(x)-(a)(x-a)0;在a点减:xU,xa,则(x)-(a)(x-a)0;在a点不减:xU,则(x)-(a)(x-a)0;在a点不增:xU,xa,则(x)-(a)(x-a)0;a点是的局部严格

20、最大值点:xU,xa,(x)(a);a点是的局部最大值点:xU,(x)(a);a点是的局部最小值点:xU,(x)(a).33导数对函数一点行为的刻划(a)充分条件:若(a)0,则在a点增;(Darboux引理)若(a)0,则在a点减;(Darboux引理)若xU,xa,(x)(x-a)0,则a局部严格最小值点;必要条件:设(a)存在.若在a点不减,则(a)0;若在a点不增,则(a)0;若a是的极值点,则(a)=0.(Fermat引理)34中值定理的意义及其逻辑 中值定理要讨论的问题:用导数得到函数值差的表达式,利用导数的性质研究值差以得到有关函数的信息。中值(Lagrange)定理:若Ca,b

21、,且在(a,b)上点点可微,则c(a,b),使得(b)-(a)=(c)(b-a).#其证明是基于Fermat引理.逻辑顺序:Rolle定理(b)(a),c(a,b),使得(c)=0)Cauchy中值定理(,gCa,b都在(a,b)上点点可微,且x(a,b),g(x)0,则c(a,b),使得(b)-(a)/(g(b)-g(a)=(c)/g(c)Lagrange中值定理.附带地得到导函数的介值性质和间断点的特点.35中值定理的证明及其简单推论 Rolle定理的证明定理的证明:在(a,b)上必有极值.#Cauchy定理的证明定理的证明:h(x)=(g(b)-g(a)(x)-(b)-(a)g(x),则

22、hCa,b 在(a,b)上点点可微,且h(a)=h(b)=g(b)(a)-(b)g(a).#Lagrange定理的证明定理的证明:在Cauchy定理中取g(x)=x就可以了.#Darboux定理定理:设在(a,b)上可微.则(a,b)是区间.因此在(a,b)上的间断点只能是第二类间断点.证明证明:(1)证明零点定理;(2)由Lagrange定理第一类间断点必为连续点.#36例子 例例1.设(0)=0,而当x0时,(x)=x2 cos(1/x).因此(0)=0,而当x0时,(x)=2xcos(1/x)+sin(1/x).在x=0点的左右极限都不存在.例例2.(x)=2sqrt(|x|).若x0,

23、(x)=sgn(x)/sqrt(|x|).(0+)+,(0-)-(实际上,也是在x=0点左右“导数”).例例3.(x)=3x(1/3).若x0,(x)=x(-2/3).(0+)(0-)+(实际上,也是在x=0点的“导数”).在例2-3的情形,称在x=0点有(左,右)导数.37Lagrange中值定理的一些推论 1.若x(a,b),(x)=0,则是(a,b)上的常值函数.2.设在(a,b)上可微.则在(a,b)上不减的充分必要条件是x(a,b),(x)0.3.若x(a,b),(x)0,则在(a,b)上是严格增的.4.设在(a,b)上可微.则在(a,b)上严格增的充分必要条件是x(a,b),(x)

24、0,并且在(a,b)的子区间上不为常数.推论推论4的证明的证明:必要性必要性:由推论3得到(x)0,严格增给出后一部分.充分性充分性:(x)0给出不减,在(a,b)的子区间上不为常数给出严格.#38三个不等式 Young不等式不等式:设a,b0,a+b1.则x0,xax+b.Young不等式的变形不等式的变形:aabb aa+bb.(x=a/b）Hlder不等式不等式:设ui,vi0,i=1,n.则 Minkovski不等式不等式:设p1,ai,bi0,i=1,n.则bbaaniiniiniiivuvu11111(pnipipnipipnipiibaba111111+39参变量函数求导定理 定

25、理定理:设j(t),y(t)在a,b上可微且ta,b,j(t)0.则由x=j(t)和y=y(t)可得j(a),j(b)上的函数y=(x).即=yj-1.特别(j(t)=y(t)/j(t).这个定理为研究参数曲线和参变量函数求导提供了工具.证明证明:链式法则的推论.#推论推论:参变量函数二阶导数的公式.(j(t)=(y(t)j(t)-j(t)y(t)/(j(t)3.40习题二十一(I)1.设(x)=xm(1-x)n,其中m,n为正整数.证明:c(0,1)使得m/n=c/(1-c).2.证明:4ax3+3bx2+2cx=a+b+c在(0,1)内至少有一个根.3.证明:ex=ax2+bx+c的根不超

26、过三个.4.设Ca,b在(a,b)上有n阶导数,并且在a,b上有(按重数计)n+1个零点.证明:(n)在a,b上至少有一个零点.5.证明:一个有(按重数计)n+1个零点的次数不超过n的多项式必为零多项式.41习题二十一(II)6.设在(a,b)上可微(其中a可以是-,b可以是+).证明:如果(a+)=(b-),则c(a,b)使得(c)=0.7.设在(a,b)上可微.证明的两个零点之间必有+的零点.8.证明:Legendre(勒让德)多项式Pn(x)=1/(2n n!)(x2-1)n(n)在-1,1内有n个零点.9.证明:Chebyshev-Laguerre(切比雪夫-拉盖尔)多项式Ln(x)=

27、ex(xne(-x)(n)有n个不同的零点.42习题二十一(III)10.证明:Chebyshev-Hermite(切比雪夫-厄尔米特)多项式Ln(x)=(-1)n/n!e(x2/2)(e(-x2/2)(n)有n个不同的零点.11.证明:(1)|sin x-sin y|x-y|;(2)|cos x-cos y|x-y|;(3)|arctan x-arctan y|x-y|;(4)|arccot x-arccot y|x-y|.12.设C(a,b)且在(a,c)(c,b)上可导.证明:如果,则(c)=A.13.设在(a,b)上可导,并且在(a,b)单调.证明C(a,b).14.设在(a,b)上可

28、导并且有界.证明在(a,b)上一致连续.43习题二十一(IV)15.设在(a,+)上可导且(x)(x+).证明在(a,+)上不一致连续.16.证明(x)=xlnx在(0,+)上不一致连续.而g(x)=sqrt(x)ln x在(0,+)上一致连续.17.设(x)-(0)=x(x(x),其中0 x(x)0),(0)=0，对于a0,x(x)在(0,a)上不连续.18.定义(x)=arctan(1+x)/(1-x)(x1),(1)=0.证明在x=1点有极限,但是在x=1点的两个单侧导数都不存在.请给出你的解释.19.设Ca-h,a+h在(a-h,a+h)上可导(h0).证明:(1 q(0,1(a+h)

29、-(a-h)=(a+q h)+(a-q h)h;(2q(0,1,(a+h)+(a-h)-2(a)=(a+qh)-(a-qh)h2.44习题二十一(V)20.设Ca,b在(a,b)上可导.证明:如果不是一次多项式,则c(a,b,使得|(c)|(b)-(a)|/(b-a).21.设在a,b上有二阶导数且(b)(a)=0.证明:c(a,b使得|(c)|4|(b)-(a)|/(b-a)2.22.设Ca,b在(a,b)上可导.证明:(1)c(a,b使得2c(b)-(a)=(b2-a2)(c);(2)若a 0,c(a,b使得(b)-(a)=c(c)ln(b/a).23.设Ca,b在(a,b)上可导(ab0

30、).证明:c(a,b),)()()()(1cf ccfbfafbaab-45习题二十一(VI)24.证明恒等式:(1)|x|1,2arctan x+arcsin2x/(1+x2)=psgn(x);(2)|x|1/2,3arccosx-arcos(3x-4x3)=p.25.设在(a,+)上可导并且f(x)0(x+).证明:f(x)/x0 (x+).26.设x=acos3t,y=a sin3t.(1)计算 y(x);(2)证明:切线为坐标轴所截线段有定常.27.对于曳物线:x=aln(tan t/2)+cos t,y=a sin t.(1)计算 y(x);(2)证明:切点到切线与x轴的交点的距离为

31、定值.46习题二十一(VII)28.证明：双纽线r2=a2cos 2q的向径与切线间的夹角等于向径极角的两倍加p/2.29.证明下列不等式：(1)当x0时,ex1+x;(2)当x0时,x-x2/2ln x0时,x-x3/6sin x0时,(1+1/x)xe0,d0,使得当0a-xd时,|(x)/g(x)-l|e.由恒等式,其中a-dx0 x0,(ln x)/xa 0,(x+);5.1/x2-1/tan2 x 2/3,(x0);6.xxx-1 1,(x0).若 x2 x352习题二十二(I)1.推广上下极限的概念到函数的情形.这里仅讨论xa-的情形其他情形留给学生自己去做.假设d0,在(a-d,

32、a)上有定义.定义在a_的上极限为 ,下极限为 证明:(1);(2)是 存在的充要条件;(3)对于(a-d,a)中以a为极限的数列xn,若数列(xn)有极限l,则在l在在a-的上,下极限之间.)(supinf)(suplim00 xfxfrxarax-d)(infsup)(inflim00 xfxfrxarax-d)(suplim)(inflimxfxfaxax-)(suplim)(inflimxfxfaxax-)(limxfax-53习题二十二(II)2.计算下列函数x0时的极限:(1)x-ln(1+x)/x2;(2)|x|ln|x|;(3)xke1/|x|;(4)1/x1/ln(1+x);

33、(5)1/x 1/sin x;(6)xa1/x-b1/x(a,b0);(7)(tan x)sin x;(8)(sin x/x)1/x2;(9)e(1+x)-1/x1/x;(10)(tan x/x)1/x2;(11)(cospx)1/x2;(12)(1+|x|a)/(1+|x|b)1/ln|x|;(13)x2sin(1/x)/sin x.54习题二十二(III)3.计算下列函数x+时的极限:(1)xk/ex;(2)x 1ln(1+x)1/x;(3)(p/2-arctan x)1/x;(4)lnkx/x;(5)e-2x(cos x+2sin x)+ex2sin2x/e-x(cos x+sin x)

34、(6)tan(px/(2x+1)1/x;(7)(x-sin x)/(x+sin x);(8)(1+xa)/(1+xb)1/ln x(a,b为实数);(9)1+x+sin x cos x/(x+sin x cos x)esin x.4.设在a,+)上有界且可微.证明:若x时,(x)l,则l=0.55习题二十二(IV)5.设在a,+)上有界且可微.证明:若x时,(x)+(x)l.证明:(x)l(x).6.由Lagrange中值定理,证明下列结论:(1)若ln(1+x)=x/(1+qx),则q1/2(x0);(2)若ex-1=xeqx,则q1/2(x0);(3)若arcsin x=x/sqrt(1-q2x2),0q1,则q1/sqrt(3)(x0).7.确定常数a,b使得当x0时,(1)(x)=(a+bcos x)sin x-x为x的5阶无穷小;(2)(x)=ex-(1+ax)/(1+bx)为x的3阶无穷小.565 Taylor公式57 若 58 若 596 用导数研究函数60 若 61 若 627割线法和切线法(Newton方法)63 若 64 若 65 若 66 若 6768习题十八 1.计算下列极限 x2 x3 若 69 x2 x3 若 70 x2 x3 若 71 x2 x3若