第五章微分学基本定理及其应用课件.ppt

1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章第五章 微分学基本定理及其应用微分学基本定理及其应用机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五章第五章 微分学基本定理及其应用微分学基本定理及其应用5.1 5.1 中值定理中值定理5.2 5.2 洛必达法则洛必达法则5.3 5.3 导数在研究函数上的应用导数在研究函数上的应用机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数是研究函数性态的重要工具，仅从导导数是研究函数性态的重要工具，仅从导数概念出发并不能充分体现这种工具的作用，数概念出发并不能充分体现这种工具的作用，它需要建立在微分学的基本定理的基础之上，它需要建立在微分学的基本定理的基础之上，这些基本定理统称

2、为这些基本定理统称为“中值定理中值定理”。5.1 5.1 中值定理中值定理机动 目录 上页 下页 返回 结束 5.1 中值定理中值定理一、罗尔定理一、罗尔定理二、拉格朗日定理二、拉格朗日定理三、柯西定理三、柯西定理机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、罗尔定理一、罗尔定理机动 目录 上页 下页 返回 结束 条条 件件函数连续在点0 x)x(f)(0 xf)x(flim0 xx存在存在.)x(f)x(flim0 xx0存在存在连连 续续机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数设函数)(xfy 在点在点0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim存在存在,)(xf并称此极限为并称此

3、极限为)(xfy记作记作:;0 xxy;)(0 xf;dd0 xxxy0d)(dxxxxf则称函数则称函数若若的某邻域内有定义的某邻域内有定义 ,在点在点0 x处可导处可导,在点在点0 x的导数的导数.定义：定义：xxtansec 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式xxcotcsc 0)(Cxcos x2sec aaxln 1 xxsin x2csc xe)(x)(sin x)(cos x)(tan x)(cot x)(sec x)(csc x)(xa)(xeaxln1 x1 211x 211x 211x211x )(log xa)(ln x)(arcsin x)(arccos x)

4、(arctan x)cot(xarc)(shxchx)(chxshx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则（2）vuvuuv )(,）3uccu )(是常数是常数)C（1）vuvu )(,注意注意:;)(vuuv .vuvu 2)4(vuvvuvu )0(v（1）可以推广到有限个可导函数的代数和的情形。）可以推广到有限个可导函数的代数和的情形。（2）可以推广到有限个可导函数的乘积的情形。）可以推广到有限个可导函数的乘积的情形。机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数的几何意义导数的几何意义o

5、xy)(xfy T0 xM0f(x)yf(x)表表示示曲曲线线切线方程为切线方程为).)(000 xxxfyy 法线方程为法线方程为).()(1000 xxxfyy ()()0fxtan 为为倾倾角角00M(,()xf x在在点点处处的的切切线线的的斜斜率率,即即机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(xfy 满足:(1)在区间 a,b 上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使得：.0)(f,在(a,b)内至少存在一点机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如：例如：32)(2 xxxf 1,3在上连续内可导在)3,1(1)(3)0ff1,(1)0.f()2(1)fxxQ1(

6、1,3)初等函数在定义区间内都是连 续初等函数在定义区间内都是可 导（1 1）（2 2）（3 3）使.0)(f在(-1,3)内至少存在一点)(xfy 满足:(1)在区间在区间 a,b 上连续上连续(2)在区间在区间(a,b)内可导内可导(3)f(a)=f(b).0)(f在在(a,b)内至少存在一内至少存在一使使,(),yf x a b上是一条连续曲线(,)a bx曲线内都有不垂直于 轴的切线点点曲线在两个端点处的高度相同ABC在曲线弧上至少有一点在 该 点 处 的 切 线 是 水 平 的罗尔定理的几何解释罗尔定理的几何解释)(xfy 满足:机动 目录 上页 下页 返回 结束 罗尔定理的几何解释

7、：罗尔定理的几何解释：A AB B)(xfy ab(,)a bx曲线内都有不垂直于 轴的切线(),yf xa b上是一条连续曲线曲线在两个端点处的高度相同满足罗尔定满足罗尔定理的三条件理的三条件AB在曲线弧上至少有一点，在该点处的切线是水平的。12机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:一、定理条件条件不全具备一、定理条件条件不全具备,结论不一定成立结论不一定成立.01()01xxf xx x1yo(1)在区间在区间 0,1 上不连续上不连续(2)在区间在区间(0,1)内可导内可导(3)f(0)=f(1)图像都没有水平切线图像都没有水平切线.不满足条件不满足条件 （1 1），），满足（满

8、足（2 2）、（3 3）。）。图像没有水平切线图像没有水平切线.1,1)(xxxfx1yo1(1)在区间在区间-1,1 上连续上连续(2)在区间在区间(0,1)内不可导内不可导(3)f(-1)=f(1)图像都没有水平切线图像都没有水平切线.不满足条件不满足条件 （2 2），），满足（满足（1 1）、（3 3）。）。图像没有水平切线图像没有水平切线.1,0)(xxxfx1yo在区间在区间 0,1 上连续上连续在区间在区间(0,1)内可导内可导 f(0)=f(1)图像都没有水平切线图像都没有水平切线.不满足条件不满足条件 （3 3），），满足（满足（1 1）、（2 2）。）。图像没有水平切线图像没

9、有水平切线.二、通常称导数为零的点为函数的驻点二、通常称导数为零的点为函数的驻点.机动 目录 上页 下页 返回 结束 用罗尔定理证明曲线用罗尔定理证明曲线例例xxxf)1()(在区间在区间)1,0(内有水平切线内有水平切线.证明证明:xxxf)1()(在闭区间在闭区间1,0上连续上连续.)(xfxx213 并且并且0)1(f)(1()1(xxxx)0(f)(xf在在)1,0(所以所以内处处可导内处处可导.vuvuvu)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 由罗尔定理，由罗尔定理，在开区间在开区间)1,0(内至少存在一点内至少存在一点,0)(f使使(,()().fyf x从而曲线上点处0213)

10、(xxxf令令31 x,31 取取)31(f332.)332,31()(处处有有水水平平切切线线上上点点从从而而曲曲线线 xfy,的切线是水平的。的切线是水平的。xxxf)1()(机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、机动 目录 上页 下页 返回 结束 )()()(abfafbf （1）在闭区间）在闭区间,ba上连续上连续,（2）在开区间）在开区间 内可导内可导,),(ba那末至少有一点那末至少有一点),(ba ).()()(fabafbf 亦可写成亦可写成使得使得如果函数如果函数满足条件：满足条件：()yf x机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果函数如果函数)(xf满足条件：满足条

11、件：（1）在闭区间）在闭区间,ba上连续上连续,（2）在开区间）在开区间 内可导内可导,),(ba那末至少有一点那末至少有一点),(ba 使得使得).()()(fabafbf 亦可写成亦可写成使得使得xoy)(xfy ba1C 2C 12)()()(abfafbf AB机动 目录 上页 下页 返回 结束 拉格朗日定理几何解释拉格朗日定理几何解释:.,ABCAB平平行行于于弦弦在在该该点点处处的的切切线线上上至至少少有有一一点点在在曲曲线线弧弧xoy)(xfy ba1C 2C 12 AB.)()(abafbf机动 目录 上页 下页 返回 结束 罗尔定理与罗尔定理与拉格朗日定理的关系：拉格朗日定理

12、的关系：在拉格朗日中值定理中加上条件在拉格朗日中值定理中加上条件)()(bfaf 那么就成为罗尔定理那么就成为罗尔定理.故拉格朗日中值定理是故拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广罗尔定理的推广.机动 目录 上页 下页 返回 结束 拉格朗日定理有以下两个推论拉格朗日定理有以下两个推论:推论推论1内内导导数数恒恒等等于于零零，在在区区间间如如果果函函数数),()(baxf.),()(内内恒恒等等于于常常数数在在区区间间则则baxf)(xf),(ba0)(xf在在内：内：,)(fCx C是常数是常数机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论2内内的的导导数数在在区区间间和和如如果果函函数数),()()

13、(baxgxf),()(xgxf 即即只只相相差差一一个个常常数数，在在区区间间),(ba)()(xgxf和和则则，常数常数C即即存存在在一一个个,)()(Cxgxf 使使Cxgxf)()(或处处相等，处处相等，)()(xgxfCxgxf)()(机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、三、机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果函数如果函数 及及 满足条件：满足条件：)(xf)(xg（1）在闭区间）在闭区间 上连续上连续,ba（2）在开区间在开区间 内可导内可导,),(ba0)(xg且且那末至少存在一点那末至少存在一点),(ba 使得使得)()()()()()(gfbgagbfaf 成立成立机

14、动 目录 上页 下页 返回 结束 拉格朗日定理拉格朗日定理与柯西定理的关系：与柯西定理的关系：日定理的推广。,)(xxg在柯西定理中，若拉格朗日定理.因此，柯西定理是即得拉格朗机动 目录 上页 下页 返回 结束 罗尔定理拉格朗日定理柯西中值定理)()(afbf)()(afbfxxg)(微分中值定理的条件、结论及关系微分中值定理的条件、结论及关系xxg)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、不定式极限0 00 0二、不定式极限三、其他不定式极限5.2 5.2 洛必达法则洛必达法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 5.2 洛必达法则洛必达法则回顾：回顾：20limxxxxx1lim0 xxx

15、3sinlim0 xxx33sin3lim0 3 42223lim22 xxxxx23 42224lim23 xxxxx 0sinlim1xxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 由上可知：两个无穷小之比的极限或两个无穷大之由上可知：两个无穷小之比的极限或两个无穷大之有的存在，有的不存在，有的存在，有的不存在，称这种极限为称这种极限为.00表表示示及及分分别别用用 比的极限，比的极限，未定型的极限，未定型的极限，（约定用“0”表示无穷小，用“”表示无穷大。）机动 目录 上页 下页 返回 结束 )()(limxgxf微分中值定理函数的性态导数的性态函数之商的极限导数之商的极限 转化00(或 型)

16、()(limxgxf本节研究本节研究:洛必达法则洛必达法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 ()f x()xa()U ag()0 xlim()0 xaf xlim()0 xax()lim,()xafxlx()()limlim.()()xaxaf xfxlxx洛必达法则1.若函数与满足下列条件：的某去心邻域可导，且（2）与（3）则 一、00型（1）在；)()(lim)()(limxxfxxfaxax洛必达法则洛必达法则1X aX a机动 目录 上页 下页 返回 结束 ()f x()x0A(,)A(,)A()0 xlim()0 xf xlim()0 xx()l i m,()xfxlx()()li

17、mlim.()()xxf xfxlxx洛比达法则2.若函数与满足下列条件：，在与可导，且（2）与（3）则 （1）；)()(lim)()(limxxfxxfxx洛必达法则洛必达法则2X X 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1-2-33-3lim221xxxx 型)()(lim)()(limxxfxxfaxax解解:原式266lim1xxx23注意注意:不是未定式不能用洛必达法则!266lim1xxx166lim1x00机动 目录 上页 下页 返回 结束 22221arctan12limlimlim1111xxxxxxxxx xxx1arctan2lim解解:原式=型00211x )(arct

18、an x2vuvvuvu)0(v)()(lim)()(limxxfxxfxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 xx00()fx如果当时仍是定式，且与仍能满足洛必注意注意:(或或x )件，则可继续使用洛比塔法则求极限。即，依次类推，一直到00型不定式为止。型不 达法则的条不是)()(lim)()(lim)()(lim000 xxfxxfxxfxxxxxx)()(xxf)(x机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习.123lim2331 xxxxxx求求解解123lim2331 xxxxxx123lim21 xxx26lim1 xx46 23 x6332 x00洛必达法则可反复使用！洛必

19、达法则可反复使用！说明：说明：型)()(lim)()(limxxfxxfaxax第一次使用第一次使用第二次使用第二次使用机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、型洛必达法则3.若函数满足下列条件：与()f xx)()(lim0 xgxfxx 那末;)()(lim)3(0Axgxfxx;0)()()()2(xgxgxf都存在且都存在且及及;)(lim,)(lim)1(00 xgxfxxxx)()(lim0 xgxfxx A)(xg机动 目录 上页 下页 返回 结束 .lncotlnlim0 xxx求)(xxxlncotlnlim0 xxcot1lim0 xxxxcossinlim0 )cos1l

20、im()sinlim(00 xxxxx 1 )csc(2x x1)()(lim)()(limxxfxxfaxax型型x1)(ln xx2csc )(cot x机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明：说明：.1未定型同样适用时的上述法则，对、x.limxxex例：求)(解：解：xxexlimxxe1lim 0 型.002未定型或是否属于、每次使用法则，需查xe)(xe1 x)(x)()(limxgxfx)()(limxgxfx机动 目录 上页 下页 返回 结束 未定型的极限三、00,1,0,0型型 0.1它们经过适当的变形，就可以化为它们经过适当的变形，就可以化为 或或 未定型未定型.00 )

21、0(.lnlim0 xxx 求求例例1 1：解：解：xxx1lnlim0 )(xxxlnlim0 2011limxxx 0 xx 0limx1)(ln x2vuvvuvu)0(v机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般地一般地:,1 .010 0 0或或型0说明：说明：机动 目录 上页 下页 返回 结束 ).11ln1(lim21 xxx求求例例型型 .2解解)11ln1(lim1 xxxxxxxxln)1(ln1lim1 xxxxxln111lim1 xxxx111lim221 21 一般地一般地:)()00(0000 0101 00型)()(lim)()(limxxfxxfaxax2vuv

22、vuvu)0(v机动 目录 上页 下页 返回 结束 型 1,0.300例例3 3.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim xxxelnlim0 0e.1 解解xxx 0lim)0 xxxlnlim0 （由例（由例1知知xxxeln0lim 型NeN ln0ln00机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4 4.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 xxln1)(cot01limln(cot)lnxxxQ)1 .1 e解解xxxln10)(cotlim)ln(cotln1xxe xxeln1)ln(cot:由由对对数数恒恒等等式式得得)(xxxln)ln(cotlim0 x

23、xxlncotlnlim0（1 )ln(cotln10limxxxe 型型NeN lnln0机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5 5解解.lim111xxx 求求)1(xxxe 11ln1limxxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 exxx 111lim 0010 0ln01ln0ln0式式等等恒恒数数对对由由一般地一般地:NeN lnxxxeln111lim )()(lim)()(limxxfxxfaxax01ln型型机动 目录 上页 下页 返回 结束 小结小结型型00,1,0 型型 型型 0型型型型 00由对数恒等式由对数恒等式机动 目录 上页 下页 返回 结束 5.3

24、5.3 导数在研究函数上的应用导数在研究函数上的应用机动 目录 上页 下页 返回 结束 中学数学用代数方法讨论了一些函数的性态：如单调性、极值性、奇偶性、周期性等。由于受方法的限制，讨论得既不深刻也不全面，且计算繁琐，也不易掌握其规律。导数和微分学基本定理为我们深刻、全面地研究函数的性态提供了有力的数学工具。5.3 5.3 导数在研究函数上的应用导数在研究函数上的应用机动 目录 上页 下页 返回 结束 ()yf xx()0f x()yf x设曲线其上每一点都存在切线。若轴正方向的夹角都是锐角，即切线的，则曲线必是严格增加，如图yx0.AB切线与斜率()yf x机动 目录 上页 下页 返回 结束

25、 如图若切线与轴正方向的夹角都是钝角，即x()0f x()yf x，则曲线必是严格减少.切线的斜率.yxAB0()yf x机动 目录 上页 下页 返回 结束 由上可知，函数在由上可知，函数在a,b上的单调增减性，反映出上的单调增减性，反映出它的导数在它的导数在a,b上具有固定的符号；反之，利用上具有固定的符号；反之，利用导数的符号可得到函数在导数的符号可得到函数在a,b上单调增减性的判上单调增减性的判断法。断法。函数单调增减性函数单调增减性导数的符号导数的符号机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、函数的单调性，内内可可导导在在),(ba定理定理1 1在那末函数)(xf上上连连续续，在在设设函

26、函数数,)(baxf)(xf那那末末函函数数.,上上单单调调增增加加在在ba，内内如如果果在在）（0)(),(1 xfba，内内如果在如果在0)(),()2(xfba.,上单调减少ba机动 目录 上页 下页 返回 结束 指出：指出：,(),(,bababa或或换换成成把把本本定定理理中中的的闭闭区区间间.),结结论论仍仍然然成成立立以以及及无无穷穷区区间间，相相应应的的baIxxf,0)()(xf在 I 上单调递增Ixxf,0)()(xf在 I 上单调递减1、2、机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 讨论函数32()692f xxxx的单调性。解：函数解：函数()f x的定义域是R。2(

27、)31293(1)(3).f xxxxx 令()0fx，其根是1和3，它们将R分成三个区间：（，1），（1，3），（3，+）。机动 目录 上页 下页 返回 结束 ()fx()fx()fx因为导函数在每个区间上的符号不变，在区间内某一点的符号就是导函数在该区间上的符号。所以不难判别 0,(,1)(3)()0,(1 3)xfxx 或，由定理1，函数()f x在（，1）与（3，+）单调增加；在（1，3）单调减少。机动 目录 上页 下页 返回 结束 作表如下：)(xf（，1）（1，3）（3，+）+f(x)其中符号“”表严格增加，“”表严格减少。机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 2解解.)(3

28、2的的单单调调性性讨讨论论函函数数xxf).,(函函数数定定义义域域为为 )(xf.,0导导数数不不存存在在时时当当 x32xy oxy划分定义域，用导数不存在点0 x,1323x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x)0,()0(，)(xf )(xfy 0不存在不存在列表讨论如下：机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据上述讨论，可得如下结论：根据上述讨论，可得如下结论：如果函数在定义区间上连续，如果函数在定义区间上连续，的点外导数存在且连续，的点外导数存在且连续，除去有限个导数除去有限个导数那末只要用那末只要用的的定定义义域域，不不存存在在的的点点来来划划分分函函数数及及)(xf 0)(

29、xf就能保证就能保证固固定定符符号号，在在各各个个部部分分区区间间内内保保持持)(xf ,0)(xf或或0)(xf即即)(xf由此确定函数.调性调性不存在不存在的根的根在每个部分区间的单机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1)确定函数的定义域 (2)求出导数f(x)(3)求出f(x)全部零点和不可导点 (4)用零点和不可导点将定义域分成若干开区间；(5)判断导函数在每个开区间的符号。根据定理1，判定函数单调增加或单调减少。确定函数单调区间的步骤机动 目录 上页 下页 返回 结束 )1(111)(22xxxxxxf 因为当x1时 f(x)0 所以 f(x)在 1)上 f(x)单调 增加0)13

30、(2xx 因此当x1时 f(x)f(1)=0 即 x x1 13 3x x2 2x xfx x1 13 3x x,2 21 1x x时当证明：令则例：证明x x1 13 3x x2 2也就是机动 目录 上页 下页 返回 结束 ，内内可可导导在在),(ba定理定理在那末函数)(xf上上连连续续，在在设设函函数数,)(baxf)(xf那那末末函函数数.,上上单单调调增增加加在在ba，内内如如果果在在）（0)(),(1 xfba，内内如果在如果在0)(),()2(xfba.,上单调减少ba二、函数的极值与最值二、函数的极值与最值复习机动 目录 上页 下页 返回 结束 指出：指出：,(),(,baba

31、ba或或换换成成把把本本定定理理中中的的闭闭区区间间.),结结论论仍仍然然成成立立以以及及无无穷穷区区间间，相相应应的的baIxxf,0)()(xf在 I 上单调递增Ixxf,0)()(xf在 I 上单调递减1、2、机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、极值的定义与必要条、极值的定义与必要条件件)30(31292)(23xxxxxf函数)2,1()1,2()6,3(xyo12机动 目录 上页 下页 返回 结束 ，不不是是曲曲线线的的最最高高点点点点)2,1(1x但是与但是与，这这个个点点是是最最高高点点2)1(f也就是说，函函数数的的最最大大值值1x，处函数值相比处函数值相比x.)1(是是最

32、最大大的的f同样地同样地,),(xf函函数数值值处处的的附附近近的的函函数数在在xx2 相相比比，与与)2(f.)2(是是最最小小的的f上不是在3,0相比，的x观察函数的图形可知：附近但但是是与与附近的机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1内内有有定定义义，的的某某邻邻域域在在设设函函数数),()(00 xUxxf时，时，而而若当若当00),(xxxUx ，恒有恒有)()(0 xfxf 则称则称的的一一个个是是函函数数)()(0 xfxf.极极大大值值时，时，而而若当若当00),(xxxUx ，恒有恒有)()(0 xfxf 则称则称的的一一个个是是函函数数)()(0 xfxf.极极小小

33、值值为了描述这种点的性质为了描述这种点的性质,引进函数极值的概念引进函数极值的概念.机动 目录 上页 下页 返回 结束 极小值极小值极大值极大值.极值点极值点使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为.)(0就是极值就是极值定义中的定义中的xf.0就是极值点就是极值点定义中的定义中的 x说明：说明：1、2、称为函数极值称为函数极值机动 目录 上页 下页 返回 结束 )2,1()1,2()6,3(xyo12从图上还可以看出，从图上还可以看出，函数在极值点处，函数在极值点处，曲线上的切线是水曲线上的切线是水平的，平的，是函数2)1(f的的极极大大值值，31292)(23 xxxxf.)()2(的

34、的极极小小值值是是函函数数xff0)2(,0)1(ff即即由定义可知：机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般地，有下面的定理一般地，有下面的定理.定理定理1,)(0处处可可导导在在点点如如果果函函数数xxf处且在0 x.0)(0 xf则则注意：注意：定理定理1的逆定理不成立的逆定理不成立.，取得极值例如例如0)0(03 yxxy处处在在.03的的极极值值点点不不是是函函数数但但xyx o3xy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明：说明：对于连续函数对于连续函数,导数不存在的点也可能是函数导数不存在的点也可能是函数例如，例如，.0|处处有有极极小小值值在在函函数数 xxy.0处处不不可可

35、导导但但在在 x称称为为的的点点使使00)(xxf .驻点驻点函数在定义域中的驻点及不可导点统称为函数在定义域中的驻点及不可导点统称为 极值可疑点极值可疑点.的极值点的极值点.yxo|xy 1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 求下列函数的极值可疑点：求下列函数的极值可疑点：23.13 xxyxy .2)1(32 xyxy21 .1是是极极值值可可疑疑点点 x.0是是极极值值可可疑疑点点 x2、连续函数仅在极值可疑点上可能取得极值连续函数仅在极值可疑点上可能取得极值.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、极值的求法、极值的求法如图所示：如图所示：的驻点，的驻点，是是)(,32xfxx，处的

36、导数不存在处的导数不存在在点在点1)(xxfoxyab)(xfy C 1xA 2xB 3x机动 目录 上页 下页 返回 结束 单单调调减减少少与与单单调调是是点点)(2xfx;)(3处处也也取取得得极极大大值值在在同同样样，xxxf.)(1处取得极大值处取得极大值在在xxxf 单单调调增增加加与与单单调调是是点点)(1xfx，减少的分界点减少的分界点;)(2处取得极小值处取得极小值在在xxxf 增增加加的的分分界界点点，的的左左右右两两侧侧有有不不同同可可疑疑点点一一般般地地，若若函函数数在在极极值值0 x的的单单调调性性，.0是是极极值值点点则则 x机动 目录 上页 下页 返回 结束 由单调

37、性与导数符号的关系，可得下面的定理由单调性与导数符号的关系，可得下面的定理.定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件),()1(00 xxx 如如果果;0)(xf有有),(00 xxx而而，有有0)(xf.)()(0的的极极大大值值是是则则xfxf，有有0)(xf),(00 xxx而而;0)(xf有有.)(0处处无无极极值值在在则则xxf)(xf 符号相同符号相同,邻邻域域内内连连续续，的的在在极极值值可可疑疑点点设设函函数数 0)(xxf.0邻邻域域内内可可导导的的去去心心在在 x),()2(00 xxx 如如果果.)()(0的的极极小小值值是是则则xfxf,),(),()3(0000时时及

38、及如如果果当当 xxxxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyo)(xfy.)(1是是极极小小值值xf.)(0是极大值是极大值xf1x0 x .)()(0的的极极值值不不是是xfxf.)()(1的的极极值值不不是是xfxfxyo)(xfy 0 x 1x机动 目录 上页 下页 返回 结束 求极值的步骤求极值的步骤:);()()1(xfxf 的的定定义义域域，求求导导数数确确定定函函数数的的极极值值可可疑疑点点；求求出出函函数数)()2(xf极极值值，在在极极值值可可疑疑点点处处是是否否有有，确确定定按按定定理理)(2)4(xf分分成成若若干干个个部部分分区区间间，用用极极值值可可疑疑点点将

39、将定定义义域域）（3号号；在在每每个个部部分分区区间间上上的的符符并并确确定定)(xf 是极大值还是极小值是极大值还是极小值.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例:解解.593)(23的极值的极值求函数求函数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)(xf.3,121 xx得驻点得驻点列表讨论列表讨论x)1,(),3()3,1(1 3)(xf )(xf 00极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小值.22 )1(f极大值极大值,10)3)(1(3 xx），函数的定义域为（函数的定义域为（机动 目录 上页 下页 返回 结束 .)52()(:32的极值求函数例xxxf解解），函数的定义域为

40、（函数的定义域为（)52()(3235 xxxf3132310310 xx.31103xx）（.10 xx及及函函数数的的极极值值可可疑疑点点为为列表讨论列表讨论x)0,(),1()(xf )(xf 0)0(f极极大大值值0），（1010不存在不存在极大值极大值3)1(f极小值极小值极小值极小值机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件),0)(0 xf且且，0)(0 xf处处取取得得极极小小值值；在在函函数数0)(xxf处处具具有有二二阶阶导导数数，在在设设函函数数0)(xxf时，时，当当0)()1(0 xf时，时，当当0)()2(0 xf处处取取得得极极大

41、大值值；在在函函数数0)(xxf注意：注意：处不一定取极值在点时00)(,0)(xxfxf 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例解解.)0(sin2cos21)(的的极极值值求求函函数数 xxxxfxxxfcos2sin)(，令令0)(xf65,2,6)(,0 有有三三个个驻驻点点上上在在xfx )sin21(cosxx xxxfsin2cos2)(23)65()6(ff,0.43)65()6(是是函函数数的的极极大大值值 ff021)2(f，是是函函数数的的极极小小值值21)2(f故故机动 目录 上页 下页 返回 结束 4 4、函数的最值、函数的最值 在实际应用中，我们常要解决在一定条件

42、下，怎样才能使投入最小，产出最多，成本最低，利润最大等问题，这些反映在数学上就是求函数最值的问题。函数的最大值与最小值统称为函数的最值，函数的最值与函数的极值一般来说是有区别的，函数的最值是指在整个区间上所有函数值中的最大者或最小者，因而最值是全局性的概念，而极值只是函数在一点的某一邻域内的最大值与最小值，因而极值是一个局部性的概念，机动 目录 上页 下页 返回 结束 ()f x,a b()f x,a b若函数区间内连续，则函数在闭区间能取到最与最大值。）可知：小值根据闭区间上连续函数的最值定理（在闭如果函数在闭区间,a b上连续，函数在闭区间上必有最大值与最小值，,a b这些最值的取得可能在

43、区间端点处，也可能在区间内的驻点或不可导点处。机动 目录 上页 下页 返回 结束（2）令 求出驻点或不可导点；闭区间上连续闭区间上连续 函数的最大值和最小值的求法：函数的最大值和最小值的求法：（1）求出()fx；()0f x（3）求出函数在驻点、不可导点以及区间端点处的函数值，并进行比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。机动 目录 上页 下页 返回 结束 在一些特殊情况下，可简便求出函数的最值:,a b是单调增加的，则f(a)1、如果函数在闭区间为最小值，f(b)为最大值。,ab,ab2、如果函数在闭区间上连续，且在仅有唯一的一个极值，若是极大值，则此极大值上必定是最大值，若是极小值，

44、必定为最小值。机动 目录 上页 下页 返回 结束 工工厂厂距距离离为为段段的的铁铁路路线线上上,100kmABDABACkmAC今今要要在在上上选选一一点点垂垂直直于于处处为为距距,20向工厂修一条公路，已知铁路每千米货运的运费与公向工厂修一条公路，已知铁路每千米货运的运费与公路上每千米的运费之比为路上每千米的运费之比为3：5，为了使货物从供，为了使货物从供 应站应站B运到工厂运到工厂C的费用最小，问的费用最小，问D点应选在何处？点应选在何处？BACD10020解解,）（设设kmxAD ,100 xDB 则则.2022xCD ,3k为为设设铁铁路路上上每每千千米米的的运运费费机动 目录 上页

45、下页 返回 结束 .5k为为则则公公路路上上每每千千米米的的运运费费,yCB点点需需要要的的总总运运费费为为点点到到设设从从).1000(),100(340052 xxkxky.380)15(1kyy 的的最最小小值值知知，由由例例千米处，千米处，为为点应选在距点应选在距因此，因此，15AD.总运费最省总运费最省机动 目录 上页 下页 返回 结束 指出：指出：就可以断定目标函数在某个开区间内必有最就可以断定目标函数在某个开区间内必有最即可判定在该点处目标函数一定即可判定在该点处目标函数一定在很多实际问题中，在很多实际问题中，根据问题的性质，根据问题的性质，往往往往大值或最小值大值或最小值.若目

46、标函数是可导函数若目标函数是可导函数，且在该区间内只有一且在该区间内只有一个驻点，个驻点，此时，此时，取得最大值或最小值取得最大值或最小值.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例:解解:bxxbxxR40,214)(2 每每生生产产一一台台的的是是产产量量已已知知总总收收益益xR此此时时总总总总利利润润最最大大机机问问每每年年生生产产多多少少台台电电视视?,？利润是多少利润是多少bxaxC )(总成本总成本依题意依题意)()()(xCxRxL 总利润总利润bxaxbxxL40,213)(2 即即,某工厂生产电视机某工厂生产电视机,元元固定成本为固定成本为a,电视机电视机,元元成成本本增增加加

47、 b函数函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 .54,2）元元总总利利润润是是（此此时时ab ，总总利利润润最最大大时时当当年年产产量量为为所所以以,3,b0)(xL令令.3bx 得得唯唯一一驻驻点点bxxbxL40,3)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 小结小结:极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:驻点和不可导点统称为极值可疑点驻点和不可导点统称为极值可疑点.函数的极值必在极值可疑点取得函数的极值必在极值可疑点取得.xoyab)(xfy 1x2x3x4x5x0 x)(2xf极极大大值值其其中中.)(5还还小小比比极极小小值值xf极大值可能小于极小值极大值可能小于极小值.如图所

48、示如图所示:最值是整体概念而极值是局部概念最值是整体概念而极值是局部概念.机动 目录 上页 下页 返回 结束 问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo)(xfy xyo)(xfy 曲线位于其上任意曲线位于其上任意点处切线的上方点处切线的上方曲线位于其上任意曲线位于其上任意点处切线的下方点处切线的下方1、曲线的凹凸及判定、曲线的凹凸及判定ABC 机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据以上观察，我们给出曲线凹凸的定义：根据以上观察，我们给出曲线凹凸的定义：定义定义1则称此曲线弧是凹的则称此曲线弧是凹的.则称此曲线弧是凸的则称此曲线弧是凸的.xyo)(xfy 曲线位于其

49、上任意点曲线位于其上任意点处切线的上方处切线的上方xyo)(xfy 曲线位于其上任意点曲线位于其上任意点处切线的下方处切线的下方若曲线弧位于其上每一点处切线的上方，若曲线弧位于其上每一点处切线的上方，若曲线弧位于其上每一点处切线的下方，若曲线弧位于其上每一点处切线的下方，机动 目录 上页 下页 返回 结束 xx()yf x()fx()fx()fx()fx对于凹曲线弧，切线的斜率随增大而变大；对于凸增大而变小。由于切线的斜率的导数，因此，凹的曲线弧，导数是单调增加的；凸的曲线弧，导数是单调减少的。单调增加，单调减少，曲线弧，切线的斜率随就是函数反之，从几何直观上也可以看出，导数曲线弧是凹的；导数

50、曲线弧是凸的。机动 目录 上页 下页 返回 结束 abABxyo)(xfy xyoabBA)(xfy 单调增加单调增加)(xf 0)(xf单调减少单调减少)(xf 0)(xf()fx()fx导数的单调性，可通过的正负号判定，于是利用二阶导数的符号，可以得到判定曲线凹凸的方法。Ixxf,0)()(xf在 I 上单调递增Ixxf,0)()(xf在 I 上单调递减机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理：定理：;,)(,0)()1(上上的的图图形形是是凹凹的的在在则则baxfxf .,)(,0)()2(上上的的图图形形是是凸凸的的在在则则baxfxf 内内若在若在),(ba内具有内具有在在上连续上连