第九章-自旋-量子力学教学课件.pptx
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- 第九 自旋 量子力学 教学 课件
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1、第9章 自旋 Quantum Mechanics第九章第九章 自旋自旋教学内容教学内容第1页1 1 电子自旋态与自旋算符电子自旋态与自旋算符2 2 总角动量的本征态总角动量的本征态3 3 碱金属原子光谱双线结构、反常碱金属原子光谱双线结构、反常ZeemanZeeman效应效应4 4 自旋单态与三重态,自旋纠缠态自旋单态与三重态,自旋纠缠态第9章 自旋 Quantum Mechanics1 电子自旋态与自旋算符电子自旋态与自旋算符电子自旋存在的实验事实电子自旋存在的实验事实第2页在讨论电子在磁场中的运动时,发现电子具有在讨论电子在磁场中的运动时,发现电子具有轨道磁矩轨道磁矩如有外场存在,则这一轨
2、道磁矩所带来的附加能量为如有外场存在,则这一轨道磁矩所带来的附加能量为如磁场方向在如磁场方向在z z方向方向显然显然 V V是量子化的,它取是量子化的,它取(2l+1)(2l+1)个值个值.在较强的磁场在较强的磁场(10(105 5GsGs),),发现一些类氢发现一些类氢离子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象,而轨道磁矩的存在,能很好地解离子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象,而轨道磁矩的存在,能很好地解释它。释它。但是,当这些原子或离子置入弱磁场的环境中,或光谱分辨率提高后,发现但是,当这些原子或离子置入弱磁场的环境中,或光谱分辨率提高后,发现问题并不是那么简单,这就要求人们进一步探索。问题并不
3、是那么简单,这就要求人们进一步探索。第9章 自旋 Quantum MechanicsStern-Gerlach实验(1922年)第3页(1)实验描述(2)结论:I I.银原子银原子有磁矩有磁矩.因在非因在非均匀磁场均匀磁场中发生偏转中发生偏转;II.II.银原子银原子磁矩只有两种取向磁矩只有两种取向,即即空空间量子化的间量子化的.S S 态态的银原子的银原子束流,经非均匀磁场发束流,经非均匀磁场发生偏转,在感光板上呈现两条分立生偏转,在感光板上呈现两条分立线线 。(3)讨论当当一狭窄的原子束通过非均匀磁场时,如一狭窄的原子束通过非均匀磁场时,如果原子无磁矩,它将不偏转;而当原子具果原子无磁矩,
4、它将不偏转;而当原子具有磁矩,那在磁场中的附加能量为有磁矩,那在磁场中的附加能量为Z处于处于 S S 态态的的原子原子NS第9章 自旋 Quantum Mechanics第9章 自旋 Quantum Mechanics第9章 自旋 Quantum Mechanics电子自旋假定电子自旋假定根据这一系列实验事实,根据这一系列实验事实,G.G.UhlenbeckUhlenbeck(乌伦贝克)和乌伦贝克)和 S.GoudsmitS.Goudsmit(古德斯密特)(古德斯密特)19251925年根据上述现象提出了电子自旋假年根据上述现象提出了电子自旋假设设第6页(1 1)每个电子都具有自旋角动量,它在
5、空间任何方向上的投影只)每个电子都具有自旋角动量,它在空间任何方向上的投影只能取两个数值:能取两个数值:(2 2)每个电子都具有自旋磁矩,它与自旋角动量的关系为:)每个电子都具有自旋磁矩,它与自旋角动量的关系为:自旋磁矩,在空间任何方向上的投影只能取两个数值:自旋磁矩,在空间任何方向上的投影只能取两个数值:Bohr Bohr 磁子磁子第9章 自旋 Quantum Mechanics回转磁比率回转磁比率第7页(1 1)电子回转磁比率)电子回转磁比率轨道角动量轨道角动量与轨道磁矩的关系是:与轨道磁矩的关系是:S zzeeSm c(2 2)轨道回转磁比率)轨道回转磁比率则,轨道回转磁比率为:则,轨道
6、回转磁比率为:2eem c可见电子回转磁比率是轨道可见电子回转磁比率是轨道回转磁比率的二倍回转磁比率的二倍以以e/2me/2me ec c单位单位,则,则g gs s=2=2(而(而g gl l=1=1).电子自旋电子自旋的存在可由的存在可由DiracDirac提出的电子相对论性理论自然得到提出的电子相对论性理论自然得到。第9章 自旋 Quantum Mechanics自旋算符自旋算符 已知通常的力学量都可以表示为坐标已知通常的力学量都可以表示为坐标和动量的函数和动量的函数第8页由于电子具有自旋,实验发现,它由于电子具有自旋,实验发现,它也具有内禀磁矩也具有内禀磁矩而自旋角动量则与电子的坐标和
7、动量无关,它是电子内部状态而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关,它是电子内部状态的表征,是描写电子状态的第四个自由度(第四个变量)。的表征,是描写电子状态的第四个自由度(第四个变量)。与其他力学量一样,自旋角动量与其他力学量一样,自旋角动量 也是用也是用一个算符描写,记为一个算符描写,记为假设:假设:自旋算符自旋算符S S有三个分量,并满有三个分量,并满足角动量所具有的对易关系足角动量所具有的对易关系:,ijijkkL LiL 对比轨道角动量的关系F=F(r,p)第9章 自旋 Quantum Mechanics由于由于自旋角动量自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取在空间任意方向上的投影只能取
8、 /2/2 两个值两个值第9页所以所以S Sx x,S,Sy y,S,Sz z的的本征值都是本征值都是/2/2,其平方为其平方为 /2/22 2S S2 2算符算符的本征值的本征值是是S S2 2=S=Sx x2 2+S+Sy y2 2+S+Sz z2 2=3/4=3/4 2 2 仿照仿照l l2 2=1(l+1)=1(l+1)2 2自旋量子数自旋量子数 s s 只有一个数值只有一个数值S S2 2=s(s+1)=s(s+1)2 2=3/4 3/4 2 2 ,s=1/2,s=1/2第9章 自旋 Quantum Mechanics含自旋的状态波函数含自旋的状态波函数第10页因为自旋是电子内部运动
9、自由度,所以描写电子运动除了用因为自旋是电子内部运动自由度,所以描写电子运动除了用 (x,y,z)(x,y,z)三个坐标变量外,还需要一个自旋变量三个坐标变量外,还需要一个自旋变量 (S(SZ Z),于是电子的含自旋的),于是电子的含自旋的波函数需写为:波函数需写为:),(tSzyxz 由于由于 S SZ Z 只取只取 /2/2 两个值,两个值,所以上式可写为两个分量:所以上式可写为两个分量:写成列矩阵若已知电子处于若已知电子处于S Sz z=/2/2或或S Sz z=-/2/2的自旋态,则波的自旋态,则波函数可分别写为:函数可分别写为:旋量波函数第9章 自旋 Quantum Mechanic
10、s自旋算符的矩阵表示与自旋算符的矩阵表示与 Pauli Pauli 矩阵矩阵(1)SZ的矩阵形式第11页选选S Sz z作为力学量完全集,即取作为力学量完全集,即取S Sz z表象,那在自身表象中的表表象,那在自身表象中的表示自然为对角矩阵,而对角元就是它的示自然为对角矩阵,而对角元就是它的本征值本征值相应的本征矢相应的本征矢第9章 自旋 Quantum Mechanics在在S Sz z表象中表象中S Sx x,S,Sy y的矩阵表示的矩阵表示矩阵元:只要将矩阵元:只要将S Sx x,S,Sy y作用于作用于S Sz z的基矢并以的基矢并以S Sz z基矢展开,从基矢展开,从展开系数来获得展
11、开系数来获得第12页,1ssSS mS m,1ssSS mA S mS S+|S,m|S,ms s 和和S S+|S,m|S,ms s 标积标积,sssSS mS mSS m S2,ssS m S SS mASz,S+=S+,S=SxiSySzS+|S,ms=S+(Sz+)|S,ms=(ms+1)S+|S,ms 第9章 自旋 Quantum Mechanics第13页同理可得同理可得 S S2 2=S=Sx x2 2+S+Sy y2 2+S+Sz z2 2=S(S+1)=S(S+1)2 2 SSx x,S,Sy y=i=iSSz z第9章 自旋 Quantum Mechanics第14页第9章
12、 自旋 Quantum Mechanics第15页sincossinsincosnxyzSSSS对于 S 在 n(,)方向上的分量为 则本征矢则本征矢第9章 自旋 Quantum MechanicsPauli算符第16页(I)Pauli 算符的引进分量分量形式形式因为Sx,Sy,Sz的本征值都是/2,所以x,y,z的本征值都是1;x2,y2,Z2 的本征值都是1。即:即:2221xyz222xyyxzyzzyxzxxzyiii 分 量 形 式:第9章 自旋 Quantum Mechanics第17页 000zxxzyzzyxyyx 基于的对易关系,可以证明 各分量之间满足反对易关系:反对易关系
13、证:xyzzyi2xyyzyzyyi 2 xyyzyzyi 22 yxyzyzyi 22 yxzyzyi 2 xyyzyzi 2 0 xyyx xyyx 由对易关系和反对易关系还可以得到关于 Pauli 算符的如下非常有用性质:yzxxzxyzzyzxyyxiii 第9章 自旋 Quantum MechanicsPauli算符的矩阵形式第18页xabcd令zxxz10100101a ba bc dc d aba bcdc d 即00ad有00 xbc*000000 xxbbcccb 0000*2ccccx 22|00|ccI1|2 c令:c=exp-i(为实),则 00*ccx 第9章 自旋
14、Quantum Mechanics第19页 yzxyzxii 由出发习惯上取=0,于是得到Pauli算符的矩阵形式为:从自旋算符与 Pauli 矩阵的关系自然得到自旋算符的矩阵表示:第9章 自旋 Quantum Mechanics课本练习:1.证明第20页其中A,B是与对易的任何两个矢量。利用此式证明2.设算符A和对易,证明第9章 自旋 Quantum Mechanics自旋波函数自旋波函数第21页对于对于S Sz z的本征方程为的本征方程为 由于由于S Sz z的本征值仅取的本征值仅取 /2/2,m ms s=1/21/2 。在其自身表象。在其自身表象 而相应本征态的表示为而相应本征态的表示
15、为是是S Sz z的本征值为的本征值为+/2/2 的本征态在的本征态在S Sz z表象中的表示,表象中的表示,是是S Sz z的本征的本征值为值为-/2/2 的本征态在的本征态在S Sz z表象中的表示。显然表象中的表示。显然 ,正交,正交,0(10)01 第9章 自旋 Quantum Mechanics第22页若若是归一化的,是归一化的,则则|a|a1/21/2|2 2 为以为以 描述描述的电子处于的电子处于S Sz z=/2/2的的几率,即自旋向上和向下的几率。几率,即自旋向上和向下的几率。而而a a1/21/2和和a a-1/2-1/2可由可由,与与标积获得标积获得1/21/21/21/
16、21/2(10)(01)aaaaa 对于任何对于任何一一在在S Sz z表象中,其表示为表象中,其表示为旋量波函数旋量波函数第9章 自旋 Quantum Mechanics旋量波函数旋量波函数物理意义:物理意义:|(r,/2)|2 电子自旋向上,位置电子自旋向上,位置在在r r处的处的概率密度概率密度。|(r,-/2)|2 电子自旋电子自旋向向下下,位置位置在在r r处的处的概率密度概率密度。第23页d3r|(r,/2)|2 表示电子自旋向上的概率;表示电子自旋向上的概率;d3r|(r,-/2)|2 表示电子自旋向下的概率。表示电子自旋向下的概率。归一化条件为归一化条件为 第9章 自旋 Qua
17、ntum Mechanics2 总角动量的本征态总角动量的本征态电子自旋是一种相对论效应电子自旋是一种相对论效应第24页可以证明,在中心力场可以证明,在中心力场V(r)V(r)中运动的电子的相对论波动方程中运动的电子的相对论波动方程(DiracDirac方程),在过渡到非相对论极限时,方程),在过渡到非相对论极限时,HamiltonHamilton量中将出量中将出现一项自旋现一项自旋-轨道耦合项(轨道耦合项(ThomasThomas项)项)为电子质量,为电子质量,c c为光速。在处理正常为光速。在处理正常ZeemanZeeman效应时因外加磁场很效应时因外加磁场很强,自旋强,自旋-轨道耦合项相
18、对来说是很小的,可以忽略。轨道耦合项相对来说是很小的,可以忽略。但但当所加磁场很弱,或没有外场的情况,这项作用对能级与光谱当所加磁场很弱,或没有外场的情况,这项作用对能级与光谱带来的影响(精细结构),就不应忽略带来的影响(精细结构),就不应忽略。碱金属元素光谱线的双。碱金属元素光谱线的双分裂及反常分裂及反常ZeemanZeeman效应都与此有关。效应都与此有关。第9章 自旋 Quantum Mechanics电子的总角动量算符电子的总角动量算符当计及自旋当计及自旋-轨道耦合作用之后,轨道耦合作用之后,轨道及轨道及自旋角动量分别都不再是守恒量自旋角动量分别都不再是守恒量,因为,因为第25页定义矢
19、量算符,即定义矢量算符,即则可以证明,在中心力场中电子总角动量则可以证明,在中心力场中电子总角动量J J为守恒量。考虑到为守恒量。考虑到L L和和S S分别分别属于不同自由度,因此相互对易,即属于不同自由度,因此相互对易,即类似地还可证明其余类类似地还可证明其余类似的对易关系,似的对易关系,第9章 自旋 Quantum Mechanics第26页容易证明容易证明因此,在中心力场中电子的能量本征态可以选为守恒量完全集因此,在中心力场中电子的能量本征态可以选为守恒量完全集(H,L(H,L2 2,J,J2 2,J,Jz z)的共同本征态。空间角度部分和自旋部分的波函数可的共同本征态。空间角度部分和自
20、旋部分的波函数可选为的选为的(L(L2 2,J,J2 2,J,Jz z)共同本征态,此共同本征态在共同本征态,此共同本征态在(,S,Sz z)表象中可表象中可表示为表示为如何求解该态呢?如何求解该态呢?第9章 自旋 Quantum Mechanics中心力场中电子的能量本征态(l2,j2,jz)的共同本征态。此共同本征的共同本征态。此共同本征态在态在(,Sz)表象中可表示为表象中可表示为第27页(1)要求要求是是L2 的本征态,即本征态,即所以,1与2 都应是l2的本征态,但对应相同本征值。(2 2)要求为要求为 j jz z 的本征态的本征态所以,所以,1与与2 都应都应是是Lz的本征态,但
21、对应的本征态,但对应本征值本征值相差相差。1(,)lmzlmaYSbY 这样就保证了它这样就保证了它是是l2 与与jz的共同的本征态的共同的本征态,本征本征值分别为值分别为l(l+1)2和和(m+1/2)。第9章 自旋 Quantum Mechanics第28页(3)J2的本征态的本征态。1(,)lmzlmaYSbY 代入本征方程:代入本征方程:1113(1)()(1)43()(1)(1)(1)4lmlmlmlmlmlml lm aYlm lmbYaYlm lmaYl lmbYbY3(1)()(1)043()(1)(1)(1)04l lmal m l mbl m l mal lmb 上式两边分
22、别乘以上式两边分别乘以Y*lm,Y*lm+1 对对(,)积分积分后得后得第9章 自旋 Quantum Mechanics第29页这是确定这是确定a a和和b b的线形齐次方程,的线形齐次方程,有非平庸解的充要条件是有非平庸解的充要条件是 3(1)()(1)403()(1)(1)14l lmlm lmlm lml lm 3(1)()(1)043()(1)(1)(1)04l lmalm lmblm lmal lmb解出解出的两个根得的两个根得求求出本征值后出本征值后,再求本征矢,再求本征矢(1)()1 2,almlmbjl对()(1)1 2,jlalmlmb 对221122|()|(1)21(1)
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