第九章-微分方程习题课课件.ppt

1、第第九九章章 微分方程习题课微分方程习题课一阶微分方程一阶微分方程 (,)0F x y y 一、基本概念一、基本概念1 一阶微分方程的定义一阶微分方程的定义(,)yf x y 或或2一阶微分方程的解、通解一阶微分方程的解、通解(,)yx C 一阶微分方程的通解：含有一个任意常数的解一阶微分方程的通解：含有一个任意常数的解一阶微分方程的解：使微分方程一阶微分方程的解：使微分方程 恒成立的恒成立的 .()yx (,(),()0F xxx ()()dyf x g ydx xydxdy)()(xQyxPdxdy 3一阶微分方程的特解一阶微分方程的特解4一阶微分方程的类型一阶微分方程的类型（1）可分离变

2、量方程：）可分离变量方程：（2）齐次方程：）齐次方程：（3）一阶线性微分方程：）一阶线性微分方程：初始条件：初始条件：.00|x xyy 特解：初值问题特解：初值问题 的解。的解。00(,)|xxyf x yyy 二、解题方法流程图二、解题方法流程图 求一阶微分方程通解的关键是先判定方程的类型，求一阶微分方程通解的关键是先判定方程的类型，而判定方程类型的一般方法和思路是：而判定方程类型的一般方法和思路是：（1）先用观察法判定是否为可分离变量方程，若是分）先用观察法判定是否为可分离变量方程，若是分离变量，两边积分即可得到其通解，否则转入下一步。离变量，两边积分即可得到其通解，否则转入下一步。(,

3、)()dyyf x ydxx ()()dyP x yQ xdx(齐次方程齐次方程)(一阶线性方程一阶线性方程)（2）解出）解出 的解析式：判别是否为下面类型的方程：的解析式：判别是否为下面类型的方程：dydx 对于这些类型的方程，它们各自都有固定的解法。如对于这些类型的方程，它们各自都有固定的解法。如果所给的方程按上述思路不能转化为已知类型的方程，这果所给的方程按上述思路不能转化为已知类型的方程，这时常用的方法和技巧如下：时常用的方法和技巧如下：A.熟悉常用的微分公式；熟悉常用的微分公式；B.选取适当的变量代换，转化成上述可解类型的方程；选取适当的变量代换，转化成上述可解类型的方程；一阶微分方

4、程的解题方法流程图如下。一阶微分方程的解题方法流程图如下。C变换自变量和因变量（即有时把变换自变量和因变量（即有时把 看成自变量，而看成自变量，而 考虑考虑 的方程类型）。的方程类型）。ydxdy求求 通解通解0 QdyPdxPQyx 一阶线性方程一阶线性方程)()(xQyxPdxdy通解为通解为PdxPdxyeQedxC 贝努利方程贝努利方程()()ndyP x yQ x ydx其它一般其它一般方程方程令令nyz1一阶线性方程一阶线性方程变量代换变量代换 齐次方程齐次方程()dyydxx令令yuxuudxdux)(可分离变量可分离变量全微分全微分方程方程可分离变可分离变量方程量方程在在G内取

5、内取 ),(00yx通解通解Cyxu),(dxxfdyyg)()(dxxfdyyg)()(隐式通解隐式通解CxFyG)()(00(,)(,)(,)x yx yu x yPdx Qdy (1)()(1)()dzn P x zn Q xdx可分离变量可分离变量YesYesNo()d y=fx,yd x解出解出No解题方法流程图解题方法流程图21dydxyx 2lnln(1)lnyxxC 三、典型例题三、典型例题解：分离变量为解：分离变量为 积分得积分得 分析：用观察法，可见它是可分离变量方程。分析：用观察法，可见它是可分离变量方程。【例【例1】求解微分方程求解微分方程 。210ydxxdy 因此，

6、所求通解为因此，所求通解为 .21Cyxx cos1coscoscosyyyxydyxxxyydxxxx1cosseccosduuuuxuudxu 分析：将方程变形，得分析：将方程变形，得此方程为齐次方程，所以按框图中的方法求解。此方程为齐次方程，所以按框图中的方法求解。【例【例2】求微分方程】求微分方程 的通解。的通解。(cos)cos0yyxydxxdyxx 解：令解：令 ,于是于是 ,上式可化为上式可化为yux,dyduyuxuxdxdx cosdxudux sinlnlnuxC sin uxeC sinyxxCe 分离变量分离变量积分得积分得所以所以 故原方程的通解为故原方程的通解为

7、即即 ,为可分离变量的方程为可分离变量的方程secduxudx 分析：此题为一阶线性微分方程，所以按框图中的方法求解。分析：此题为一阶线性微分方程，所以按框图中的方法求解。【例【例3】求微分方程】求微分方程 的特解。的特解。sin,dyyxdxxx|1xy 0dyydxx Cyx 22()()()sinxu xu xu xxxxx 解法解法1：对应齐次方程为：对应齐次方程为分离变量解得分离变量解得 代入原方程得代入原方程得由常数变易法，令由常数变易法，令 ，则，则()u xyx 2()()dyxu xu xdxx ()cosu xxC cos xCyx 解得解得所以原方程通解为所以原方程通解为

8、1(cos1)yxx 特解为特解为将将 代入得代入得1C|1xy 11sindxdxxxxyeedxCx 1(cos1)yxx 特解为特解为将将 代入得代入得1C|1xy lnlnsinxxxeedxCx 解法解法2：因为：因为 ，利用求解公式得，利用求解公式得sin()xq xx 1()p xx 1cos sinxCxdxCxx 23211dxxyyxydyyy 【例【例4】求微分方程】求微分方程 的通解的通解.23(1)()0y dxxyydy 分析：按框图所叙述的方法和思路，由于所给方程不是常分析：按框图所叙述的方法和思路，由于所给方程不是常见的已知类型的方程，即按通常的想法见的已知类型

9、的方程，即按通常的想法将将 当作自变当作自变量，则方程为非线性方程量，则方程为非线性方程 。231dyydxxyy x但若将但若将 当作因变量，即将方程改写为当作因变量，即将方程改写为 y此时方程变为一阶线性微分方程，所以按框图中的方法求解。此时方程变为一阶线性微分方程，所以按框图中的方法求解。231dyydxxyy 11211dydyyyxey edyC 21(1)1yy dyCy 解：因为解：因为 由公式得原方程的通解为由公式得原方程的通解为所以所以 为一阶线性微分方程为一阶线性微分方程211dxxydyy 341()134yyCy 分析：可将方程变形为分析：可将方程变形为 ，此方程为齐次

10、方程；，此方程为齐次方程；2yyyxx 所以按框图中的方法分别求解。所以按框图中的方法分别求解。也可将方程变形为也可将方程变形为 ，此方程又为贝努利方程，此方程又为贝努利方程，2211yyyxx 令令 ，代入原方程得，代入原方程得dxxuudu122 xyu 22Cxyxy 解得解得 ，即，即 22Cxuu 解法解法1：将原方程整理成：将原方程整理成 ,即标准的齐次方程，即标准的齐次方程，2()yyyxx 【例【例6】求方程】求方程 满足满足 的特解。的特解。1)1(y22yxydxdyx yxx 122代入代入 有有 ，原方程特解是，原方程特解是1 C1)1(yCxxz 21Cxxy 211

11、数的一阶线性方程，解之得数的一阶线性方程，解之得即即解法解法2：整理原方程得：整理原方程得 ，为贝努利方程。为贝努利方程。2211yxyxy 令令 代入原方程得代入原方程得 ，是以，是以 为未知为未知yz1 211xzxz zyxx 122代入代入 有有 ，原方程特解是，原方程特解是1 C1)1(y分析：此等式中含有积分上限函数，因此想到利用积分上分析：此等式中含有积分上限函数，因此想到利用积分上限函数的性质，求导可建立微分方程，从而求解。限函数的性质，求导可建立微分方程，从而求解。即即20()()xxf xtf t dt()f x求求 【例【例1111】设】设 可导，且满足方程可导，且满足方

12、程 ()f x2()()xfxxf x 解：等式两边对解：等式两边对 求导得求导得x()()2fxxf xx 为一阶线性非齐次微分方程为一阶线性非齐次微分方程,且且 ，解得，解得(0)0f()()()(2)x dxx dxf xexedxC 2222(2)xxexedxC 222222(2)2xxxeeCCe 22()2(1)xf xe 2,C 将将 代入，得代入，得(0)0f 二、二阶常系数线性微分方程二、二阶常系数线性微分方程1定义定义(1)二阶常系数线性齐次微分方程：二阶常系数线性齐次微分方程：0ypyqy(2)二阶常系数线性非齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程:()ypyqyf

13、x 2解的结构性质解的结构性质(1)若若 和和1y2y是齐次方程的解是齐次方程的解,则则1 122C yC y 是齐次方程的解。是齐次方程的解。(2)若若 1y和和 2y是齐次方程的线性无关解是齐次方程的线性无关解,则则 是齐次是齐次1 122C yC y 方程的通解。方程的通解。(3)若若 1 12 2Y CyC y 是齐次方程的通解，是齐次方程的通解，*y是非齐次方程的特解，是非齐次方程的特解，则则*Yy 是非齐次方程的通解。是非齐次方程的通解。和和(4)若若 1y2y分别是非齐次方程的特解，则分别是非齐次方程的特解，则12yy 是非齐次是非齐次 方程的特解。方程的特解。3.非齐次方程的解

14、题方法非齐次方程的解题方法求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，一般分为四步：求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，一般分为四步：1）写出特征方程并求根；）写出特征方程并求根；2）求对应的齐次线性方程的通解）求对应的齐次线性方程的通解;Y3）根据不同类型的自由项）根据不同类型的自由项()f x，利用待定系数法求出，利用待定系数法求出一个特解一个特解*y4）写出原方程的通解）写出原方程的通解 。*Yy 解题方法流程图如下图所示解题方法流程图如下图所示。解题方法流程图解题方法流程图特征方程：特征方程：20rprq 有实根有实根12(cossin)xYeCxCx 的类型的类型()f x混合混合型型对

15、对 分别分别求特解求特解12(),()f x f x12*,y y*12yyy 令令 k为特征方程为特征方程含根含根 的重复次数的重复次数*()kxmyx eQx 0 1 2(,)k 代入原方程，用待定代入原方程，用待定系数法确定其参数系数法确定其参数令令 k为特征方程含根为特征方程含根 的重复次数的重复次数12*()()()cos()sinkxmmyx eRxx Rxxi0 1(,).max(,)kml n通解通解 *y Yy12rrYes12()()()f xfxfxYes112()r xYCC x eYes1,2riNo1212r xr xYC eC eNo1()()()cos()sin

16、xlnf xf xe P xx P xxNo求求 通解通解()ypyqyf x1()()()xmf xfxepxNo4、典型例题、典型例题【例【例4】已知】已知 21xxyxee 2,xxyxee 23,xxxyxeee 是某个二阶线性非齐次微分方程的三个特解，求通解是某个二阶线性非齐次微分方程的三个特解，求通解及方程的表达式。及方程的表达式。分析：由二阶线性非齐次微分方程解的结构，先求出分析：由二阶线性非齐次微分方程解的结构，先求出 对应齐次方程，从而得出通解及方程的表达式。对应齐次方程，从而得出通解及方程的表达式。解：因为解：因为 212xxyyee 13,xyye 是对应齐次方程是对应齐

17、次方程的两个线性无关的特解，可知特征方程有两个根的两个线性无关的特解，可知特征方程有两个根122,1rr ，特征方程为，特征方程为22 0rr 对应齐次方程为：对应齐次方程为：20yyy 对应齐次方程通解为：对应齐次方程通解为：212xxY CeCe 又因为又因为2xxxee 是非齐次微分方程的特解，将其代入是非齐次微分方程的特解，将其代入2()yyyf x 有有222()()2()(1 2)()xxxxxxxxeexeexeex ef x 所求的方程为：所求的方程为：2(1 2)xyyyx e 通解为：通解为：212xxxy Y yCeCexe 【例【例5】求方程】求方程 325yyy 满足

18、初始条件满足初始条件(0)1y,(0)2y 的特解。的特解。分析：此为二阶常系数非齐次线性微分方程，由解的结分析：此为二阶常系数非齐次线性微分方程，由解的结 构，先求出对应齐次的通解，再求出其本身的一个特解构，先求出对应齐次的通解，再求出其本身的一个特解.解：所给的方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，解：所给的方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，它的特征方程它的特征方程 232 0rr 解得两个不同的实根解得两个不同的实根 121,2rr 故齐次方程的通解为故齐次方程的通解为 212xxYCeCe 由于由于 是是 型型(其中其中 )，且，且()5f x ()xmP x e()5,0mP x 0

19、 不是特征方程根，所以应设特解不是特征方程根，所以应设特解 0*yaea ，求出，求出(),()yy 把它们代入原方程，得把它们代入原方程，得 52a 得非齐次方程的通解为得非齐次方程的通解为 21252xxy YyCeCe 将初始条件将初始条件(0)1,(0)2yy 代入，有代入，有121251222CCCC 解得解得 1275,2CC 所求的特解为所求的特解为 275522xxyee 【例【例6】求微分方程】求微分方程 323xyyyxe 的通解的通解 解：所给的方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，解：所给的方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，它的特征方程为它的特征方程为 232 0rr

20、解得两个不同的实根解得两个不同的实根 121,2rr 故齐次方程的通解为故齐次方程的通解为 212xxYCeC e 由于由于 是是 型型()3xf xxe ()xmP xe（其中（其中 ）()3,1mP xx 且且 是特征方程的单根，是特征方程的单根，1 所以应设特解所以应设特解 001223b xbbx 解之，得解之，得 013,32bb 由此求得一个特解为由此求得一个特解为比较等式两边的系数，得比较等式两边的系数，得 00123,20bbb 22123+(3)2xxxy Y yCeCexx e 01*()xyx b xb e 求出求出 把它们代入原方程，得把它们代入原方程，得(),()yy

21、 【例【例7】求微分方程】求微分方程 25sin2xyyy ex 的通解的通解 解：特征方程为解：特征方程为 225 0rr ，其根为，其根为 1,21 2 ri 故齐次方程的通解为故齐次方程的通解为 12(cos2sin2)xYe Cx Cx （其中（其中()0,()1,1,2lnP xP x ）,因为因为1 2 ii 是特征方程根，所以应设特解是特征方程根，所以应设特解 *(cos2sin2)xyxe Ax Bx 由于由于()sin2xf xex 是是()cos()sin)xlneP xx P xx 型型(*)(cos2sin2)(cos2sin2)xxye Ax Bxxe Ax Bx (

22、2 sin22 cos2)xxeAxbx (*)2(cos2sin2)2(2 cos2sin2)xxye Ax BxeAx Bx 2(2 sin22 cos2)(3 cos23 sin2)xxxeaxBxxeAxBx 代入原方程，解之得代入原方程，解之得 1,04AB 故特解为故特解为 *cos24xxyex 于是所求通解为于是所求通解为12(cos2sin2)cos24xxxy e Cx Cxex 注：不能因为自由项只出现正弦项，而将注：不能因为自由项只出现正弦项，而将*y设为设为 sin2xxe Bx。此例可理解为。此例可理解为 cos2x的系数为的系数为0。【例【例8】求微分方程】求微分

23、方程 cosxyy ex 的通解的通解 解：特征方程为解：特征方程为 21 0r ，其根为，其根为 1,2 ri 故齐次方程的通解为故齐次方程的通解为 12cossinY Cx Cx 由于由于()cosxf xex 根据特解结构原理，此方程的自由项根据特解结构原理，此方程的自由项()f x属于混合型，令属于混合型，令 12(),()cosxf xef xx 由于由于 是是 型型 1()xf xe()xmP x e（其中（其中 ）()1,1mP x 1 不是特征方程根，故可设不是特征方程根，故可设*1xyAe 所以所以*112xye，求，求*1()xyAe 代入原方程代入原方程xyy e 中，则

24、有中，则有*1(),xyAe 2,xxAee 1 2A 得得（其中（其中()1,()0,0,1lnP xP x ）,而而 ii 是特征方程根，故可设是特征方程根，故可设 *2(cossin)yx Bx Cx 又因为又因为 2()cosf xx 是是()cos()sin)xlneP xx P xx 型型求求 *2()cossin(sincos)yBx Cx x Bx Cx *2()2(sincos)(cossin)yBx Cxx Bx Cx 代入方程代入方程 cosyyx 中中,解得解得 10,2BC ，所以，所以 *2sin2xyx 于是原方程的通解为于是原方程的通解为*12121cossin

25、sin22xxy Y yyCx Cxex 【例【例9】求微分方程】求微分方程 22sinyyyx 的通解的通解 解：特征方程为解：特征方程为 221 0rr ，其根为，其根为 1,21r 故齐次方程的通解为故齐次方程的通解为 12()xYCC x e 由于由于21 1()sincos22 2f xxx 属于混合型，可设特解为属于混合型，可设特解为*12*cos2sin2yyyA Bx Cx 代入原方程，并比较两边系数，得代入原方程，并比较两边系数，得 132,25025ABC 所以原方程的通解为所以原方程的通解为132*cos2sin22 5025yxx 从而从而121 32()cos2sin

26、22 5025xyC Cxexx 分析：此等式中含有积分上限函数，因此想到利用积分分析：此等式中含有积分上限函数，因此想到利用积分00()()()()()xxxxf xexf xf t dtxf xef t dt 【例【例11】设函数】设函数()f x连续，且满足连续，且满足 00()()()xxxf xetf t dtxf t dt ，求，求()f x上限函数的性质，求导可建立微分方程，从而求解。上限函数的性质，求导可建立微分方程，从而求解。解：等式两边对解：等式两边对 x求导得求导得 两边再对两边再对 x求导得求导得()()xf xef x 即即()()xf xf xe 为二阶线性非齐次微分方程，且为二阶线性非齐次微分方程，且 (0)1,(0)1ff 可解得此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为可解得此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为121()cossin2xf xCx Cxe 再由再由(0)1,(0)1ff ，可得特解，可得特解 1()(cossin)2xf xxx e