第3章-测量误差基本知识课件.ppt

1、数字测图原理与方法数字测图原理与方法Principles and Methods of Digital Mapping 长安大学地测学院长安大学地测学院3 3 测量误差基本知识测量误差基本知识3.1 3.1 测量误差概述测量误差概述一、测量误差一、测量误差1.1.测量误差测量误差（Observation Error）观测量的观测值与其真值之差，包括观测误差和模型误差观测量的观测值与其真值之差，包括观测误差和模型误差。l观测误差观测误差：观测值发生的偏差观测值发生的偏差。l模型误差：模型误差：数学模型不恰当数学模型不恰当（或不精确）（或不精确）而导致待求量发生的偏差而导致待求量发生的偏差。如：如

2、：2222SShRhR 真值观测值真误差-二、观测误差产生的原因二、观测误差产生的原因1.1.仪器的原因仪器的原因（Instrumental Errors）测量仪器均具有一定的测量仪器均具有一定的精确度精确度，使测量结果受到一定的影响。，使测量结果受到一定的影响。另外，另外，仪器结构的不完善仪器结构的不完善，也会引起观测误差。，也会引起观测误差。2.2.观测者的原因观测者的原因（Personal Errors）由于观测者的由于观测者的感觉器官的辨别能力感觉器官的辨别能力存在局限性，在仪器对中、整平、瞄存在局限性，在仪器对中、整平、瞄准、读数等操作时都会产生误差。准、读数等操作时都会产生误差。3

3、.1 3.1 测量误差概述测量误差概述3.3.外界环境的影响外界环境的影响（Natural Errors）测量作业环境的温度、气压、湿度、风力、日光照射、大气折光、烟、测量作业环境的温度、气压、湿度、风力、日光照射、大气折光、烟、雾、雾霾、磁电等客观情况时刻在变化，使测量结果产生误差。雾、雾霾、磁电等客观情况时刻在变化，使测量结果产生误差。例如：例如：1 1、温度变化使钢尺产生伸缩；、温度变化使钢尺产生伸缩；2 2、风吹和日光照射使仪器的安置不稳定；、风吹和日光照射使仪器的安置不稳定；3 3、大气折光使望远镜的瞄准产生偏差等；、大气折光使望远镜的瞄准产生偏差等；4 4、烟、雾、霾导致无法精确照

4、准；、烟、雾、霾导致无法精确照准；5 5、磁、电导致电磁波测距误差。、磁、电导致电磁波测距误差。3.1 3.1 测量误差概述测量误差概述三、测量误差的分类与处理原则三、测量误差的分类与处理原则 1.1.系统误差系统误差（Systematic Error）在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。系统误差具有累积性，因而对系统误差具有累积性，因而对成果质量的影响也特别显著。成果质量的影响也特别

5、显著。但可消除或但可消除或削弱其影响：削弱其影响：计算改正数计算改正数采用一定的观测方法采用一定的观测方法3.1 3.1 测量误差概述测量误差概述2.2.偶然误差偶然误差（Accident Error&Random Error）在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果误差在大小、符在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果误差在大小、符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，其大小和符号没有规律性，但就大号上都表现出偶然性，即从单个误差看，其大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶

6、然误差。如如读数误差、照准误差等。读数误差、照准误差等。偶然误差是不可避免的，且具有统计规律性，可应用偶然误差是不可避免的，且具有统计规律性，可应用数理统计数理统计的方法加以的方法加以处理，即通过对偶然误差的处理，计算出观测量的最佳估值。处理，即通过对偶然误差的处理，计算出观测量的最佳估值。3.1 3.1 测量误差概述测量误差概述3.3.粗差粗差（Blunder,&Gross Error）观测数据中存在的错误，称为粗差。是由于作业人员的粗心大意或各种观测数据中存在的错误，称为粗差。是由于作业人员的粗心大意或各种因素的干扰造成的，因素的干扰造成的，如瞄错目标、读错大数，光电测距、如瞄错目标、读错

7、大数，光电测距、GPSGPS测量中对载波信测量中对载波信号的干扰等。号的干扰等。4.4.误差处理原则误差处理原则 系统误差：系统误差：消除或减弱；消除或减弱；粗差：粗差：探测并剔除；探测并剔除；偶然误差：偶然误差：适当处理，求以得被观测量的最可靠值。适当处理，求以得被观测量的最可靠值。3.1 3.1 测量误差概述测量误差概述四、偶然误差的特性四、偶然误差的特性 设某一量的真值为设某一量的真值为X，在相同的观测条件下对此量进行，在相同的观测条件下对此量进行n n次观测，得到的次观测，得到的观测值为观测值为l1 1，l2 2，ln ，在每次观测中产生的误差（又称，在每次观测中产生的误差（又称“真误

8、差真误差”）为为1 1，2 2，n，则定义，则定义 (1,2,)iiXlin单个偶然误差：单个偶然误差：其符号和数值没有任何规律性。其符号和数值没有任何规律性。大量偶然误差：大量偶然误差：就能发现隐藏在偶然性下面的必然规律。进行统计的数量越就能发现隐藏在偶然性下面的必然规律。进行统计的数量越大，规律性也越明显。大，规律性也越明显。3.1 3.1 测量误差概述测量误差概述实例实例 在某一测区，在相同的观测条件下共观测了在某一测区，在相同的观测条件下共观测了358358个三角形的全部内个三角形的全部内角，观测值为角，观测值为 将它们分为负误差和正误差，按误差绝对值由小到大排列次序。将它们分为负误差

9、和正误差，按误差绝对值由小到大排列次序。以误差区间以误差区间d=3=3进行误差个数进行误差个数k的统计，并计算其相对个数的统计，并计算其相对个数kn（n358358），），kn称为误差出现的频率。称为误差出现的频率。3.1 3.1 测量误差概述测量误差概述358)1()(180icbaiiii误差区间误差区间（d）负误差负误差正误差正误差误差绝对值误差绝对值KK/nKK/nKK/n03450.126460.128910.25436400.112410.115810.22669330.092330.092660.184912230.064210.059440.1231215170.047160.

10、045330.0921518130.036130.036260.073182160.01750.014110.031212440.01120.00660.01724以上以上000000181050517704953581.000 由此，可以归纳出偶然误差的特性如下：由此，可以归纳出偶然误差的特性如下：l 界限性：界限性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值 。l 聚中性：聚中性：绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小。小。l 对称性：对称性：绝对值

11、相等的正、负误差具有大致相等的出现频率绝对值相等的正、负误差具有大致相等的出现频率 。l 抵偿性：抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零，即：当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零，即：12lim0limnnnnn 3.1 3.1 测量误差概述测量误差概述由上图可以看出：偶然误差的出现符合正态分布，其分布曲线的方程式为：由上图可以看出：偶然误差的出现符合正态分布，其分布曲线的方程式为：+3 +6 +9 +12 +15 +18 +21 +24X=-24 -21 -18 -15 -12 -9 -6 -3dnk02221()(1)2fe 式中，参数式中，参数为观测误差

12、的标准差。为观测误差的标准差。从中可以看出正态分布具有偶然误差的特性。即从中可以看出正态分布具有偶然误差的特性。即l f()是偶函数，即绝对值相等的正、负误差求得的是偶函数，即绝对值相等的正、负误差求得的f()相等，故曲线对相等，故曲线对称于纵轴。称于纵轴。l 越小，越小，f()越大；越大，越大；越大，f()越小。越小。l 当当=0=0时，时，f()最大，其值为最大，其值为l 当当12，0)(f2222221 (2)limlimnnnnn 3.1 3.1 测量误差概述测量误差概述次序次序第一组观测第一组观测第二组观测第二组观测 观测值观测值 ()真误差真误差 观测值观测值()真误差真误差 18

13、0 00 03180 00 03-3-3180 00 00180 00 000 0180 00 02180 00 02-2-2179 59 59179 59 59+1+1179 59 58179 59 58+2+2180 00 07180 00 07-7-7179 59 56179 59 56+4+4180 00 02180 00 02-2-2180 00 01180 00 01-1-1180 00 01180 00 01-1-1180 00 00180 00 000 0179 59 59179 59 59+1+1180 00 04180 00 04-4-4179 59 52179 59 52

14、+8+8179 59 57179 59 57+3+3180 00 00180 00 000 0179 59 58179 59 58+2+2179 59 57179 59 57+3+3180 00 03180 00 03-3-3180 00 01180 00 01-1-1一、精度（一、精度（Precision）测量值与其真值的接近程度测量值与其真值的接近程度l 准确度（准确度（Accuracy）：）：表示测量结果与其真值接近程度的量。反映系统表示测量结果与其真值接近程度的量。反映系统误差的大小。误差的大小。l 精密度（精密度（Precision）：）：表示测量结果的离散程度。反映偶然误差的大小表

15、示测量结果的离散程度。反映偶然误差的大小量。量。3.2 3.2 衡量精度的标准衡量精度的标准 二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标 1.1.中误差（中误差（root mean square error）根据偶然误差概率分布规律，以标准差根据偶然误差概率分布规律，以标准差为标准衡量在一定观测条为标准衡量在一定观测条件下观测结果的精度是比较合适的。件下观测结果的精度是比较合适的。在测量中定义：按有限次观测的偶然误差求得的标准差为中误差，在测量中定义：按有限次观测的偶然误差求得的标准差为中误差，用用m表示，即表示，即22212nmnn 3.2 3.2 衡量精度的标准衡量精度的标准 次序次序第一组观测

16、第一组观测第二组观测第二组观测 观测值观测值真误差真误差观测值观测值真误差真误差18018000030003-3-39 9180180000000000 00 018018000020002-2-24 417917959595959+1+11 117917959585958+2+24 418018000070007-7-7494917917959565956+4+4161618018000020002-2-24 418018000010001-1-11 118018000010001-1-11 1180180000000000 00 017917959595959+1+11 118018000

17、040004-4-4161617917959525952+8+8646417917959575957+3+39 9180180000000000 00 017917959585958+2+24 417917959575957+3+39 918018000030003-3-39 918018000010001-1-11 1|242472722424130130中误差中误差 7.21021 m6.31022 m3.2 3.2 衡量精度的标准衡量精度的标准 -2 -1+1 +2XY1()f2()f不同中误差的正态分布曲线不同中误差的正态分布曲线2.2.相对误差（相对误差（relative error

18、）观测值的中误差与观测值之比观测值的中误差与观测值之比 ，一般用分子为，一般用分子为1 1的分式表示。的分式表示。前者的相对中误差为前者的相对中误差为0.020.02200 200 1 11000010000，而后者则为，而后者则为0.020.024040l l20002000，显然，显然前者的量距精度高于后者。前者的量距精度高于后者。例如：用钢卷尺丈量例如：用钢卷尺丈量200m200m和和40m40m两段距离，量距的中误差都是两段距离，量距的中误差都是2cm,2cm,可见其可见其精度相同。精度相同。3.2 3.2 衡量精度的标准衡量精度的标准 3.3.极限误差（极限误差（limit erro

19、r）根据正态分布曲线，可以表示出偶然误差出现在微小区间根据正态分布曲线，可以表示出偶然误差出现在微小区间d中的概率：中的概率：根据上式的积分，可得到偶然误差在任意大小区间中出现的概率。设以根据上式的积分，可得到偶然误差在任意大小区间中出现的概率。设以k倍中误差作为区间，则在此区间中误差出现的概率为：倍中误差作为区间，则在此区间中误差出现的概率为：2221()()2mpfddme 2221()2kmmkmPkmdme 3.2 3.2 衡量精度的标准衡量精度的标准 分别以分别以k1 1，2 2，3 3代入上式，可得到偶然误差的绝对值不大于中误差、代入上式，可得到偶然误差的绝对值不大于中误差、2 2

20、倍中误差和倍中误差和3 3倍中误差的概率：倍中误差的概率：由此可见，偶然误差的绝对值大于由此可见，偶然误差的绝对值大于2 2倍中误差的约占误差总数的倍中误差的约占误差总数的5%5%，而大，而大于于3 3倍中误差的仅占误差总数的倍中误差的仅占误差总数的0.3%0.3%。一般进行的测量次数有限，。一般进行的测量次数有限，2 2倍中误差应倍中误差应该很少遇到，因此，以该很少遇到，因此，以2 2倍中误差作为允许的误差极限，称为允许误差，简称倍中误差作为允许的误差极限，称为允许误差，简称“限差限差”，即，即 允允2m 2m 现行现行测量规范测量规范中通常取中通常取2 2倍中误差作为限差。倍中误差作为限差

21、。0000007.99997.0)3(4.95954.0)2(3.68683.0)(mPmPmP一、误差传播定律一、误差传播定律 观测值的误差对观测值函数的影响。用观测值的中误差去表征待求量观测值的误差对观测值函数的影响。用观测值的中误差去表征待求量中误差的数学模型，则为中误差传播定律。中误差的数学模型，则为中误差传播定律。二、线性函数的中误差传播定律二、线性函数的中误差传播定律 设设X Xi i（i i=1,2,1,2,n n）是一组独立观测量，而）是一组独立观测量，而Y Y是是X Xi i的函数，即：的函数，即：(1)22110nnXaXaXaaY 3.3 3.3 误差传播定律误差传播定律

22、 式中，系数式中，系数a ai i 已知，且假定无误差。设已知，且假定无误差。设 x xijij 是第是第i i 个观测量的第个观测量的第j j 次观次观测值，则按上式求出待定量的计算值测值，则按上式求出待定量的计算值 y yj j 为：为：将（将（1 1）式减去（）式减去（2 2）式得：）式得：1 12 20 (2)jjjn njyaa xa xa x3.3 3.3 误差传播定律误差传播定律。式中，YyyXxaaayjjijijnjnjjj ,22113.3 3.3 误差传播定律误差传播定律 当对当对XiXi各观测各观测k k次时，上式将共有次时，上式将共有k k个，分别将各式个，分别将各式

23、两边平方两边平方，并对，并对k k个式个式求求其和其和，再，再除以观测次数除以观测次数k k，考虑到偶然误差的，考虑到偶然误差的抵偿性抵偿性，可得：，可得：顾及顾及中误差的定义公式中误差的定义公式，并设，并设XiXi的中误差为的中误差为mimi，则可得：，则可得：1 12222212nnny ykkkkaaa 2222221122nnYma ma ma m 三、非线性函数的中误差传播定律三、非线性函数的中误差传播定律 设有非线性函数设有非线性函数Y Y=f f（X X1 1，X X2 2，X Xn n），），X Xi i（i=i=1,2,1,2,n n）为）为独立观独立观测量测量，并设，并设X

24、 Xi i的中误差为的中误差为m mi i，为此，可先将非线性函数线性化，然后再按线，为此，可先将非线性函数线性化，然后再按线性函数处理。性函数处理。1122ynnfffXXX 2222212212YnnfffXXXmmmm 3.3 3.3 误差传播定律误差传播定律四、误差传播定律的应用四、误差传播定律的应用 1.1.步骤步骤列出正确的函数模型列出正确的函数模型注意：注意：模型符合测量事实；观测量各自独立模型符合测量事实；观测量各自独立非线性函数线性化非线性函数线性化运用误差传播定律运用误差传播定律 3.3 3.3 误差传播定律误差传播定律2.2.应用举例应用举例例例1：用尺长为：用尺长为l的

25、钢尺丈量距离的钢尺丈量距离S，共丈量，共丈量4个尺段，设丈量一个尺段个尺段，设丈量一个尺段的中误差为的中误差为m，试求，试求S的中误差。的中误差。解解一一：应用误差传播定律得：应用误差传播定律得：llllS22222Smmmmmm 3.3 3.3 误差传播定律误差传播定律 解解二二：应用误差传播定律得：应用误差传播定律得：由两种解算方法的结果可以看出：由两种解算方法的结果可以看出：距离距离S S的中误差不相等的中误差不相等，显然，解二，显然，解二的数学模型是错误的。的数学模型是错误的。4Slllll2244Smmm 3.3 3.3 误差传播定律误差传播定律例例2 2：设有函数：设有函数 。若。

26、若 X X、Y Y为独立观测为独立观测量，其观测值中误差为量，其观测值中误差为m mx x、m my y ，试求，试求U U的中误差。的中误差。解一解一：由线性中误差传播定律，显然有：由线性中误差传播定律，显然有：则有：则有：YXZZYXU3,而22102xyUmmm 3.3 3.3 误差传播定律误差传播定律2222222)3(yxzzyxUmmmmmmm，而解解二二：由于由于 应用线性函数中误差传播定律，得：应用线性函数中误差传播定律，得：即：即：显然，这两种解法中至少有一种解法是显然，这两种解法中至少有一种解法是错误错误的。解法一中由于未考虑的。解法一中由于未考虑观测量的观测量的独立性独立

27、性，显然是错误的。，显然是错误的。222(4)(2)Uyxmmm22164Uxymmm YXZYXU243.3 3.3 误差传播定律误差传播定律例例3 3：设有函数：设有函数 若观测值若观测值d d=180.23m=180.23m，中误差，中误差m md d=5cm5cm；=61=6122102210，其中误差为，其中误差为m m=2020，试求，试求y y的中误差。的中误差。解：解：故有：故有：sin dy22222()()()2222(s i n)(c o s)()0.0 0 2myymmyddmmddmmy5.43.3 3.3 误差传播定律误差传播定律思考题思考题例例4 4（1 1）设自

28、已知点）设自已知点A A向待定点向待定点B B进行水准测量，共观测进行水准测量，共观测n n站。设每站的观测站。设每站的观测精度相同，其中误差为精度相同，其中误差为m m站站，试求，试求A A、B B两点间高差的中误差。两点间高差的中误差。（2 2）设自已知点）设自已知点A A向待定点向待定点B B进行水准测量，观测路线长度为进行水准测量，观测路线长度为S S米。设每米。设每千米观测高差的中误差为千米观测高差的中误差为m mkmkm，试求，试求A A、B B两点间高差的中误差。两点间高差的中误差。例例5 5（1 1）水平角观测限差的制定）水平角观测限差的制定 水平角观测的精度与其误差的综合影响

29、有关，对于水平角观测的精度与其误差的综合影响有关，对于J J6 6光学经纬仪来说，光学经纬仪来说，设计时考虑了有关误差的影响，保证室外设计时考虑了有关误差的影响，保证室外一测回的方向中误差为一测回的方向中误差为66。实。实际上，顾及到仪器使用期间轴系的磨损及其它不利因素的影响，设计精度一际上，顾及到仪器使用期间轴系的磨损及其它不利因素的影响，设计精度一般小于般小于66，新出厂的仪器，其野外一测回的方向中误差小于，新出厂的仪器，其野外一测回的方向中误差小于66，在精，在精度上有所富裕。度上有所富裕。对于水平角观测的精度，通常以某级经纬仪的标称精度作为基础，应对于水平角观测的精度，通常以某级经纬仪

30、的标称精度作为基础，应用误差传播定律进行分析，求得必要的数据，再结合由大量实测资料经统用误差传播定律进行分析，求得必要的数据，再结合由大量实测资料经统计分析求得的数据，考虑系统误差的影响来确定。下面仅以标称精度为基计分析求得的数据，考虑系统误差的影响来确定。下面仅以标称精度为基础进行分析。础进行分析。3.3 3.3 误差传播定律误差传播定律设设J J6 6经纬仪室外经纬仪室外一测回的方向中误差一测回的方向中误差为：为：（1 1）一测回角值的中误差）一测回角值的中误差（2 2）半测回方向值的中误差）半测回方向值的中误差（3 3）归零差的限差）归零差的限差（4 4）同一方向值各测回较差的限差）同一

31、方向值各测回较差的限差 3.3 3.3 误差传播定律误差传播定律秒方61m5.826211 方角mm5.82621 方半方mm212262 半方归零mm5.826211 方方mmd（2 2）设等精度观测）设等精度观测n n个三角形的三个内角，试求测角中误差个三角形的三个内角，试求测角中误差 。180()1,2,iiiiabcin设测角中误差为设测角中误差为m m，则根据误差传播定律得：，则根据误差传播定律得：222223mmmmm根据中误差定义公式可知根据中误差定义公式可知：22222123nmnn 上述两式联立求解：上述两式联立求解：23 3mmnn 3.3 3.3 误差传播定律误差传播定律

32、一、等精度观测与非等精度观测一、等精度观测与非等精度观测 等精度观测等精度观测 在相同的观测条件下所进行的观测。由等精度观测而获得的观测在相同的观测条件下所进行的观测。由等精度观测而获得的观测值称为等精度观测值。值称为等精度观测值。非等精度观测非等精度观测 在不同的观测条件下所进行的观测。由非等精度观测而获得的观在不同的观测条件下所进行的观测。由非等精度观测而获得的观测值称为非等精度观测值。测值称为非等精度观测值。3.4 3.4 等精度观测值平差等精度观测值平差二、测量平差二、测量平差 由于观测结果不可避免地存在偶然误差的影响，因此，在实际工作中，由于观测结果不可避免地存在偶然误差的影响，因此

33、，在实际工作中，为提高为提高精度精度，同时也为了检查和及时发现观测值中的，同时也为了检查和及时发现观测值中的粗差粗差，通常进行，通常进行多余观多余观测测。（例如：一个平面三角形，只要观测其中的两个内角，即可确定其形状。（例如：一个平面三角形，只要观测其中的两个内角，即可确定其形状，但通常是观测三个内角）。，但通常是观测三个内角）。3.4 3.4 等精度观测值平差等精度观测值平差 由于偶然误差的存在，通过多余观测必然会发现由于偶然误差的存在，通过多余观测必然会发现观测结果不一致观测结果不一致。因此，。因此，必须对带有偶然误差的观测值进行处理，使得消除不符值后的结果，可认为必须对带有偶然误差的观测

34、值进行处理，使得消除不符值后的结果，可认为是观测值的最可靠结果。由此可知，测量平差的任务是：是观测值的最可靠结果。由此可知，测量平差的任务是：测量平差方法测量平差方法严密平差：所依据的准则是建立在严密的理论基础之上。如：间接平差法严密平差：所依据的准则是建立在严密的理论基础之上。如：间接平差法等（见等（见测量平差基础测量平差基础）近似平差：所依据的准则是建立在近似的理论基础之上，亦称简易平差。近似平差：所依据的准则是建立在近似的理论基础之上，亦称简易平差。根据某一待求量的一系列观测值，求出其根据某一待求量的一系列观测值，求出其最佳估值（或最或是值）称最佳估值（或最或是值）称为为直接观测平差，分

35、为直接观测平差，分为等精度直接观测平差等精度直接观测平差和和不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差。3.4 3.4 等精度观测值平差等精度观测值平差（1 1）对一系列带有观测误差的观测值，运用概率统计的方法来消除它们之）对一系列带有观测误差的观测值，运用概率统计的方法来消除它们之间的不符值，求出未知量的最可靠值。间的不符值，求出未知量的最可靠值。（2 2）评定测量成果的精度）评定测量成果的精度三、等精度直接观测值平差三、等精度直接观测值平差1.1.算术平均值原理算术平均值原理 在在相同的观测条件相同的观测条件下，对某个未知量进行下，对某个未知量进行n n次观测，其观测值分别为次观测，其观测值

36、分别为l l1 1，l l2 2,，l ln n，将这些观测值取算术平均值，作为该量的最或是值，即：将这些观测值取算术平均值，作为该量的最或是值，即：12 nllllxnn3.4 3.4 等精度观测值平差等精度观测值平差3.4 3.4 等精度观测值平差等精度观测值平差现用偶然误差的特性来证明现用偶然误差的特性来证明:设某一量的真值为设某一量的真值为X X，各次观测值为，各次观测值为l l1 1，l l2,2,，lnln ，其相应的真误差为，其相应的真误差为11，22，n n，则，则 将上列等式相加，并除以将上列等式相加，并除以n n，得到，得到 等式两端取极限，则等式两端取极限，则1122nn

37、XlXlXl lXnn limlimnnlXnn 3.4 3.4 等精度观测值平差等精度观测值平差 由偶然误差的抵偿性，有由偶然误差的抵偿性，有 故可得：故可得：2.2.观测值的改正数及其性质观测值的改正数及其性质 观测值的最或是值与观测值之差，即：观测值的最或是值与观测值之差，即：将上列等式相加，得将上列等式相加，得 即：一组观测值的改正值之和恒等于零。这一特性可以作为计算中的校核。即：一组观测值的改正值之和恒等于零。这一特性可以作为计算中的校核。lim0nn limnxX,(1,2,)iivxlin 0lxnv3.3.等精度观测值的中误差等精度观测值的中误差u 根据真误差计算等精度观测值中

38、误差根据真误差计算等精度观测值中误差 由于真值的不可知，导致真误差的不可知。但是，有时可将理论值视为由于真值的不可知，导致真误差的不可知。但是，有时可将理论值视为真值，例如：三角形内角和为真值，例如：三角形内角和为180180等。等。例例4 4：设等精度观测：设等精度观测n n个三角形的三个内角，试根据三角形闭合差计算测角个三角形的三个内角，试根据三角形闭合差计算测角中误差。中误差。解：三角形闭合差：解：三角形闭合差：根据中误差的定义公式得三角形闭合差的中误差为：根据中误差的定义公式得三角形闭合差的中误差为：mn 180,(1,2,)iiiiabcinmn 3.4 3.4 等精度观测值平差等精

39、度观测值平差3.4 3.4 等精度观测值平差等精度观测值平差而根据中误差传播定律，可得三角形闭合差的中误差为：而根据中误差传播定律，可得三角形闭合差的中误差为：其中，其中，m m为测角中误差。将此式代入上式得：为测角中误差。将此式代入上式得：此式即著名的此式即著名的菲列罗公式菲列罗公式，通常用于计算三角测量的测角中误差。但当三，通常用于计算三角测量的测角中误差。但当三角形的个数大于角形的个数大于2020时，由此公式算出的测角中误差才比较可靠。时，由此公式算出的测角中误差才比较可靠。3mm3mn 3.4 3.4 等精度观测值平差等精度观测值平差 根据观测值的改正数计算其中误差根据观测值的改正数计

40、算其中误差 设某量的设某量的n n个等精度观测值为个等精度观测值为l l1 1，l l2,2,，lnln ，其真误差和改正数为：，其真误差和改正数为：于是有：于是有：将上列将上列n n个等式两边分别个等式两边分别平方平方，并，并求其和求其和，再，再除以除以n n，则有：，则有：上式中，上式中，考虑到中误差的定义公式，可得：考虑到中误差的定义公式，可得：,iiiilXvxl()iivxX 22()()vvxXvxXnnn22 0,()vxXn1vvmn 3.4 3.4 等精度观测值平差等精度观测值平差4.4.算术平均值的中误差算术平均值的中误差 设观测值的中误差为设观测值的中误差为m m，算术平

41、均值的中误差为，算术平均值的中误差为M M，则应用误差传播定律，则应用误差传播定律于算术平均值的计算公式，则有：于算术平均值的计算公式，则有：故算术平均值的中误差为：故算术平均值的中误差为：22222222111()()()Mmmmnmnnn mMn例题例题 对某一距离，在相同的条件下进行对某一距离，在相同的条件下进行6 6次观测，其观测值为：次观测，其观测值为：120.031m 120.025m 120.031m 119.983m 120.047m 120.040m120.031m 120.025m 120.031m 119.983m 120.047m 120.040m试求其最可靠值，并评定

42、测量成果的精度。试求其最可靠值，并评定测量成果的精度。解算见下表解算见下表:3.4 3.4 等精度观测值平差等精度观测值平差3.4 3.4 等精度观测值平差等精度观测值平差次序次序观测值观测值l（M M）l（cmcm）改正值改正值v v(cm)(cm)vvvv(mm)(mm)计算计算x,mx,m1 1120.031120.031+3.1+3.1-1.4-1.41.961.962 2120.025120.025+2.5+2.5-0.8-0.80.640.643 3119.983119.983-1.7-1.7+3.4+3.411.5611.564 4120.047120.047+4.7+4.7-3

43、.0-3.09.009.005 5120.040120.040+4.0+4.0-2.3-2.35.295.296 6119.976119.976-2.4-2.4+4.1+4.116.8116.81(l0 0=120.000)=120.000)10.210.20.00.045.2645.26mnllx017.1200cmnvvm0.311.2xmmcmn 思考题思考题:今有四个观测小组对同一个水平角进行观测，第一组观测今有四个观测小组对同一个水平角进行观测，第一组观测2 2个个测回，水平角值为测回，水平角值为l l1 1，第二小组观测，第二小组观测4 4个测回，水平角值为个测回，水平角值为l l

44、2 2 ，第，第三小组观测三小组观测6 6个测回，水平角值为个测回，水平角值为l l3 3 ，第四小组观测，第四小组观测8 8个测回，水个测回，水平角值为平角值为l l4 4，试计算其最可靠值，并评定测量成果精度。，试计算其最可靠值，并评定测量成果精度。3.4 3.4 等精度观测值平差等精度观测值平差一、权的概念一、权的概念1.1.权（权（weight）衡量观测值（或估值）及其函数的相对可靠程度的一种指标。通常用衡量观测值（或估值）及其函数的相对可靠程度的一种指标。通常用P P表示。表示。权的定义公式为：权的定义公式为：上式表明：在一组观测值中，某观测值的权与其中误差的平方成反比，上式表明：在

45、一组观测值中，某观测值的权与其中误差的平方成反比，而而2 2为比例系数，为比例系数，可任意选取，但对于同一个观测问题，应在数据处理前可任意选取，但对于同一个观测问题，应在数据处理前确定，并在计算过程中保持不变。确定，并在计算过程中保持不变。22iiPm3.5 3.5 权及权倒数传播律权及权倒数传播律2.2.单位权（单位权（unit weight）数值等于数值等于1 1的权。此时，有的权。此时，有 ，当二者单位相同时，称，当二者单位相同时，称为为单位权中误差单位权中误差。此时的观测值为单位权观测值。此时的观测值为单位权观测值。3.3.权的特性权的特性 权只能反映观测值之间的权只能反映观测值之间的

46、相对精度相对精度，在反映观测值精度时，起作用的，在反映观测值精度时，起作用的不是权本身的大小，而是权之间的比例关系。不是权本身的大小，而是权之间的比例关系。权既可反映同一类量的若干个观测值之间的精度高低，也可反映权既可反映同一类量的若干个观测值之间的精度高低，也可反映不同不同类量类量的观测值之间的精度高低。的观测值之间的精度高低。im3.5 3.5 权及权倒数传播律权及权倒数传播律4.4.权的确定权的确定u根据权的定义公式确定权根据权的定义公式确定权 例例1 1：已知一组角量观测值：已知一组角量观测值X X1 1、X X2 2、X X3 3的中误差的中误差m m1 1=22；m m2 2=44

47、；m m3 3=88，试求各观测值之权。，试求各观测值之权。解一：解一：设设 则有则有12,m 3.5 3.5 权及权倒数传播律权及权倒数传播律222222123222222123(2)(2)1(2)11;416(2)(4)(8)PPPmmm3.5 3.5 权及权倒数传播律权及权倒数传播律解二：设 则有：由上例可以看出，系数由上例可以看出，系数改变，各观测值的权亦改变，但观测值之间改变，各观测值的权亦改变，但观测值之间的权之比并未改变。的权之比并未改变。1,222222123222222123(1)1(1)1(1)1;41664(2)(4)(8)PPPmmmu距离测量中根据边长确定权距离测量中

48、根据边长确定权 例例2 2：按同等精度丈量三条边长，得：按同等精度丈量三条边长，得S S1 1，S S2 2，S S3 3，相应的长度为，相应的长度为3km3km，4km4km，6km6km。试确定三条边边长观测值的权。试确定三条边边长观测值的权。解：由于按同精度丈量，所以每千米的丈量中误差相同。设每千米丈解：由于按同精度丈量，所以每千米的丈量中误差相同。设每千米丈量中误差为量中误差为m mkmkm，则边长，则边长S Si i的中误差为：的中误差为：将其代入权的定义公式得：将其代入权的定义公式得：iiSkmmSm22()iikmPS m3.5 3.5 权及权倒数传播律权及权倒数传播律3.5 3

49、.5 权及权倒数传播律权及权倒数传播律量的定权公式为：，可得到等精度距离丈令2)(kmmCiiCPS 本例中，取本例中，取C C为为12km12km，则得，则得S S1 1，S S2 2，S S3 3的权分别为的权分别为4 4，3 3，2 2。此时。此时S S为为12km12km时的权为时的权为1 1。也就意味着，。也就意味着，以以12km12km的观测为单位权观测，相应的权为单的观测为单位权观测，相应的权为单位权，相应的中误差为单位权中误差位权，相应的中误差为单位权中误差。由此还可以看出，上式中。由此还可以看出，上式中C C的含义就的含义就是单位权观测是单位权观测。u水准测量中根据水准路线长

50、度或测站数定权水准测量中根据水准路线长度或测站数定权例例3 3：设一个水准网由四条同一等级的水准路线所构成。设四条水准路线的：设一个水准网由四条同一等级的水准路线所构成。设四条水准路线的路线长度为路线长度为S S1 1=4km=4km，S S2 2=2km=2km，S S3 3=1km=1km，S S4 4=3km=3km，相应的测站数为，相应的测站数为n n1 1=50=50，n n2 2=25=25，n n3 3=10=10，n n4 4=40=40。试分别按路线长度和测站数来确定。试分别按路线长度和测站数来确定这四条水准路线观测高差的权。这四条水准路线观测高差的权。解：由于这四条水准路线