第3章-复变函数的积分1课件.ppt

1、l一般说来,复变函数的积分值不仅依赖于积分的起点和终点,而且与积分路径有关,下面我们讨论复变函数的积分与路径的关系:2.1单通区域情况单通区域柯西定理 如果函数f(z)在单连域内处处解析，那么函数沿内的任何一条简单闭曲线的积分值为零。即:lzf0)(2 柯西-古萨定理llldyyxudxyxvidyyxvdxyxuzf),(),(),(),()(证明：公式和虚部分别应用部上连续，对上式右面实在，上解析，因此在由于GreenByvxvyuxuBzf,)(dxdyyPxQdyyxQdxyxPls)(),(),(ssldxdyyvxuidxdyyuxvzf)()()(，得：将回路积分化成面积分通区域

2、的柯西定理均为零，从而证明了单因而上面的两个面积分黎曼条件上满足柯西在和虚部上解析，其实部在由于xvyuyvxuBvuBzf)(单通区域柯西定理推论l推论一:如果函数 在单连域内处处解析，那末积分 与连结从起点到终点的路线 无关.zf dzzfcCl推论二:设 为单通区域 的边界线,在区域 内解析,在 上连续,则:lB)(zfBlBB0)(lzf3.基本定理的推广-复合闭路定理3.1复通区域情况l奇点定义:在所研究的区域上f(z)并非处处解析,而在某些点或某些子域上不可导(甚至没有定义),我们把这样的点称为奇点.l 我们把简单闭曲线的两个方向规定为正向和负向.所谓简单闭曲线的正向是指当顺此方向

3、沿该曲线前进时，曲线的内部始终位于曲线的左方，相反的方向规定为简单闭曲线的负向.以后遇到积分路线为简单闭曲线的情形，如无特别声明，总是指曲线的正向.复通区域柯西定理境界线的正方向进行。分均沿为区域内的境界线，积为区域外境界限，诸式中值解析函数，则：是闭合复通区域上的单如果inilllldzzfdzzfzfi0)()()(1区域的复通区域变成了单通，原来做割线连接内外境界线界的复通区域，证明：如图考虑以为境成立即复通区域的柯西定理于是有：缘的积分值互相抵消，其中沿同一割线两个边有：按照单通区域柯西定理0)()()(0)()()()()()()(2121dzzfdzzfdzzfdzzfdzzfdz

4、zfdzzfdzzfdzzfdzzfllllCDCDABlABldzzfdzzfdzzfdzzfdzzfdzzfllllll)()(2121)()()()()()(逆时针逆时针移到方程右边：将上式中内境界的积分柯西定理总结:l闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为零l闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向积分和为零l闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向积分等于所有内境界线逆时针方向积分之和例 1 计算 l解：zdzii2sinzdzii2siniiiizzdzzii2sin212sin212122cos1例 2 计算 l解：1010cos01coscoszdzzzzdzzdzz10sinzdzz10sin1cos1sin01sincoszzz例3 计算 l解：dzeiiz32.021321262iizeeiie)2(213232zdedzeiiziiz例4 计算 l 解：izzdzeiez001dzezzi01izizdezdzez00)1()1(1cos1sin)1sin()1cos()1(0iiiieeeziizz精品课件精品课件！精品课件精品课件！例5：idzzzzzz11)1ln(10)Re(,0)Im(计算圆弧，内，在区域2ln)1(ln21)1(ln211)1ln(22121izdzzzii解：i82ln2ln833222