第22讲微带线理论课件.ppt

1、14 14 微带线理论微带线理论一、Green函数的基本概念 1.1.函数函数 函数是广义函数函数是广义函数(24-1)(24-1)0 0()=0 xxx()()x dx 1 归一性()()()()x f x dxf0 选择性(24-3)(24-3)(24-2)(24-2)一 介质格林函数法()Dielectric Greens Function Method 函数有各种物理解释，其中之一是函数有各种物理解释，其中之一是“概率论概率论”中必然事件的概率密度。中必然事件的概率密度。2.Green函数函数 Green函数解决一类普遍问题，不仅是电磁场，函数解决一类普遍问题，不仅是电磁场，而且在力学

2、、流体、空气动力诸方面都有应用，其而且在力学、流体、空气动力诸方面都有应用，其问题提法是：复杂区域问题提法是：复杂区域V，在内部有任意源在内部有任意源g，已知已知场场u服从服从 gu L(24-4)(24-4)一、Green函数的基本概念 Ox x()图图 24-2 (24-2 (x)x)函数函数 一、Green函数的基本概念 uvVG(/)r r(/)r rg图图 24-3 24-3 GreenGreen函数法函数法一、Green函数的基本概念 gu L)/()/(rrrrGL(a)(a)算子方程问题算子方程问题 (b)Greenb)Green函数问题函数问题 对于对于 (r/rr/r)特殊

3、源所对应的是特殊源所对应的是GreenGreen函数，有函数，有 (24-5)(24-5)为了普遍化，我们把为了普遍化，我们把 函数的归一性积分写成函数的归一性积分写成 (24-6)(24-6)DiracDirac内积符号，表示积分或内积符号，表示积分或，注意，注意 对对 起作用。起作用。L L对对 起作用，可以建立恒等式起作用，可以建立恒等式 (/)(/)L G r rr r()(),(/)g rg rr rrr一、Green函数的基本概念 (24-7)(24-7)根据根据OperaterOperater的线性有的线性有 (24-8)(24-8)对比对比可以得到可以得到 (24-9)(24-

4、9),(/)()g(r)LG r rg r(),(/)()L g rG r rg r gu Lu rg rG rr()(),(/)一、Green函数的基本概念 归结出：只要求出某一类归结出：只要求出某一类(特定支配方程和边界特定支配方程和边界条件条件)问题的问题的GreenGreen函数，那么，这一类问题中任意源函数，那么，这一类问题中任意源 在点在点 造成的场造成的场 只需由只需由 和和 函数的函数的广义内积求得。广义内积求得。最简单的如三维静场最简单的如三维静场 (24-10)(24-10)若简洁写成若简洁写成g r()u r()g r()G rr(/)Er rrrrdvV()()|4E

5、rrG rr()(),(/)一、Green函数的基本概念 r可知对应的可知对应的GreenGreen函数是函数是 (24-11)(24-11)G rrrr(/)|14一、Green函数的基本概念 从更广义的物理方法论来理解：式从更广义的物理方法论来理解：式(24-5)(24-5)可以看成可以看成是是(24-4)(24-4)即原问题的伴随问题，若令即原问题的伴随问题，若令 且且L La a=L(=L(术语上称之为自伴术语上称之为自伴)，也即，也即(24-12)(24-12)uG rrgrraa(/),(/)aL(u)ggu L(24-4)(24-4)(/)(/)L G r rr r(24-(24

6、-5)5)按这一观点按这一观点u rg ua(),一、Green函数的基本概念 由于由于 函数的特殊性质，实际上式函数的特殊性质，实际上式(24-13)(24-13)可进可进一步写成一步写成(24-14)(24-14)而式而式(24-14)(24-14)正是互易定理的表达形式。正是互易定理的表达形式。ug,u,g(24-13)(24-13)uG rrgrraa(/),(/)u rg rG rr()(),(/)(24-(24-9)9)如果问题的区域是分层媒质，则可用镜象法求出如果问题的区域是分层媒质，则可用镜象法求出GreenGreen函数。函数。采用镜象法的基础是采用镜象法的基础是Maxwel

7、lMaxwell方程组的唯一性定理。方程组的唯一性定理。它可以叙述为：在给定区域符合微分方程和边界条件它可以叙述为：在给定区域符合微分方程和边界条件的解是唯一的。因此，也可以反过来说，只要符合方程和的解是唯一的。因此，也可以反过来说，只要符合方程和边界条件，则这个解必定正确。边界条件，则这个解必定正确。所谓镜像法，其第一要点是所谓镜像法，其第一要点是分区分区求解；第二要求解；第二要二、镜象法 点是在求解区域之外添加镜象电荷代替边界，使之符点是在求解区域之外添加镜象电荷代替边界，使之符合求解区域合求解区域之内之内的方程及边界条件。的方程及边界条件。例例1 1 半无限空间导体前的点电荷半无限空间导

8、体前的点电荷(也即也即 源源)。解解 先写出分区解和分区边界条件先写出分区解和分区边界条件 支配方程支配方程 (24-15)(24-15)2020qxdyz()()()/二、镜象法 oyRegion IRegion IIxFIIFIdq边界条件边界条件|xxxx000oyRegion IRegion IIxFIIFIdq图图 24-4 24-4 导体镜像法导体镜像法分区求解分区求解 二、镜象法 其中，其中，为导体面电荷。很明确：为导体面电荷。很明确：解是分区的。解是分区的。现在采用镜像法现在采用镜像法 根据图根据图24-524-5，很易看出：，很易看出：(24-17)(24-17)式式(24-

9、17)(24-17)满足支配方程满足支配方程(24-15)(24-15)是显然的。是显然的。qxdyzqxdyz44002220222()()二、镜象法 oyRegion IRegion IIxFIIFIdq下边考察其边界条件情况。下边考察其边界条件情况。(1)(1)当当x=0 x=01400222222qdyzqdyz二、镜象法(2)(2)再研究导数条件再研究导数条件xxxd qxdyzxd qxdyzqddyzxx002223 22223 2002223 2142()()()()()/oyxFIIIIddq-q 求解求解 时，在时，在RegionRegion加镜像电荷加镜像电荷(q)q)求

10、解求解 时，在时，在RegionRegion加镜像电荷加镜像电荷(q)q)图图 24-5 24-5 镜像电荷镜像电荷均加在求解区域之外均加在求解区域之外oyxFIIIII-q,q二、镜象法 对比边界条件式对比边界条件式(24-16)(24-16)，易知，易知 (24-18)(24-18)为了验证为了验证 的面电荷密度性质，验证下列积分，的面电荷密度性质，验证下列积分，采用采用yozyoz的极坐标，即的极坐标，即dydzdydz=rdrdrdrd (24-19)(24-19)qddyz22223 2()/dsqdrdrddrqdd rdrdqS 22223 200222223 20()()()/

11、二、镜象法 xq作为副产品易知，这种问题的作为副产品易知，这种问题的GreenGreen函数函数于是于是 (24-21)(24-21)上面整个过程即采用镜像法求取上面整个过程即采用镜像法求取GreenGreen函数。函数。20G rrrrrxiyjzkrdiyjzk(/)(/)/G rrxdyzrr(/)()()141402220二、镜象法 xqxq图图 24-6 24-6 yozyoz的极坐标的极坐标 二、镜象法 二维问题的介质二维问题的介质Green函数的一般模型如图函数的一般模型如图24-7。在右半空间。在右半空间d处放一无限长线电荷，密度为处放一无限长线电荷，密度为。三、二维介质Gre

12、en函数 oyRegion IRegion IIxoordl图图 24-7 24-7 介质镜像法介质镜像法 同样，分区域求解同样，分区域求解 支配方程支配方程 (24-22)边界条件边界条件 (24-23)2020(/)/rrxxr三、二维介质Green函数-dIIIoId 求解求解RegionRegion 在在假设假设 求解求解Region Region 在在假设假设总电荷为总电荷为 图图 24-8 24-8 介质分区域求解介质分区域求解，IIIoyxIIIIId三、二维介质Green函数 所有镜像均在求解区域外。所有镜像均在求解区域外。Note：在我们假设中，两空间均是在我们假设中，两空间

13、均是 0，当然也可以，当然也可以 是是 0 r。求解求解Region时，时，实际上包括真实电荷实际上包括真实电荷 和镜像和镜像 。这样模型满足支配方程是没有问题的，现写出这样模型满足支配方程是没有问题的，现写出 (24-24)121112102222022ln()ln()ln()xdyxdyxdy三、二维介质Green函数 也可以改写为也可以改写为 (24-25)式中式中 (24-26)22220220111lnln2()()1ln2()xdyxdyxdy 三、二维介质Green函数 现在，让我们考察解与边界条件的关系。现在，让我们考察解与边界条件的关系。于是由函数边界条件有于是由函数边界条件

14、有 (24-27)()|ln()xxdu00022211|lnxdu0022211三、二维介质Green函数 导数边界条件导数边界条件 xxrx0 xxdyxdxdyxdyxdxdyddyxxdyxdxdyxxxx 0022222222002200222202112121()()()()()()()()()()2022ddy三、二维介质Green函数 又得到又得到 (24-28)解方程得解方程得所以，结果有所以，结果有()1 r1121rrr,1121rrr三、二维介质Green函数 很明显看出：很明显看出：是负电荷，而是负电荷，而 是正电荷是正电荷(原因是原因是 r1)。一 介质格林函数法(

15、)Dielectric Greens Function Method 图图 25-1 25-1 三层介质镜像法三层介质镜像法微带问题微带问题介质介质GreenGreen函数问题函数问题(/)rr微带问题可以采用介质格林函数求解。微带问题可以采用介质格林函数求解。微带情况：可以看成是由空气、介质和导体三个区域。微带情况：可以看成是由空气、介质和导体三个区域。中心导体带电荷中心导体带电荷q q，这是由于加正压所致，所以只需这是由于加正压所致，所以只需加三层介质的加三层介质的GreenGreen函数即可。函数即可。eo oroyIIIIIIh1一、三层介质镜像法 其中其中(yy0)是为了不确定位置，

16、使求解是为了不确定位置，使求解Microstrip时时更加方便。更加方便。(1-1)(1-1)支配方程区域区域区域 20022100()()xhyy我们仍然采用分区域求解我们仍然采用分区域求解 eo oroyIIIIIIh1边界条件边界条件 x=h (25-2)x=h (25-2)(25-3)(25-3)xxrx 00 x00 两个边界，三种两个边界，三种modelmodel，反复迭代反复迭代一、三层介质镜像法 一、三层介质镜像法 处理处理x=hx=h边界边界第一次介质条件第一次介质条件 导体反对称条件导体反对称条件处理处理x=0 x=0边界边界 处理处理x=hx=h边界边界第二次介质条件第二

17、次介质条件 一、三层介质镜像法 1121rrrrrrr1121注意到在区域注意到在区域，不应有真实电荷，即应满足不应有真实电荷，即应满足LaplaceLaplace方程。方程。x=0 x=0是导体的奇对称对称轴，使是导体的奇对称对称轴，使 00；x=h x=h是介质对称轴。是介质对称轴。Case 1.Case 1.真实电荷真实电荷+1+1在在Region(Region(空气空气 0 0)中。中。根据前面的讨论：在求解根据前面的讨论：在求解RegionRegion和和RegionRegion时把时把两个区域都认为充满两个区域都认为充满 0 0，已解出，已解出:一、三层介质镜像法 Case 2.C

18、ase 2.“真实真实”电荷电荷+1+1在在RegionRegion，也认为全部充也认为全部充空气空气 0 0 一、三层介质镜像法 求解求解Region Region 求解求解RegionRegion图图 25-2 +1 25-2 +1处于处于RegionRegion首先要看出：首先要看出：x+(2i-1)hx+(2i-1)h和和x-(2i+1)hx-(2i+1)h对于对于x=hx=h对称，只要代入即可知对称，只要代入即可知2 2ihih，2ih2ih距离相等。全距离相等。全空间空间(Full space)Full space)充满充满 0 0可知可知 (25-4)(25-4)22002222

19、00011ln2(21)()111lnln2(21)()(21)()xihyyxihyyxihyy 一、三层介质镜像法 在边界在边界x=hx=h上，上，得到得到解出解出 也就是说：也就是说：(2(2i-1)hi-1)h点反映到点反映到(2(2i+1)hi+1)h应乘应乘 因子，而解因子，而解RegionRegion时应乘时应乘 因子。因子。1 xxrr ()1rrrr1121一、三层介质镜像法(25-5)(25-5)1.1.RegionRegion求解求解 注意真实电荷在注意真实电荷在RegionRegion，只能是只能是+1+1，同时它应，同时它应与区域与区域RegionRegion作边界拟

20、合。作边界拟合。一、三层介质镜像法 h+h-h-3h-5h-7h-+-+1+r1+r1+r1+r1+r1+r1+r1+r22222r2r2r2r+r1+r1+r1r-1r-1r-1()2)3yxRegi on I一、三层介质镜像法 图图 25-3 25-3 求解求解Region Region 图图 25-4 25-4 求解求解RegionRegion -1+r1+r1+r1+r1+r1+r1+r1+r22222222+r1+r1+r1+r1+r1+r1r-1r-1r-1r-1r-1r-1()2)2)3)3-yxo-h+3h5h7h122112110202202rrrxhyyxhyyln()()

21、ln()()202202)()5(1ln1211)()2(1ln1211yyhxyyhxrrrrrrrr一、三层介质镜像法 上式可简要写成上式可简要写成 (25-6)(25-6)为方便起见，对第一电荷不再区分为方便起见，对第一电荷不再区分h h和和h h。122112111112102022020rrrrrixhyyxihyyln()()()ln()()一、三层介质镜像法 2.2.RegionRegion求解求解 122111111213110202202202202rrrrrxhyyxhyyxhyyxhyyln()()ln()()ln()()ln()()ln()()ln()()1515202

22、202xhyyxhyy一、三层介质镜像法 也可简要写为也可简要写为 (25-7)(25-7)注意到注意到h h符合上述表述，它显然符合符合上述表述，它显然符合同时，反对称组合使同时，反对称组合使|x=0 x=000得以满足。得以满足。122111112112100202202rrriixihyyxihyy()ln()()ln()()20一、三层介质镜像法 3.3.x=hx=h处处=边界条件检验。边界条件检验。)()1(21ln)1(1112)(1ln1221|0202200iiirrrrrhxyyhi yy一、三层介质镜像法(25-8)(25-8)|()ln()()ln()()ln()x hr

23、rriiirrrrrihyyihyyyy 12211111212112211111110120220200 iiix hrrrriiiihyyyyihyy0202002120211211221121111121()ln()()|ln()()ln()()十分明显，十分明显，|x=hx=h=|x=hx=h。一、三层介质镜像法(25-9)(25-9)4.x=h 4.x=h处处 边界条件检验边界条件检验 xihihyyx hrrrrriiirrrrriii1221211112121122121111012020()()()()()12022121()()()ihihyy一、三层介质镜像法 xxr(25

24、-10)(25-10)20210202102022021020220210)()1(2)1(2)1(11121221)()1(2)1(2111)1(111221)()1(2)1(2)()2()2()1(111221)()1(2)12()()2()12()1(111221yyhihiyyhihiyyhihiyyihihyyhihixyyihhixxiiirrrrrriiirrriiirrrhxhxiiirrrhx显见显见xxx hrx h一、三层介质镜像法(25-11)(25-11)(25-12)(25-12)我们把我们把 写成写成GreenGreen函数函数 二、微带问题介质Green函数法

25、G x yh yxihyyxihyyrrriii(,/,)()ln()()ln()()0012022021221111121121(25-13)(25-13)wh图图 25-5 25-5 矩量法求解矩量法求解 设设(y y0 0)是线上电荷分布是线上电荷分布 (25-14)(25-14)()(,/,)y G h yh ydyVW0000二、微带问题介质Green函数法 离散化后为离散化后为 P yyWyWnnn()00010 V V0 0线上电压线上电压 ()()yP ynnnN001nWnNG h yh y dyVn(,/,)0001二、微带问题介质Green函数法(25-15)(25-15

26、)(25-16)(25-16)(25-17)(25-17)选定选定m个点，每个点都处于个点，每个点都处于 Wn中间中间(相当于相当于Point Matching)(25-18)写成写成Matrix Form其中其中 (25-20)(25-20)nmWnNG h yh y dyVn(,/,)0001 lV0lG h yh ydymnmWn(,/,)00二、微带问题介质Green函数法(25-19)(25-19)按照定义按照定义即能得到即能得到 其中其中 (25-22)(25-22)表示归一化电荷密度，微带特性阻抗：表示归一化电荷密度，微带特性阻抗：CQVCQV000 或 lWC0110V0二、微

27、带问题介质Green函数法 ZvCC01(25-21)(25-21)(25-23)(25-23)作业：如图在两无限大平行理想导体板之间的一作业：如图在两无限大平行理想导体板之间的一电流元电流元IL位于位于x-y平面内与水平方向成平面内与水平方向成角。试求电角。试求电流元及其镜像所形成的矢势表达式流元及其镜像所形成的矢势表达式.已知已知 i向电流向电流元形成的矢势为元形成的矢势为 这里这里 ai为为i=x,y,z向单位矢量；向单位矢量；r 为场点矢径；为场点矢径；ro为源点矢径；为源点矢径；k为波数；为波数；IL为电流元的大小。为电流元的大小。解答：设电流元为解答：设电流元为A，其与，其与X轴的

28、正向成则有轴的正向成则有 其中其中 ，由电流元在完善导体平面上的镜，由电流元在完善导体平面上的镜像可以知道：当电流元垂直于导体平面时，其镜像可以知道：当电流元垂直于导体平面时，其镜像方向与电流元相同，当电流元平行于导体平面像方向与电流元相同，当电流元平行于导体平面时，其镜像方向与电流元相反。时，其镜像方向与电流元相反。22exp()(cossin),()mxyaAAjkraarxydradda 由于两相互平行的导体板在存在，所产生的由于两相互平行的导体板在存在，所产生的镜像为两个无穷系列。此无穷系列分别由电流元镜像为两个无穷系列。此无穷系列分别由电流元的的X和和Y分量产生。每一系列又由上导体的

29、镜像和分量产生。每一系列又由上导体的镜像和下导体的镜像组成。它们分别仅位于下导体的镜像组成。它们分别仅位于上导体板的上方和下导体的下方。故有上导体板的上方和下导体的下方。故有 其中：其中：4111exp()cos(1)exp()sinnxymnniniinniniAAjkrajkrarr 100.50nnn4111exp()cos(1)exp()sinnxymnniniinniniAAjkrajkrarr 100.50nnn22 1/21(2()nrxyndda22 1/22(2()nrxyndda22 1/23(2()nrxyndda22 1/24(2()nrxyndda参考文献：1.梁昌简

30、明微波.2.喻志远.导波理论基础.试证明在均匀各向同性无耗微带电路中，其试证明在均匀各向同性无耗微带电路中，其传输主模式为准传输主模式为准TEM模模证明：设微带电路的传播方向为Z向，在空气和介质贩交界面上有：切向电场 ，（a）法向电场 （b）切向磁场 ,(c)法向磁场 (d)其中带撇的表示界面的介质一侧的场量，不带撇的表示界面两侧的空气一侧的场量。界面两侧的电磁场当然满足麦克斯韦方程，zzEExxEEryyEExxHHzzHH)1(rYyHH因此根据式（2.1.1a）为介质中 空气中 分别对以上两边取x分量，则得到 在界面上利用边界条件(a),于是有 (e)0EjHrEjH0XryZEjzHy

31、H)()(0 xyZEjzHyH0)()()()()()(zHyHzHyHyZryZ再利用边界条件(d),并注意到对于相位常数为 的单模导行波有 把这些关系代入式(9.1.2),整理后可得 （f）这是介质界面两侧的磁场所必须满足的关系。由于在介质-空气交界面上，垂直于界面的磁场分量Hy不可能处处为零，而且介质片的 ，故式(a)的右边不等于零；由此推出其左边也一定不等于零，这就证明了必定有磁场的纵向分量存在。yyHjzHyyyHjHjzHyrZrZHjyHyH)1()()(1r 同理可得到 （g）因此只要垂直 于界面的电场分量不处处为零，则必然存在电场的纵向分量。这样我们就一般地证明了微带中的任何导行波必定有纵向场分量。换句话说，纯的TEM波是不可能在微带中单独存在的。这个结论是严格推理的结果，是无可怀疑的。由以上分析可以看出，微带中的模式非TEM波，是由空气介质面处的边缘分量Ez和Hz引起的，与导体下的横向场分量相比，纵向场分量很小，所以微带中的主模式称为准TEM模。这种模式实际上是一种混合模式。yrZZEjyEyE)11()()(