第13章应力状态分析课件.ppt

1、第十三章第十三章 应力状态分析应力状态分析 13-1 13-1 引言引言 一、应力状态的概念一、应力状态的概念 1.1.点的应力状态点的应力状态 过受力构件内一点所作各截面上的应力情况，过受力构件内一点所作各截面上的应力情况，即过受力构件内一点所有方位面上的应力总体。即过受力构件内一点所有方位面上的应力总体。2.2.一点应力状态的描述一点应力状态的描述 以该点为中心取无限小正六面体（单元体）为以该点为中心取无限小正六面体（单元体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上的应力可描研究对象，单元体三对互相垂直的面上的应力可描述一点应力状态。述一点应力状态。单元体三对面的应力已单元体三对面的应力已知，

2、单元体平衡知，单元体平衡单元体任意部分平衡单元体任意部分平衡 由截面法和平衡条件可由截面法和平衡条件可求得任意方位面上的应力，求得任意方位面上的应力，即点在任意方位的应力。即点在任意方位的应力。二、应力状态的分类二、应力状态的分类 1.1.主平面主平面 单元体上无切应力的平面。单元体上无切应力的平面。2.2.主应力主应力 作用在主平面上的正应力。作用在主平面上的正应力。3.3.应力状态的分类应力状态的分类 任何点的应力状态总可找到三对互相垂直的主任何点的应力状态总可找到三对互相垂直的主平面构成的六面体，作用三对主应力，且有：平面构成的六面体，作用三对主应力，且有：123 （按代数值大小排序）（

3、按代数值大小排序）三向应力状态三向应力状态 三个主应力都不等于零。三个主应力都不等于零。二向应力状态二向应力状态 两个主应力不等于零。两个主应力不等于零。单向应力状态单向应力状态 只一个主应力不等于零。只一个主应力不等于零。13-2 13-2 平面应力状态应力分平面应力状态应力分 析的解析法析的解析法 一、任意斜截面上的正应力和切应力一、任意斜截面上的正应力和切应力 n0:F d(d cos)sin(d cos)cosxxAAA(d sin)cos(d sin)sin0yyAA0:F d(d cos)cos(d cos)sinxxAAA(d sin)cos(d sin)sin0yxAA平面应力

4、状态下任意斜截面上应力表达式平面应力状态下任意斜截面上应力表达式 cos2sin222xyxyx sin2cos22xyx 正应力：拉应力为正，压应力为负；切应力：对单元体正应力：拉应力为正，压应力为负；切应力：对单元体内任意点的矩顺时针为正，反之为负。内任意点的矩顺时针为正，反之为负。cos2sin222xyxyx sin2cos22xyx 斜截面角度：从斜截面角度：从x 轴正向转到斜截面外法线所转过的角度，轴正向转到斜截面外法线所转过的角度，逆时针转为正，顺时针转为负。逆时针转为正，顺时针转为负。x、x 是法线与是法线与x 轴平行的面上的正应力与切应力，即轴平行的面上的正应力与切应力，即x

5、 面上的正应力与切应力；面上的正应力与切应力；y、y 是法线与是法线与y 轴平行的面上的正轴平行的面上的正应力与切应力，即应力与切应力，即y 面上的正应力与切应力。面上的正应力与切应力。例：例：矩形截面简支梁在跨中作用集中力矩形截面简支梁在跨中作用集中力F。已知。已知F=100kN，l=2m，b=200mm，h=600mm，=40o，求离支座，求离支座l/4 处截面处截面C点在斜截面点在斜截面n-n上的应力。上的应力。解：解：求求C 点所在截面的剪力、弯矩点所在截面的剪力、弯矩 S50kN2FF 25kN m8FlM 求求C 点在横截面上的正应力、切应力点在横截面上的正应力、切应力 33C31

6、225 10600 10/41.04MPa200 60010/12zM yI 2326C2626343 50 104 15010(1)(1)22 200 600 10600100.469MPaSFybhh C1.04MPa C0.469MPa 作出作出C 点的应力状态图点的应力状态图 1.04MPax cos2sin222xyxyx 1.07MPa sin2cos22xyx 0.59MPa 0y 0.469MPax o40 oo1.041.04cos800.469 sin8022oo1.04sin800.469 cos802 二、主应力及主平面位置二、主应力及主平面位置 求与求与z 轴平行所有

7、截面上的最大（小）正应力及方位轴平行所有截面上的最大（小）正应力及方位 d0d 00(2sin2)(2cos2)02xyx 00sin2cos202xyx 02tan2xxy 解得：解得：代入平面应力状态下任意斜截面上正应力表达式，得：代入平面应力状态下任意斜截面上正应力表达式，得：max22min()22xyxyx cos2sin222xyxyx 可确定两个相互垂直可确定两个相互垂直的截面的截面00,90 即即max、min 作用面上作用面上=0，即，即0截面为主平面，截面为主平面，max、min为主应力。为主应力。00sin2cos202xyx 00 02tan2xxy 即即max、min

8、 作用面是互相垂直的面，为作用面是互相垂直的面，为0截面和截面和0+90o截面。截面。1.1.2.2.3.3.max作用面方位角度作用面方位角度0 xy o045 xy o045 xy 0 x o045 0 x o045 即对于同一点互相垂直面上的正应力之和是常量。即对于同一点互相垂直面上的正应力之和是常量。max22min()22xyxyx maxminxy 4.4.三、最大切应力及其作用平面的位置三、最大切应力及其作用平面的位置 求与求与z 轴平行所有截面上的最大切应力及方位轴平行所有截面上的最大切应力及方位 d0d 11()cos22sin20 xyx解得：解得：1tan22xyx 代入

9、平面应力状态下任意斜截面上切应力表达式代入平面应力状态下任意斜截面上切应力表达式 max22min()2xyx sin2cos22xyx 可确定两个相互垂直可确定两个相互垂直的截面的截面11,90 1tan22xyx 02tan2xxy 即即max、min 作用面是互相垂直的面，为作用面是互相垂直的面，为1截面和截面和1+90o截面，且截面，且1=0+45o。11()cos22sin20 xyx 111cos2sin222xyxyx 即即max、min作用面上作用面上 12xy maxminmax2 3.3.max22min()22xyxyx 1.1.2.2.例：例：讨论圆轴扭转时的应力状态，

10、并分析铸铁试件受扭时讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。的破坏现象。解：解：圆轴扭转时横截面边缘处切应力最大圆轴扭转时横截面边缘处切应力最大 PPTMWW 作应力状态图作应力状态图 0 xymax22min()22xyxyx o0o4521arctan()245xxy 圆轴扭转时表面各点圆轴扭转时表面各点max所在平面连成倾角为所在平面连成倾角为45o的螺旋面，的螺旋面，由于铸铁抗拉强度低，所以试件沿此螺旋面断裂破坏。由于铸铁抗拉强度低，所以试件沿此螺旋面断裂破坏。x 例：例：一薄壁圆筒受扭转和拉伸同时作用如图。已知圆筒的一薄壁圆筒受扭转和拉伸同时作用如图。已知圆筒的平均

11、直径平均直径d=50mm，壁厚，壁厚t=2mm，外力偶，外力偶M=600Nm，拉力，拉力F=20kN。薄壁管截面的抗扭系数可近似取为。薄壁管截面的抗扭系数可近似取为WP=d2t/2。试。试用解析法求过点用解析法求过点D 指定斜截面上的应力、点的主应力和主方向指定斜截面上的应力、点的主应力和主方向及最大切应力。及最大切应力。解：解：求求D 点在横截面上的正应力、切应力点在横截面上的正应力、切应力 3ND620 1063.7MPa50 2 10FFAdt D229P2(600)76.4MPa/2502 10/2TMWd t 作出作出D点的应力状态图点的应力状态图 63.7MPax cos2sin2

12、22xyxyx sin2cos22xyx 0y 76.4MPax o120 D63.7MPa D76.4MPa oo63.763.7cos240(76.4)sin24022 50.3MPa oo63.7sin240(76.4)cos2402 10.7MPa 求求D 点的主应力和主方向及最大切应力点的主应力和主方向及最大切应力 max22min()22xyxyx 123114.6MPa050.9MPa 2263.763.7()(76.4)22 114.6MPa50.9MPa 63.7MPax 0y 76.4MPax 主应力作用面的方位角主应力作用面的方位角 o0o56.312112 76.4ar

13、ctan()()2263.733.69xxyarctg xy oo1333.6956.31 D 点最大切应力点最大切应力 13max114.6(50.9)82.75MPa22 63.7MPax 0y 76.4MPax 13-3 13-3 平面应力状态应力分平面应力状态应力分 析的图解法析的图解法 一、应力圆方程一、应力圆方程 cos2sin222xyxyx sin2cos22xyx 2222()()22xyxyx 应力圆上一点坐标对应单元体某斜截面的应力值，应力圆上一点坐标对应单元体某斜截面的应力值，所有斜截面的应力值对应一个确定的应力圆。所有斜截面的应力值对应一个确定的应力圆。以以、为横、纵

14、坐标轴，则上式表示以为横、纵坐标轴，则上式表示以为圆心，为圆心，为半径的应力圆。为半径的应力圆。(0)2xy，22()2xyx cos2sin222xyxyx 二、应力圆的作法二、应力圆的作法 建立建立-坐标系坐标系 连接连接DE与横坐标轴交与横坐标轴交于于C 点，以点点，以点C 为圆心、为圆心、CD半径作圆半径作圆 在在-坐标系中找到坐标系中找到D(x ,x)和和E(y,y)两点两点三、应力圆的应用三、应力圆的应用 1.1.确定单元体斜截面上的应力确定单元体斜截面上的应力 以以CD为基线，沿与为基线，沿与角转向相同方向转角转向相同方向转2到新到新半径半径CH，则，则H 点坐标表示截面点坐标表

15、示截面的的、。H点横坐标点横坐标 0cos(22)OCCH00(cos2)cos2(sin2)sin2OCCDCDcos2sin222xyxyx00cos2cos2sin2sin2OCCHCHH点纵坐标点纵坐标 0sin(22)CH 00(sin2)cos2(cos2)sin2CDCDsin2cos22xyx 00sin2cos2cos2sin2CHCH2.2.确定主应力的大小及主平面的方位确定主应力的大小及主平面的方位 A、B点对应的横坐标分别表示对应主平面上的主应力。点对应的横坐标分别表示对应主平面上的主应力。max22min()22xyxyxOCCA A、B点对应正应力的极值点对应正应力

16、的极值 max作用面方位角度作用面方位角度0 xy o045 xy o045 xy 0 x o045 0 x o045 CA、CB夹角为夹角为180o，所以两主平面的夹角为，所以两主平面的夹角为90o。0minmaxtanxxxyFDBF 02tan2xxyDFCF 3.3.确定最大切应力的大小及作用平面的位置确定最大切应力的大小及作用平面的位置 K、J点对应的纵坐标表示最大、最小切应力。点对应的纵坐标表示最大、最小切应力。最大（小）切应力最大（小）切应力 max22min()2xyxCK CK、CJ夹角为夹角为180o，所以，所以max、min作用面作用面的夹角为的夹角为90o；同时；同时m

17、ax作用面的外法线可由作用面的外法线可由1作用面作用面的外法线逆时针转的外法线逆时针转45o 得到。得到。由应力圆可知由应力圆可知maxminmax2 12xy 应力圆应力圆单元体单元体夹角两倍夹角两倍转向相同转向相同点面对应点面对应 例：一薄壁圆筒受扭转和拉伸同时作用如图。已知圆筒的例：一薄壁圆筒受扭转和拉伸同时作用如图。已知圆筒的平均直径平均直径d=50mm，壁厚，壁厚t=2mm，外力偶，外力偶M=600Nm，拉力，拉力F=20kN。薄壁管截面的抗扭系数可近似取为。薄壁管截面的抗扭系数可近似取为WP=d2t/2。试。试用解析法求过点用解析法求过点D 指定斜截面上的应力、点的主应力和主方向指

18、定斜截面上的应力、点的主应力和主方向及最大切应力。及最大切应力。解：解：求求D 点在横截面上的正应力、切应力点在横截面上的正应力、切应力 3ND620 1063.7MPa50 2 10FFAdt D229P2(600)76.4MPa/2502 10TMWd t 作出作出D点的应力状态图点的应力状态图 63.7MPax 0y 76.4MPax o120 D63.7MPa D76.4MPa 作应力圆，将作应力圆，将ca 沿逆时针转沿逆时针转240o 得得d 点（或将点（或将cb 沿逆时针转沿逆时针转60o 得得d 点），该点坐标为所求截面的应力点），该点坐标为所求截面的应力 o12050.3MPa

19、 o12010.7MPa max82.75MPa 由应力圆可得由应力圆可得 123114.6MPa050.9MPa 由应力圆可得由应力圆可得 ca 到到1 1 对应点逆时针转过对应点逆时针转过67.5o oo167.533.82 oo3112.556.32 ca 到到3 3 对应点顺时针转过对应点顺时针转过112.5o 13-4 13-4 复杂应力状态的最大应力复杂应力状态的最大应力 一、三向应力圆一、三向应力圆 单元体作用三个主应力单元体作用三个主应力 123 平行于主应力平行于主应力1 方向的任意斜面方向的任意斜面 I 上的正应力和切应力上的正应力和切应力与与1无关，可由应力圆无关，可由应

20、力圆 I 表示。表示。同理：平行于主应力同理：平行于主应力2和和3方向的任意斜面方向的任意斜面 II 和和 III 上上的正应力和切应力分别与的正应力和切应力分别与2和和3无关，可分别由应力圆无关，可分别由应力圆 II 和和 III 表示。表示。三向应力状态中空间三向应力状态中空间任意方向面上的正应力和任意方向面上的正应力和切应力对应于应力圆切应力对应于应力圆I、II、III所围阴影区域内某一所围阴影区域内某一点的坐标值。点的坐标值。二、最大应力二、最大应力 1.1.三向应力状态中最大（小）正应力三向应力状态中最大（小）正应力 max1 min3 2.2.三向应力状态中最大切应力三向应力状态中

21、最大切应力 13max2 最大切应力所在斜最大切应力所在斜截面平行于截面平行于2 ，其外，其外法线与法线与1 所在的平面所在的平面的外法线成的外法线成45o。例：例：求图示应力状态的主应力及最大切应力。求图示应力状态的主应力及最大切应力。解：解：由题可得由题可得 120MPax 40MPay 30MPax 30MPaz （主应力）（主应力）max22min()22xyxyx 主应力主应力 1130MPa 230MPa 330MPa 最大切应力最大切应力 13max130(30)80MPa22 22130MPa1204012040()(30)2230MPa 13-5 13-5 广义胡克定律广义胡

22、克定律 一点应力状态由三个正应力和三个切应力分量表一点应力状态由三个正应力和三个切应力分量表示。对于示。对于各向同性材料各向同性材料，当变形很小且在线弹性范围，当变形很小且在线弹性范围内时，正应变只与正应力有关，切应变只与切应力有内时，正应变只与正应力有关，切应变只与切应力有关。关。xxE xyE xzE yxE yyE yzE zxE zyE zzE x、y、z同时作用，根据叠加原理得广义胡克定律同时作用，根据叠加原理得广义胡克定律 x 单独作用单独作用 y 单独作用单独作用 z 单独作用单独作用 1()xxyzE 1()yyzxE 1()zzxyE xxyG 1()xxyzE 11231(

23、)E 22311()E 33121()E 主应变主应变1()yyzxE 1()zzxyE 例：一薄壁圆筒受扭转和拉伸同时作用如图。已知材料的例：一薄壁圆筒受扭转和拉伸同时作用如图。已知材料的弹性模量弹性模量E=210GPa，泊松比，泊松比=0.25，圆筒的平均直径，圆筒的平均直径d=50mm，壁厚，壁厚t=2mm，外力偶，外力偶M=600Nm，拉力，拉力F=20kN。薄壁管截面的抗扭系数可近似取为薄壁管截面的抗扭系数可近似取为WP=d2t/2。求。求D点图所示点图所示方向的正应变。方向的正应变。解：解：求求D 点在横截面上的正应力、切应力点在横截面上的正应力、切应力 3ND620 1063.7MPa50 2 10FFAdt D229P2(600)76.4MPa/2502 10TMWd t