空间向量及其加减与数乘运算课件.ppt

1、复习回顾：平面向量1.定义：既有大小又有方向的量;几何表示法:用有向线段表示;相等向量：长度相等且方向相同的向量.ABCD字母表示法：用小写字母表示,如 ；或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如 .aAB 2、平面向量的加法、减法与数乘运算向量加法的三角形法则向量加法的三角形法则ab向量加法的平行四边形法则向量加法的平行四边形法则ba向量减法的三角形法则向量减法的三角形法则aba ba ba (k0)ka (k0)ka (k0)k空间向量的数乘空间向量的加减法ababOABb结论：结论：空间任意两个向量都是空间任意两个向量都是共面的共面的，所以它们可用，所以它们可用同一平面内的两条有

2、向线段表示；同一平面内的两条有向线段表示；因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们；关结论仍适用于它们；思考：它们确定的平面是否唯一？思考：它们确定的平面是否唯一？思考：空间任意两个向量是否可能异面？思考：空间任意两个向量是否可能异面？平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义 表示法 相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量及其加减与数乘运算空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零bkakbak)()()(cbacbaabba加法交换律加法结合律数乘分配律abba加法交换律bkakb

3、ak)(数乘分配律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则数乘:ka,k为正数,负数,零加法结合律成立吗？abcOBCab+abcOBCbc+(平面向量平面向量)向量加法结合律在空间中仍成立吗向量加法结合律在空间中仍成立吗?ab+c+()ab+c+()AA(a+b)+)+c=a+(+(b+c)abcOABCab+abcOABCbc+(空间向量空间向量)ab+c+()ab+c+()(a+b)+)+c=a+(+(b+c)向量加法结合律：向量加法结合律：空间中空间中推广:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；nnnAAAAAAAAAA11433221（2

4、）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量.01433221AAAAAAAAnF1F2F1=10NF2=15NF3=15NF3ABCDABCDA1B1C1D1ABCDa平行六面体：平行四边形ABCD平移向量 到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体.a记做平行六面体ABCD-A1B1C1D1例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量.(如图)ABCDA1B1C1D1G11121)4()(31)3()2()1(CCADABAAADABAAADABBCAB;)1(ACBCAB解：1111)2(ACCCACAAACAAADABM 始点相同的

5、三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量1111(5).AB AD AAAC BDDB 用，表示，及ABCDA1B1C1D1平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义 表示法 相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零bkakbak)()()(cbacbaabba加法交换律加法结合律数乘分配律小结abba加法交换律bkakbak)(数乘分配律)()(cbacba加法结合律类比思想 数形结合思想数乘:ka,k为正数,负数,零数乘空间向量的运算法则数乘空间向量的运算法则例如例如:a3a3

6、a定义定义:显然显然,空间向量的数乘运算满足分配律空间向量的数乘运算满足分配律及结合律及结合律()()()a babaaaaa 即：（）其中、是实数.acb向量共线定理向量共线定理由此可判断由此可判断空间中两直线平行或三点共线空间中两直线平行或三点共线问题问题中点公式：中点公式：若若P为为AB中点中点,则则12 OPOAOBOABPA、B、P三点共线的充要条件三点共线的充要条件A、B、P三点共线三点共线APt AB A(1)OP xOyOB x y 共面向量定义共面向量定义平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫做叫做共面向量共面向量.注意：注意：空间任意两个向量是共面的，但空间空间任意两

7、个向量是共面的，但空间任意三个向量任意三个向量 既可能共面，也可能不共面既可能共面，也可能不共面dbac由平面向量基本定理知，如果由平面向量基本定理知，如果 ，是平面内的是平面内的两个不共线两个不共线的向量，那么的向量，那么对于这一平面内的任意向量对于这一平面内的任意向量 ，有且有且只有一对实数只有一对实数 ，使使 如果空间向量如果空间向量 与两不共线向量与两不共线向量 ，共共面，那么可将三个向量平移到同一平面面，那么可将三个向量平移到同一平面，则，则有有 byxpapb那么什么情况下空间三个向量共面呢？那么什么情况下空间三个向量共面呢？2211eea1e2e12aa1e2e反过来，对空间任意

8、两个不共线的向量反过来，对空间任意两个不共线的向量 ，如，如果果 ，那么向量，那么向量 与向量与向量 ,有什么位有什么位置关系？置关系？abbyxpab,xa ybab 分别与，共线，,xa ybab 都在，确定的平面内ab 并且此平行四边形在，确定的平面内，,pxaybabpab 在，确定的平面内 即 与，共面abABPp Cp 共面向量定理共面向量定理：如果两个向量：如果两个向量 ，不共线不共线，pxayb abp ab 则向量则向量 与向量与向量 ，共面的充要共面的充要条件是条件是存在唯一的实数对存在唯一的实数对x,y使使abABPp COAabBCPp C空间四点空间四点P、A、B、C

9、共面共面 存存在在唯唯一一实数对实数对,（）使得xyAPxAByAC(1)其中，OPxOAyOBzOCxyz例例1、给出以下命题：、给出以下命题：（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；（2）若空间向量）若空间向量 满足满足 则则 ；（3）在正方体）在正方体 中，必有中，必有 ；（4）若空间向量）若空间向量 满足满足 ，则，则 ；（5）空间中任意两个单位向量必相等）空间中任意两个单位向量必相等.其中不正确命题的个数是（其中不正确命题的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4a b、ab|ab1111ABCDABC D11ACACm n p 、

10、,mn np mp C例例2：已知平行六面体：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的求满足下列各式的x的值的值.ABCDA1B1C1D1111111 )3(2 )2(ACxADABACACxBDADACxCCDAAB1111 )1(ABCDA1B1C1D1CCDAAB1111 )1(解.1 1111xACCCCBABACxCCDAAB1111 )1(例例2：已知平行六面体：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的求满足下列各式的x的值的值.ABCDA1B1C1D1112 )2(BDAD 111BDADAD)(111BDBCAD111CDAD 1AC1112

11、 )2(ACxBDAD.1x例例2：已知平行六面体：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的求满足下列各式的x的值的值.ABCDA1B1C1D111 )3(ADABAC)()()(11ADAAABAAABAD)(21AAABAD12AC111 )3(ACxADABAC.2x例例2：已知平行六面体：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的求满足下列各式的x的值的值.ABMCGD)(21 )2()(21 )1(ACABAGBDBCAB练习1在空间四边形在空间四边形ABCD中中,点点M、G分别是分别是BC、CD边的中点边的中点,化简化简ABCDDCBA)()1(C

12、CBCABxACADyABxAAAE)2(练习2在立方体在立方体AC,中中,点点E是面是面A C 的中心的中心,求下列各式求下列各式中的中的x,y.E 1.下列命题中正确的有：下列命题中正确的有：(1)pxaybpab 与与、共共面面;(2)pabpxayb 与与、共共面面；(3)MPxMAyMBPMAB 、共共面面；(4)PMA BMPxMAyMB 、共共面面；A.1个个B.2个个C.3个个D.4个个例例4:B2.对于空间中的三个向量对于空间中的三个向量它们一定是：它们一定是：A.共面向量共面向量B.共线向量共线向量C.不共面向量不共面向量D.既不共线又不共面向量既不共线又不共面向量2MAM

13、BMAMB 、A3.已知点已知点M在平面在平面ABC内，并且对空间任内，并且对空间任意一点意一点O，,则则x的值为：的值为：26 11OMxOAOBOC1.1.0.3.3ABCDD4.已知已知A、B、C三点不共线，对平面外一点三点不共线，对平面外一点O，在下列条件下，点，在下列条件下，点P是否与是否与A、B、C共面？共面？212(1);555OPOAOBOC (2)22OPOAOBOC ；例例5.如图，已知平行四边形如图，已知平行四边形ABCD，过平，过平面面AC外一点外一点O作射线作射线OA、OB、OC、OD，在，在四条射线上分别取点四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使，并且使求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面EG/平面平面AC.,OEOFOGOHkOAOBOCODOBAHGFECD 共线向量共线向量 共面向量共面向量定义定义向量所在直线互相平向量所在直线互相平行或重合行或重合平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量叫做共面向量.定理定理推论推论运用运用判断三点共线，或两判断三点共线，或两直线平行直线平行判断四点共面，或直线判断四点共面，或直线平行于平面平行于平面/(0)ab b ba,a b p byxpABtOAOPACyABxOAOP小结小结共面共面A(1)OPxOyOB xy (1)OPxOAyOBzOCxyz 作业AMCGDB