稳态误差与闭回路转移函数之间的关系课件.ppt

1、2022/12/161 CHAPTER1.控制系統的時間響應通常可分為兩部份控制系統的時間響應通常可分為兩部份 暫態響應暫態響應(transient response)和穩態響應和穩態響應(steady-state response)。2.令令 y(t)代表時間響應代表時間響應(7-1)其中其中 y t(t)為暫態響應，為暫態響應，y ss(t)為穩態響應。為穩態響應。暫態響應可定義為當時間趨近無窮大時響應變為零的部份暫態響應可定義為當時間趨近無窮大時響應變為零的部份(7-2)穩態響應是在暫態響應消失後，所剩餘部份的響應穩態響應是在暫態響應消失後，所剩餘部份的響應3.若輸出的穩態響應與輸入不一

2、致，就稱此系統有穩態誤差若輸出的穩態響應與輸入不一致，就稱此系統有穩態誤差(steady-state error)。為了時域分析的方便，常使用下列的測試訊號：為了時域分析的方便，常使用下列的測試訊號：1.步階函數輸入：步階函數輸入：(7-3)其中其中 R 為常數為常數 或或(7-4)us(t)為單位步階函數為單位步階函數 2022/12/162 CHAPTER2022/12/163 CHAPTER 由於步階函數有一不連續的跳躍，它的頻譜包含極寬的頻率；因此，將步階函數當由於步階函數有一不連續的跳躍，它的頻譜包含極寬的頻率；因此，將步階函數當 作測試訊號相當於在一很寬的頻率範圍內多種弦波訊號的同

3、時應用。作測試訊號相當於在一很寬的頻率範圍內多種弦波訊號的同時應用。2.斜坡函數輸入：斜坡函數輸入：(7-5)R 為實常數為實常數 斜坡函數有能力測試系統對一隨時間線性變化的訊號響應。斜坡函數有能力測試系統對一隨時間線性變化的訊號響應。3.拋物線函數輸入：拋物線函數輸入：(7-6)R 為實常數為實常數 對於線性控制系統，暫態響應的特性通常以單位步階函數對於線性控制系統，暫態響應的特性通常以單位步階函數 u s(t)作為輸入。此種響作為輸入。此種響 應稱為單位步階響應。應稱為單位步階響應。1.最大超越量最大超越量 令令 y(t)為單位步階響應。令為單位步階響應。令 ymax 為為 y(t)的最大

4、值，的最大值，yss為為 y(t)的穩態的穩態 值，且值，且 y max y ss。2022/12/164 CHAPTER2022/12/165 CHAPTER(7-7)最大超越量通常以步階響應最終值的百分比來表示最大超越量通常以步階響應最終值的百分比來表示%100ssy最大超越量最大超越量百分比(7-8)測量系統的相對穩定性測量系統的相對穩定性 最大超越量通常視為時域規格。最大超越量通常視為時域規格。2.延遲時間延遲時間 達到步階響應最終值的 50%所需的時間定義為延遲時間t d，如 所 示。3.上升時間上升時間 由步階響應最終值的 10%上升到 90%所需的時間定義為上升時間 t r。如

5、所示。另一種測量法為，上升時間以步階響應在響應等於其最終值的 50%時瞬間斜率的倒數來表示。4.安定時間安定時間 步階響應衰減至且停留在其最終值的特定百分比以內時所需的時間定義為 安定時間 t s。通常使用的數值是 5%。5.穩態誤差穩態誤差 系統響應的穩態誤差定義為系統達到穩態(即 t )時，輸出與參考輸入 間之差異值。2022/12/166 CHAPTER1.在穩態時，輸出及參考值的差，我們定義為穩態誤差。在穩態時，輸出及參考值的差，我們定義為穩態誤差。2.在設計系統時，必須使誤差減至最低程度，或讓誤差低於某一容忍值。同時，暫態在設計系統時，必須使誤差減至最低程度，或讓誤差低於某一容忍值。

6、同時，暫態響響 應也必須滿足某種規格。應也必須滿足某種規格。線性控制系統的穩態誤差必須視系統的型態和參考輸入類型而定。線性控制系統的穩態誤差必須視系統的型態和參考輸入類型而定。1.考慮考慮 的閉迴路系統，其中的閉迴路系統，其中 r(t)為輸入，為輸入，u(t)為激勵訊號，為激勵訊號，b(t)為回授訊號，為回授訊號，及及 y(t)為輸出。為輸出。2.系統誤差的定義：系統誤差的定義：(7-9)參考訊號為輸出參考訊號為輸出 y(t)所要追蹤的訊號。所要追蹤的訊號。3.系統為單位回授時系統為單位回授時 即即 H(s)=1，輸入，輸入 r(t)為參考訊號，則誤差可簡化為為參考訊號，則誤差可簡化為(7-1

7、0)(limteetss(7-11)2022/12/167 CHAPTER4.當當 H(s)不為不為 1，則圖，則圖 7-3 中的激勵訊號中的激勵訊號 u(t)不一定為誤差，端視不一定為誤差，端視 H(s)的型式和的型式和 目的而定。目的而定。Ex.假設在假設在 中的系統其目的為使輸出中的系統其目的為使輸出 y(t)盡可能緊密地追蹤盡可能緊密地追蹤 r(t)，且系統轉，且系統轉 移函數為移函數為 21()(12)G ss s(7-12a)1)當當 H(s)=1 時，特性方程式為時，特性方程式為(7-13)閉迴路系統為不穩定閉迴路系統為不穩定 2)當當H(s)變成變成5(1)()(5)sH ss

8、(7-12b)特性方程式變成特性方程式變成(7-14)系統誤差仍可由系統誤差仍可由(7-10)式所定義式所定義：(7-10)2022/12/168 CHAPTER 考慮一速度控制系統，其中以步階輸入來控制在穩態時可包含一斜坡的系統輸出。考慮一速度控制系統，其中以步階輸入來控制在穩態時可包含一斜坡的系統輸出。系統轉移函數可如以下型式系統轉移函數可如以下型式(7-15)其中其中 H(s)為機電或電子轉速計之轉移函數，且為機電或電子轉速計之轉移函數，且 K t 為轉速計常數。為轉速計常數。1)系統誤差可如系統誤差可如(7-9)式中所定義，其中參考訊號為所設計的速度，但並非式中所定義，其中參考訊號為所

9、設計的速度，但並非 r(t)。由於由於r(t)和和 y(t)的因次不同，所以用的因次不同，所以用(7-10)式定義誤差將無意義。式定義誤差將無意義。(7-10)2)令令 K t=10 V/rad/sec。此乃表示對一步階輸入為。此乃表示對一步階輸入為 1 伏特時，穩態時所需速度為伏特時，穩態時所需速度為 1/10 或或 0.1 rad/sec，因為當此一條件達到時，轉速計之輸出電壓為因為當此一條件達到時，轉速計之輸出電壓為 1 伏伏 特，且穩態誤差為零。特，且穩態誤差為零。3)系統之閉迴路轉移函數：系統之閉迴路轉移函數：(7-16)4)對於步階函數輸入，對於步階函數輸入，R(s)=1/s。輸出

10、時域響應為。輸出時域響應為(7-17)2022/12/169 CHAPTER5)y(t)的穩態部份為的穩態部份為 0.1t 0.12。故系統穩態誤差為。故系統穩態誤差為(7-18)並非所有的系統誤差均依據輸入所得的輸出響應來定義。並非所有的系統誤差均依據輸入所得的輸出響應來定義。圖圖 7-4 的系統除輸入的系統除輸入 r(t)外，還有干擾外，還有干擾 d(t)。由。由 d(t)單獨作用所產生之輸出也可定義為誤差。單獨作用所產生之輸出也可定義為誤差。2022/12/1610 CHAPTER1.H(s)=1 之單位回授控制系統的方塊圖：之單位回授控制系統的方塊圖：。2.系統穩態誤差：系統穩態誤差：

11、(7-19)3.ess 與與 G(s)在在 s=0 之極點數目有關。此一數目即為控制系統的型式，或簡稱系統之極點數目有關。此一數目即為控制系統的型式，或簡稱系統 型式。型式。系統之型式在此只針對單位回授系統定義系統之型式在此只針對單位回授系統定義 4.利用順向路徑轉移函數利用順向路徑轉移函數G(s)的型式來定出系統型式的型式來定出系統型式:(7-20)其中其中 K 和所有的和所有的 T 為實常數。為實常數。若閉迴路系統的順向路徑轉移函數如若閉迴路系統的順向路徑轉移函數如(7-20)式，則式，則系統的型式為系統的型式為 j，其中，其中 j=0，1，2，。(7-21)2022/12/1611 CH

12、APTER(7-22)A 具步階函數輸入之系統的穩態誤差具步階函數輸入之系統的穩態誤差 1.圖圖 7-3 系統的系統的 H(s)=1且參考輸入且參考輸入 r(t)是是幅度為幅度為 R 的步階函數，其輸入的的步階函數，其輸入的拉氏拉氏轉換為轉換為 R/s。2.穩態誤差：穩態誤差：(7-23)3.步階誤差常數步階誤差常數(step-error constant)：(7-25)4.步階輸入時典型的步階輸入時典型的 ess：1)型式型式 0 的系統的系統 常數pssKRe12)型式型式 1 或更高的系統或更高的系統 0sse(7-24)2022/12/1612 CHAPTERB 具斜坡輸入函數之系統的

13、穩態誤差具斜坡輸入函數之系統的穩態誤差 1.控制系統控制系統 H(s)=1：。2.輸入：幅度為輸入：幅度為 R 的斜坡函數的斜坡函數(7-26)其中其中 R 為常數為常數(7-27)2022/12/1613 CHAPTER3.穩態誤差：穩態誤差：(7-28)4.斜坡誤差常數斜坡誤差常數(ramp-error constant)：(7-29)斜坡誤差常數斜坡誤差常數Kv只定義只定義於系統為斜坡輸入於系統為斜坡輸入(7-30)5.對斜坡輸入的典型對斜坡輸入的典型ess：。其中其中 Kv 為有限值且不為零。為有限值且不為零。2022/12/1614 CHAPTER6.當輸入為斜坡函數時，若要當輸入為

14、斜坡函數時，若要 ess 為零，則為零，則 Kv 必須為無限大。必須為無限大。(7-31)1.控制系統控制系統 H(s)=1：。2.輸入：拋物線函數輸入：拋物線函數(7-32)(7-33)3.穩態誤差：穩態誤差：(7-34)4.拋物線誤差常數拋物線誤差常數(parabolic-error constant)：(7-35)(7-36)其中其中 Ka 為有限值且不為零。為有限值且不為零。拋物線誤差常數拋物線誤差常數Ka只定義只定義於系統為拋物線輸入時於系統為拋物線輸入時 2022/12/1615 CHAPTER5.由拋物線函數輸入所造成之系統典型的由拋物線函數輸入所造成之系統典型的 ess：。任何

15、線性閉迴路系統由任何線性閉迴路系統由輸入訊號其階數比拋物輸入訊號其階數比拋物線函數來得高者所造成線函數來得高者所造成的穩態誤差，皆可用相的穩態誤差，皆可用相同方法推導出。同方法推導出。2022/12/1616 CHAPTER 穩態誤差分析可以歸納成穩態誤差分析可以歸納成。一些結論：一些結論：2022/12/1617 CHAPTER1.在誤差分析時，步階、斜坡，以及拋物線誤差常數，只有在輸入分別為步階函數、斜坡函數，以及拋物線函數時才有意義。2.由於誤差常數是根據順向轉移函數 G(s)定義，此一方法只適用於H(s)=1且架構如所示之系統。由於誤差分析是依據拉氏轉換之終值定理，因此必須先查看 sE

16、(s)是否有任何極點在 j 軸或 s 右半平面。3.在表表 7-1 所整理之穩態誤差特性只有在時才有用。4.當系統的輸入是上面三種基本輸入函數的線性組合時，其穩態誤差可以由個別輸入所造成誤差的疊加合成。5.當系統架構非如(且H(s)=1)時，則可對系統加以簡化，使其如 之架構，或者可以找出誤差訊號再用終值定理求解。而此處所定義之誤差常數是否適用，則需視個別情形而定。考慮如考慮如 之之H(s)=1的系統，其轉移函數如下所示。利用三種基本輸入的系統，其轉移函數如下所示。利用三種基本輸入 型態之誤差常數，試求誤差常數和穩態誤差。型態之誤差常數，試求誤差常數和穩態誤差。)5.0)(5.1()15.3(

17、)(ssssKsGH(s)=1 型式型式 1 系統系統 2022/12/1618 CHAPTER1.誤差常數和穩態誤差：誤差常數和穩態誤差：2.只有在只有在 0 K m。在此在此，M(s)的所有極點均在的所有極點均在 s 左半平面，即系統為穩定。左半平面，即系統為穩定。7.系統的穩態誤差：系統的穩態誤差：(7-41)(7-42)8.考慮考慮 r(t)的三種基本輸入型態：的三種基本輸入型態：將將(7-40)式代入式代入(7-41)式式 1).步階函數輸入步階函數輸入 R(s)=R/s。穩態誤差變成穩態誤差變成(7-43)由步階輸入造成之穩態誤差為零的條件為由步階輸入造成之穩態誤差為零的條件為 2

18、022/12/1621 CHAPTER(7-44)或或(7-45)此表示單位回授系統此表示單位回授系統 KH=1，M(s)之分子及分母的常數項必須相等，亦即之分子及分母的常數項必須相等，亦即 b0=a0 時，才能使穩態誤差為零。時，才能使穩態誤差為零。2).斜坡函數輸入斜坡函數輸入 R(s)=R/s2。穩態誤差變成穩態誤差變成(7-46)以下為可能的以下為可能的 ess 值值 欲使單位回授系統在步階輸入時的穩態誤差欲使單位回授系統在步階輸入時的穩態誤差為零，其條件為閉迴路轉移函數的分子及分為零，其條件為閉迴路轉移函數的分子及分母的常數項相等母的常數項相等 2022/12/1622 CHAPTE

19、R3).拋物線函數輸入拋物線函數輸入 R(s)=R/s3。穩態誤差變成穩態誤差變成(7-50)以下為可能的以下為可能的 ess 值值 在圖在圖 7-3 之系統，其順向及閉迴路轉移函數如下所示。之系統，其順向及閉迴路轉移函數如下所示。(7-54)系統假設為單位回授，所以系統假設為單位回授，所以 H(s)=1，及，及 KH=H(0)=1。試求由三種基本型態輸入。試求由三種基本型態輸入所得的穩態誤差。所得的穩態誤差。2022/12/1623 CHAPTER1.M(s)之極點全都在之極點全都在 s 左半平面，系統為穩定。左半平面，系統為穩定。2.穩態誤差為穩態誤差為 考慮考慮圖圖 7-3 之系統，其轉

20、移函數如下之系統，其轉移函數如下(7-55)試求由三種基本型態輸入所得的穩態誤差。試求由三種基本型態輸入所得的穩態誤差。1.依題意依題意，知知 KH=H(0)=1。2.閉迴路轉移函數：閉迴路轉移函數：(7-56)上式與上式與(7-40)式比較得式比較得 a 0=5，a 1=5，a 2=60，b 0=5，b 1=1，b 2=0。2022/12/1624 CHAPTER3.針對三種基本型態輸入，系統的穩態誤差可以求得為針對三種基本型態輸入，系統的穩態誤差可以求得為 4.加入單位步階、單位斜坡，及單位拋物線輸入於加入單位步階、單位斜坡，及單位拋物線輸入於(7-56)式所述之系統，可得輸出：式所述之系

21、統，可得輸出：1)單位步階輸入時的輸出單位步階輸入時的輸出(7-58)y(t)的穩態值為的穩態值為 1，且穩態誤差為零。，且穩態誤差為零。2)單位斜坡輸入時的輸出單位斜坡輸入時的輸出(7-59)2022/12/1625 CHAPTER針對單位斜坡，針對單位斜坡，y(t)的穩態成分為的穩態成分為 t 0.8，而穩態誤差為，而穩態誤差為 0.8。3)單位拋物線輸入時的輸出單位拋物線輸入時的輸出(7-59)y(t)的穩態成分為的穩態成分為 0.5t 2 0.8t 11.2。所以，穩態誤差為。所以，穩態誤差為 0.8t+11.2，此值隨時間趨近無窮大而變成無限值。此值隨時間趨近無窮大而變成無限值。考慮

22、考慮 所示之系統，其轉移函數如下所示之系統，其轉移函數如下(7-60)試求由三種基本型態輸入所得的穩態誤差。試求由三種基本型態輸入所得的穩態誤差。1.依題意，知依題意，知(7-61)2.閉迴路轉移函數：閉迴路轉移函數：(7-62)3.由三種基本型態輸入造成的系統穩態誤差計算如下由三種基本型態輸入造成的系統穩態誤差計算如下 1)單位步階輸入時：單位步階輸入時：2022/12/1626 CHAPTER系統穩態誤差系統穩態誤差(7-63)步階響應：步階響應：(7-64)y(t)之穩態值為之穩態值為 0.5，且因，且因 KH=2，故知單位步階輸入的穩態誤差為，故知單位步階輸入的穩態誤差為 0。2)單位

23、斜坡輸入時：單位斜坡輸入時：系統穩態誤差系統穩態誤差(7-65)單位斜坡輸入的響應：單位斜坡輸入的響應：(7-66)穩態誤差：穩態誤差：(7-67)由於暫態項會隨由於暫態項會隨 t 趨近無限大時而衰減掉，故如趨近無限大時而衰減掉，故如(7-66)式所求算的，斜坡輸入所式所求算的，斜坡輸入所造成的穩態誤差為造成的穩態誤差為 0.4。2022/12/1627 CHAPTER3)單位拋物線輸入時：單位拋物線輸入時：系統穩態誤差系統穩態誤差 單位拋物線輸入的響應單位拋物線輸入的響應(7-68)因單位拋物線輸入所引起的誤差因單位拋物線輸入所引起的誤差(7-69)穩態誤差為穩態誤差為 0.4t+2.6，且

24、隨時間而增加。，且隨時間而增加。1.當當H(s)有有 N 階零點在階零點在 s=0，相當於輸出在穩態時與輸入訊號的第，相當於輸出在穩態時與輸入訊號的第 N 階導數成正比。階導數成正比。2.在真實系統中，這就等同於加入一個轉速計或速率回授。在真實系統中，這就等同於加入一個轉速計或速率回授。3.參考輸入可以定義為參考輸入可以定義為R(s)/KH s N，且誤差訊號的，且誤差訊號的拉氏拉氏轉換可定義為轉換可定義為(7-70)其中其中(7-71)2022/12/1628 CHAPTER4.推導推導 N=1 的情況：的情況：1)(7-40)式的轉移函數式的轉移函數 M(s)有一極點於有一極點於 s=0，

25、即，即 a0=0。2)由由(7-70)式，穩態誤差為式，穩態誤差為(7-72)3)對一振幅為對一振幅為 R 的步階輸入，上式可寫成的步階輸入，上式可寫成(7-73)4)穩態誤差為穩態誤差為 2022/12/1629 CHAPTER 考慮考慮 之系統，其轉移函數為之系統，其轉移函數為(7-77)試求由三種基本型態輸入所得的穩態誤差。試求由三種基本型態輸入所得的穩態誤差。1.依題意，知依題意，知(7-78)2.閉迴路轉移函數：閉迴路轉移函數：(7-79)3.由於系統的目標為以一步階輸入控制速度，雖然由於系統的目標為以一步階輸入控制速度，雖然M(s)有一極點在有一極點在 s=0，但此速度控，但此速度

26、控 制系統仍為一穩定系統制系統仍為一穩定系統。係數為。係數為a0=0，a1=10，a 2=60，b0=5，及，及 b1=1。4.對單位步階輸入，由對單位步階輸入，由(7-75)式可求得穩態誤差為式可求得穩態誤差為(7-80)5.驗證：驗證：利用利用(7-79)式之閉迴路轉移函數求出單位步階響應。步階響應為式之閉迴路轉移函數求出單位步階響應。步階響應為(7-81)在穩態時，參考輸入為在穩態時，參考輸入為 t us(t)/KH=0.5t us(t)。因此，穩態誤差為。因此，穩態誤差為 2.9。2022/12/1630 CHAPTER1.控制系統中大多數穩態誤差是由非線性特性所造成的，如非線性摩擦或

27、死區。控制系統中大多數穩態誤差是由非線性特性所造成的，如非線性摩擦或死區。2.放大器，其輸入放大器，其輸入-輸出特性曲線可能如輸出特性曲線可能如 3.控制系統中所用的數位元件，如微處理機，其輸出訊號是間斷的或量化的位階，此控制系統中所用的數位元件，如微處理機，其輸出訊號是間斷的或量化的位階，此 性質的量化特性說明示於性質的量化特性說明示於。若量化器的輸入在。若量化器的輸入在 q/2 內則輸出為零，所以系內則輸出為零，所以系 統的誤差是統的誤差是 q/2，這一類的誤差就是數位控制系統的量化誤差。，這一類的誤差就是數位控制系統的量化誤差。2022/12/1631 CHAPTER2022/12/16

28、32當轉子位置接近穩定平衡點時，馬達轉矩會降到 TF 以下。因此，在圖 7-10的斜線區域內(即 e)任意位置，馬達都會停止動作。CHAPTER4.在實際的控制系統中，摩擦現象總是無法避免。在實際的控制系統中，摩擦現象總是無法避免。庫倫庫倫摩擦是控制系統導致穩態位置摩擦是控制系統導致穩態位置 誤差的常見因素。誤差的常見因素。為控制系統轉矩為控制系統轉矩-位置曲線。位置曲線。此轉矩曲線由步進馬達、切換式磁阻馬達、此轉矩曲線由步進馬達、切換式磁阻馬達、或具位置編碼器的閉迴路系統所產生。或具位置編碼器的閉迴路系統所產生。0 點表示轉矩曲線的穩定平衡點，而橫軸上點表示轉矩曲線的穩定平衡點，而橫軸上其它

29、類似的點所對應的曲線斜率均為負的。其它類似的點所對應的曲線斜率均為負的。0 點左、右邊的轉矩表示當有角位移干擾點左、右邊的轉矩表示當有角位移干擾發生時，使轉子轉到平衡點的恢復力矩。發生時，使轉子轉到平衡點的恢復力矩。如果沒有摩擦，則位置誤差為零。如果沒有摩擦，則位置誤差為零。因為只要位置不在平衡點上，便會存在一恢復力，使其回到平衡點。若有庫倫摩擦力矩 TF 存在，則馬達轉矩必須先克服這個摩擦力矩才能動作。2022/12/1633 CHAPTER1.分激式直流馬達模型：分激式直流馬達模型：圖圖 4-43。2.假設電樞電感與馬達摩擦均可假設電樞電感與馬達摩擦均可 忽略不計。因此，馬達方程式忽略不計

30、。因此，馬達方程式 可簡化成可簡化成(7-86)其中其中 e(t)為外加電壓；為外加電壓；K a 為放大器增益；為放大器增益；K b 為反電動勢常數；為反電動勢常數；K i 為轉矩常數；為轉矩常數；及及 J m 與與 R a 分別為馬達慣量與電樞電阻。分別為馬達慣量與電樞電阻。2022/12/1634 CHAPTER3.考慮考慮 m(t)並將之視為輸出變數。並將之視為輸出變數。4.系統的狀態圖系統的狀態圖：。5.閉迴路轉移函數：閉迴路轉移函數：(7-87)其中其中(7-88)(7-89)6.對單位步階輸入而言，即對單位步階輸入而言，即 e(t)=us(t)，且，且 E(s)=1/s。馬達速率為

31、。馬達速率為(7-90)(7-91)2022/12/1635 CHAPTER7.觀察結果：觀察結果：1).對任何系統參數組合，其步階響應均不具有任何的超越量。2).圖7-13示有(7-84)式系統轉移函數在 s 平面內位於 s=a 的極點。由於所有馬達 參數均為正值，故 a 值亦總是為正值，在 s=a 處的極點均位 s 平面左半部，故 系統為穩定。3).單位步階輸入電壓 ea 的穩態速率幅度與放大器增益 Ka 成正比，而與反電動勢常 數 Kb 成反比。4).馬達速率在達到其穩態值過程中的變動率依(7-89)式 譯者註：原書誤植為(7-86)式 的 a 值而定。當 a 值增加時，馬達加速愈快。這

32、現象並不難理解，因為 a 與放 大器增益 Ka 成正比，而與馬達電阻 Ra 及慣性矩 Jm 成反比。2022/12/1636 CHAPTER1.二階單位回授控制系統之方塊圖：二階單位回授控制系統之方塊圖：。2.系統之開迴路轉移函數：系統之開迴路轉移函數：(7-92)其中，其中，和和 為實常數。為實常數。3.系統閉迴路轉移函數：系統閉迴路轉移函數：(7-93)4.標準二階系統的特性方程式：標準二階系統的特性方程式：(7-94)5.對單位步階輸入對單位步階輸入 R(s)=1/s，系統的輸出響應：，系統的輸出響應：(7-95)(7-96)圖圖 7-15 以正規化時間以正規化時間 nt 及針對不同及針

33、對不同 值值來作圖。來作圖。2022/12/1637 CHAPTER2022/12/1638 CHAPTER1.系統參數系統參數 和和 n 對標準二階系統的步階響應對標準二階系統的步階響應 y(t)之影響可由之影響可由(7-94)式中特性方程式中特性方程 式的根來研究。式的根來研究。2.特性方程式的二個根：特性方程式的二個根：(7-97)其中其中(7-98)(7-99)3.和和 的物理意義：的物理意義：1)控制了控制了 y(t)上升或下降的速率。上升或下降的速率。又稱為又稱為阻尼係數或阻尼常數阻尼係數或阻尼常數 2)的倒數的倒數 1/，與系統的時間常數成正比。，與系統的時間常數成正比。4.當特

34、性方程式的兩根為相等實數時，我們稱此系統為當特性方程式的兩根為相等實數時，我們稱此系統為臨界阻尼臨界阻尼(critically damped)。臨界的阻尼係數實際阻尼係數阻尼比n(7-100)1.參數參數 n 可定義為自然無阻尼頻率可定義為自然無阻尼頻率(natural undamped frequency)。2.定義為條件頻率定義為條件頻率(conditional frequency)，或阻尼頻率，或阻尼頻率(damped frequency)。2022/12/1639 CHAPTER n 是由是由 s 平面的原點至根的弳向距離。平面的原點至根的弳向距離。阻尼因子阻尼因子 為根的實數部份。為

35、根的實數部份。條件頻率條件頻率 是根的虛數部份。是根的虛數部份。阻尼比阻尼比 是等於在根的弳向線和負實軸是等於在根的弳向線和負實軸 間夾角的餘弦；即間夾角的餘弦；即 3.說明了在特性方程式根的位置說明了在特性方程式根的位置和和 、n 與與 之間的關係。之間的關係。(7-101)4.圖圖 7-17 所示為所示為(a)常數常數-n 軌跡，軌跡，(b)常數常數-軌跡，軌跡，(c)常數常數-軌跡和軌跡和 (d)常數常數-軌跡。在軌跡。在 s 平面上各區域平面上各區域 依系統阻尼畫分如下：依系統阻尼畫分如下：2022/12/1640 CHAPTER2022/12/1641 CHAPTER2022/12/

36、1642 CHAPTER 虛軸對應於零阻尼虛軸對應於零阻尼(=0，=0)。零阻尼對應於持續的弦波振盪。系統為臨界穩。零阻尼對應於持續的弦波振盪。系統為臨界穩 定，或臨界不穩定。定，或臨界不穩定。5.特性方程式的根在二階系統中對阻尼的影響：特性方程式的根在二階系統中對阻尼的影響：。在圖在圖 7-18 中，當阻尼比中，當阻尼比 由由 變化到變化到+時時 n 保持常數。保持常數。下列對已知下列對已知 值時系統的動態分類：值時系統的動態分類：對於特性方程式的根在不同位置，所對應的單位步階響應列於對於特性方程式的根在不同位置，所對應的單位步階響應列於。2022/12/1643 CHAPTER2022/1

37、2/1644 CHAPTER2022/12/1645 CHAPTER2022/12/1646 CHAPTER1.阻尼比和總超越量之間的確實關係：阻尼比和總超越量之間的確實關係：1)對對(7-96)式微分並設結果為零：式微分並設結果為零：(7-102)其中其中 和和 分別由分別由(7-99)式式和和(7-101)式加以定義。式加以定義。(7-103)2)令令 dy(t)/dt=0，可得，可得 t=時之解為時之解為(7-104)(7-105)只有只有 1 的情形，的情形，y(t)的的最大值才會發生在最大值才會發生在 t=。3)在在(7-105)式中，步階響應的第一個最大值是出現在式中，步階響應的第

38、一個最大值是出現在 n=1。因此，最大超越量發。因此，最大超越量發 生的時間為生的時間為(7-106)當當 n 為奇數值，即為奇數值，即 n=1，3，5，時，則有超越量出現。當，時，則有超越量出現。當 n 為偶數值時，為偶數值時，則有欠過度出現。則有欠過度出現。時間時間 tmax 為為 和和 n 之函數。之函數。2022/12/1647 CHAPTER 雖然雖然 0 的單位步階響應並非週期性，但響應的最大值和最小值是以週期性出現，的單位步階響應並非週期性，但響應的最大值和最小值是以週期性出現，如如 所示。所示。2022/12/1648 CHAPTER2.超越量和欠過度的幅度：超越量和欠過度的幅

39、度：.,2,1)sin(11)(21/minmax2nnetyn或.,2,1)1(1)(21/1minmaxnetynn或(7-107)(7-108)2)(7-109)式為標準二階系統步階響應的最大超越量，其為阻尼比式為標準二階系統步階響應的最大超越量，其為阻尼比 之函數。之函數。1)令令(7-108)式的式的 n=1 即可求得最大超越量：即可求得最大超越量：21/max1ey最大超越量(7-109)最大超越量百分比為最大超越量百分比為(7-110)21/100e最大超越量百分比3)最大超越量和阻尼比的關係如最大超越量和阻尼比的關係如(7-110)式所示，並繪於式所示，並繪於。2022/12/1649 CHAPTER2022/12/1650 CHAPTER