电力系统暂态能量函数法暂态稳定分析1课件.ppt

1、1.1.暂态能量函数暂态能量函数2.2.单机无穷大系统的直接法暂态稳定分析单机无穷大系统的直接法暂态稳定分析3.3.多机系统的特殊问题多机系统的特殊问题4.4.两种坐标系两种坐标系5.5.多机系统的能量函多机系统的能量函数数6.最近不稳定平衡点法（最近不稳定平衡点法（AUEP）7.故障轨迹对稳定的影响故障轨迹对稳定的影响8.等位能线与位能边界等位能线与位能边界9.相关不稳定平衡点法（相关不稳定平衡点法（RUEP）一个古典的力学概念指出：一个古典的力学概念指出：“对于一个自由的（无外力作用的）动对于一个自由的（无外力作用的）动态系统，若系统的总能量态系统，若系统的总能量E E（E E（X X）0

2、0，X X为为系统状态量）随时间变化率恒为负，则系统系统状态量）随时间变化率恒为负，则系统总能量不断减少，直至最终达到一个最小值，总能量不断减少，直至最终达到一个最小值，即平衡状态，则此系统是稳定的。即平衡状态，则此系统是稳定的。”U.E.PHmvhHS.E.PU.E.P 如左图所示：球在无扰动时，位于稳如左图所示：球在无扰动时，位于稳定平衡点（定平衡点（Stable Equilibrium PointStable Equilibrium Point，S.E.PS.E.P）受扰后，小球在扰动结束时位于高）受扰后，小球在扰动结束时位于高度度 处（以处（以S.E.PS.E.P 为参考点）为参考点）

3、,并具有速并具有速度度 ,则质量为则质量为m m的小球，总能量由动能及的小球，总能量由动能及势能的和组成，即：势能的和组成，即：若球壁有摩擦力，受扰后该能量会在若球壁有摩擦力，受扰后该能量会在摩擦力作用下逐步减少。摩擦力作用下逐步减少。0212mghmvVhv临界能量临界能量 ：设小球所在壁高为设小球所在壁高为 （以（以S.E.PS.E.P为参数点），当小球位于壁为参数点），当小球位于壁沿上且速度为零时（即处于不稳定平衡状态），相应的势能沿上且速度为零时（即处于不稳定平衡状态），相应的势能为为 ，称此位置为不稳定平衡点（，称此位置为不稳定平衡点（Unstable Equilibrium Uns

4、table Equilibrium Point Point，U.E.PU.E.P），相应的势能为系统临界能量），相应的势能为系统临界能量 。crVmgHmgHcrVHcrV根据运动原理可知，在扰动结束时，根据运动原理可知，在扰动结束时，失去稳定，小球最终滚出容器。失去稳定，小球最终滚出容器。小球在摩擦力的作用下，能量小球在摩擦力的作用下，能量 逐渐减少，最终静止于逐渐减少，最终静止于S.E.P.S.E.P.临界状态。临界状态。U.E.PHmvhHS.E.PU.E.PcrVV crVV crVV 三点关键：三点关键：（1 1）找出平衡点。找出平衡点。（2 2）构造一个合理的暂态能量函数（李雅普诺

5、夫函数）构造一个合理的暂态能量函数（李雅普诺夫函数）V V。（3 3）确定和系统临界稳定相对应的函数值，即临界能量。确定和系统临界稳定相对应的函数值，即临界能量。)(XFX)(00X)(求曲线求曲线 的解，的解，判定判定是否稳定。是否稳定。(1)(1)若若 在域在域 内有实数内有实数 使得在初始状态（初态）使得在初始状态（初态）扰动的运动轨迹不超出扰动的运动轨迹不超出 就认为这个系统是稳定的。就认为这个系统是稳定的。)(2)在在 内出发的运动，在内出发的运动，在 不能限不能限定在定在 内，则不稳定。内，则不稳定。3)在在 内出发的运动，内出发的运动，无限接近坐无限接近坐标原点，称之为渐近稳定。

6、标原点，称之为渐近稳定。4)只有当初态点在某一区域，系统才是渐只有当初态点在某一区域，系统才是渐近稳定的，这个区域称之为引力域。近稳定的，这个区域称之为引力域。)(t()t 1)状态变量状态变量X的运动方程的运动方程 2)稳定平衡点取作坐标原点稳定平衡点取作坐标原点 3)在坐标原点附近存在一标量函数在坐标原点附近存在一标量函数 当当 时，时，当当 时时，)(XfX0)0(f)(xV0X0)0(V0X0)(XV4)若若 ,则系统稳定，但不则系统稳定，但不一定回到原点（稳定平衡点）一定回到原点（稳定平衡点）。5)若若 ,则渐近稳定，一定则渐近稳定，一定会回到原点。会回到原点。6)初态点在一定范围初

7、态点在一定范围 ,才满才满足足 ,则这个域称之为引力域。则这个域称之为引力域。0)(XV0)(XV0)(XV0)(XVCXV)(00)(XV0)(XVq例将李氏稳定定理用于线性定常系统例将李氏稳定定理用于线性定常系统 (1-1)(1)满足上述满足上述1）、）、2）条件）条件(2)取二次型函数作为李函数取二次型函数作为李函数 (1-2)满足条件满足条件3)(3)则则 (1-3)AXX PXXXVT)(XPAPAXAXPXPXAXXPXPXXXVTTTTTT)()()()(要求要求 ，即要求，即要求 是负定的。是负定的。选择一个正定矩阵，如单位阵选择一个正定矩阵，如单位阵取取 (1-4)解出用解出

8、用A的元素来表示的的元素来表示的P.（4）代入（）代入（1-2）就得到能使该系统稳定的）就得到能使该系统稳定的李函数李函数;另外还要校核另外还要校核P是正定的条件。是正定的条件。0)(XVPAPTA10.01QQPAPAT .功角特性曲线功角特性曲线,其运行点的运动过程如下页图其运行点的运动过程如下页图1，abcd=defg(包围面积相等包围面积相等).故障切除后的动态过程如图故障切除后的动态过程如图2 efgs=sih .将习惯上的功角特性按将习惯上的功角特性按 相平面来画其运动相平面来画其运动轨迹，如图轨迹，如图3。,此运动最后是趋于稳定的，如有阻尼，则此运动最后是趋于稳定的，如有阻尼，则

9、越转越小，最后稳定在越转越小，最后稳定在 。图中外圈是临。图中外圈是临界切除状态，运动轨迹不是在界切除状态，运动轨迹不是在 切除，而切除，而是是 切除，运行轨迹到临界点是切除，运行轨迹到临界点是 ，可能，可能分为两种情况：一种会转回来，最后到达分为两种情况：一种会转回来，最后到达稳定平衡点；另一种则有可能跑出去，此稳定平衡点；另一种则有可能跑出去，此时可以用混沌数学来研究。这个外框称为时可以用混沌数学来研究。这个外框称为引力域（或稳定域）。切除点在此框内，引力域（或稳定域）。切除点在此框内，系统最后将趋于稳定。系统最后将趋于稳定。sc1cr1us1 1)状态量及其运动方程：状态量及其运动方程：

10、(1-5)(1-6)当当 则平衡，稳态运行。则平衡，稳态运行。当当 则则 有变化。有变化。12eeqE EPXsinsin112122eemgmPPPGEPPPdtdDdtdM0gmPP0gmPP :是发电机本身的损耗，有时忽略不计是发电机本身的损耗，有时忽略不计 :发电机输出的功率发电机输出的功率 2)稳定平衡点取作坐标原点稳定平衡点取作坐标原点 显然上图稳定平衡点在显然上图稳定平衡点在 ，而原来的坐，而原来的坐标原点都不在标原点都不在 ，这样取坐标的结果是将，这样取坐标的结果是将使构造的能量函数使构造的能量函数 在零点时不为零，在零点时不为零，即即 ，所以将坐标原点移动到，所以将坐标原点移

11、动到,将坐将坐标变成标变成 。1121GEsinePssV0)0(VSXs 3)引力域（或称稳定域）引力域（或称稳定域）找引力域，对单机无穷大系统可以看找引力域，对单机无穷大系统可以看出即为不稳定平衡点所在位置，所以首先出即为不稳定平衡点所在位置，所以首先来找不稳定平衡点来找不稳定平衡点 ，对应的临界能量，对应的临界能量函数为函数为 ，与系统故障后的网络结与系统故障后的网络结构有关，即网络吸收发电机发出动能的能构有关，即网络吸收发电机发出动能的能力。计算时用故障后的运动方式，力。计算时用故障后的运动方式，也用也用故障后的值。故障后的值。usCVuscr)(usEqX平衡状态为平衡状态为:(1-

12、7)求解求解 稳定平衡点稳定平衡点 (1-8)不稳定平衡点不稳定平衡点 (1-9)4)函数（定义暂态能量函数函数（定义暂态能量函数,这里用的是这里用的是新坐标系）新坐标系）(1-10)0sinePPesPP1sinseusPP1sin)sin(sin22SeSexPPdtdxDdtxdMV 令令 将功角方程写成状态方程，状态变量为将功角方程写成状态方程，状态变量为 、，则，则状态方程为状态方程为 (1-11a)(1-11b)式中式中为运动方程式中等式右面的项。为运动方程式中等式右面的项。(1-11c)xxS1xx2)(112222121xfMxMDxxfxx)(12xf)sin(sin)(12

13、SeSexPPxf在相平面上找在相平面上找 的变化轨迹，形成能的变化轨迹，形成能量的关系。量的关系。对（对（1-11a）式在）式在 方向上积分，然后乘以方向上积分，然后乘以 是是动能动能：(1-12)对对(1-11b)式在式在 方向上积分，然后乘以方向上积分，然后乘以M是是势能势能：KXVMMXdXXM22220221212,2xM1x11210011e1()(sin()sin)cos()cossin(coscos)()XXSSeeSSSeesSePMfx dxPxPdxMPxPx PPPV 转子角偏移的势能网络结构变化造成的电磁储能 运动轨迹的能量积累可以认为在一个方向运运动轨迹的能量积累可

14、以认为在一个方向运动改变的是位能，在另一个方向上则改变的动改变的是位能，在另一个方向上则改变的是势能，二者无关，可以直接相加。是势能，二者无关，可以直接相加。所以总的暂态能量函数或李函数为所以总的暂态能量函数或李函数为 (1-14)可以验证可以验证)cos(cos)(21),(2SeSPPMV0)0,()0(SVV0),()(VXV0),()(VXV5)判稳条件（稳定条件）判稳条件（稳定条件）求出初态点的能量，将初态点（清除故障瞬求出初态点的能量，将初态点（清除故障瞬间）的坐标位置代入间）的坐标位置代入（1-14）式，求出一个能量。式，求出一个能量。求出引力域（稳定域）求出引力域（稳定域）临界

15、能量临界能量 取取 ,代入代入（1-14）如果如果 ，系统是稳定的。，系统是稳定的。11,usVVus等面积法则：动能动能(1-15)势能势能(1-16)故障切除前的积累能为和的和，所以有(1-17)kVMdMddtdMdPPAcrcrcr22100021)sin(pScrScreeVPPdPPAcrS)()cos(cos)sin(33331),(AAVcrcr1A3A临界能量为和的和：(1-18)(1-19)cos(cos)()sin(332crusecrusePPdPPAuscr)0,()cos(cos)(332usSuseSusVPPAA判稳条件为：判稳条件为：(1-20)即即 (1-2

16、1)所以等面积法则的表达形式为：所以等面积法则的表达形式为：(1-22)(,)(,0)crcrusVV3231AAAA21AA 对于一个对于一个n机系统，第机系统，第i台机有：台机有：(1-23)其中其中 (1-24)(1-25)(1-26)(1-27)(1-28)(1-29)(1-30)eiigimiiiiiPPPPdtdDdtdM22iiimiiGEPP2nijjjiijjiijeiDCP1cossinijjiijBEEC ijjiijGEED eiiiigiPGEP2iiiEEijijijYGjB注意：（注意：（1-23）式并不是一成不变的）式并不是一成不变的：0tcttt0)2()2(

17、22eiiiiiiPPdtdDdtdMctt)3()3(22eiiiiiiPPdtdDdtdM)3(eP剩余的问题是：剩余的问题是：(1)写出能量函数表达式写出能量函数表达式 。(2)写出临界能量函数写出临界能量函数 或故障清除后临界点或故障清除后临界点 ,不同失稳模式是不同的。不同失稳模式是不同的。(3)积累能，决定故障持续轨迹和初态点。积累能，决定故障持续轨迹和初态点。VcrVusus（1）（）（2）两个问题是一个问题，）两个问题是一个问题，解决了解决了 ，只要找到只要找到 ，则另一，则另一个也解决了个也解决了失稳模式多种多样，失稳模式多种多样，并不唯一并不唯一Vusus对于一个对于一个n

18、机系统，失稳模式共有：机系统，失稳模式共有：12)(211121nnnnnCCC 以一个发电机的角度为参考以一个发电机的角度为参考,其余与之比较其余与之比较 状态变量状态变量 与与 ，一般系统中总是要选参考机，一般系统中总是要选参考机，则其它均看成是它的参考值，变量变成则其它均看成是它的参考值，变量变成 ，这时，这时虽有虽有n个个 ，但独立的量就只有，但独立的量就只有n-1个了。个了。有有n个独个独立量。立量。iiigimiiiiiMPPdtdMDdtd22iiini（一）（一）MAR法（法（Machine Angle Reference）:阻尼系数阻尼系数根据根据 可分为：可分为：1.不均匀

19、阻尼不均匀阻尼 ，各个发电机，各个发电机变化的规律不一致变化的规律不一致,则独立的则独立的 变量也是变量也是n个，状态量为（个，状态量为（2n-1）个）个,状态方程为：状态方程为：(1-33)(1-34)nnMDMDMD.2211112121,.,.,nnnnnnnX，1.1,.1,.1iiiieiiininDPPinMiniiMDiiMD2、均匀阻尼均匀阻尼 ，所有发电机受到，所有发电机受到的阻尼是一致的，则令的阻尼是一致的，则令 取状态量为取状态量为 则独立的量为则独立的量为n-1个个,状态方程：状态方程：(1-35)(1-36)其中其中 (1-37)nnMDMDMD.2211iiMDni

20、个个，11211121,.,.,nnnnnnnnnnXnininennieiininiMPPMPPdtdnnMDMDMD.22113.零阻尼零阻尼 方程与（方程与（1-35）（）（1-36）式相同，区别只是）式相同，区别只是其中其中 。0qCOI坐标系分二种：坐标系分二种：全局：全局：考虑系统的全部机组，找一个全系统的中心考虑系统的全部机组，找一个全系统的中心局部：局部：研究局部范围的机组情况，研究此部分的中心研究局部范围的机组情况，研究此部分的中心q中心运动方程中心运动方程要写一个全系统的运动方程，可将各台机的运动要写一个全系统的运动方程，可将各台机的运动方程相加，然后将其中的各量按照运动方

21、程式的形式方程相加，然后将其中的各量按照运动方程式的形式重新归类，得到新的全系统的方程式，称之为：重新归类，得到新的全系统的方程式，称之为：(二二)COI(COA)坐标系坐标系(Center of Intention/Angle)中心运动方程式：中心运动方程式：(1-38)其中惯量中心等值转子角：(1-39)参考中心的惯性：(1-40)中心角速度：(1-41)以 为参考的发电机 的角度：(1-42)电磁功率阻尼中心的运动ninijijijniiniiiTTDPDDM111100cos2niiiTMM101niiTMM1000i0ii (1-43)惯性中心阻尼惯性中心阻尼 (1-44)用用 表示

22、中心的不平衡功率（电磁功率）：表示中心的不平衡功率（电磁功率）：(1-45)(1-46)0iiiniiTDD1ijjiijGEED ijjiijijninijijniiCOIDPPcos2111 COIiniiTTPDDM 100COIP每一台机的阻尼每一台机的阻尼惯量中心阻尼惯量中心阻尼 对对 进行分析：进行分析：u惯量中心角惯量中心角 的加速度为的加速度为u造成加速的不平衡功率为造成加速的不平衡功率为u阻尼项有二项阻尼项有二项0 0COIPCOIiniiTTPDDM 100对惯量中心对惯量中心 振荡产生的阻尼，系数为振荡产生的阻尼，系数为对每一台机相对于惯量中心的运动所产生的阻尼，系数为对

23、每一台机相对于惯量中心的运动所产生的阻尼，系数为TDiD0与单机的形式相比较，多了一项阻尼项，并且表示较复杂。这是由不均匀与单机的形式相比较，多了一项阻尼项，并且表示较复杂。这是由不均匀阻尼造成的阻尼造成的。第第 台机的运动方程式为：台机的运动方程式为：(i =1.2.n)(1-47)(i =1.2.n)(1-48)iCOITieiiTTiiniiiTiiiiiPMMPPDMMDDMMDM01)()(0iiiu将（将（1-47）式与（）式与（1-23）比较，可看到在原来的不平）比较，可看到在原来的不平衡功率增加了一项衡功率增加了一项 ，按转动惯量分配到每台机。，按转动惯量分配到每台机。u由不平

24、衡功率产生的加速度由不平衡功率产生的加速度 是相对中心的。是相对中心的。u阻尼项的关系很复杂，对每个角速度的阻尼也有二种，阻尼项的关系很复杂，对每个角速度的阻尼也有二种，一种是对角速度一种是对角速度 ，另一种是对角速度偏移的，另一种是对角速度偏移的 ，均，均是不均匀阻尼而造成的。是不均匀阻尼而造成的。iCOITMPMi0i用惯量中心坐标系的优点用惯量中心坐标系的优点：（1）一个系统发生振荡，如果把其中某）一个系统发生振荡，如果把其中某一块用一个中心来代替，这比讨论每一台一块用一个中心来代替，这比讨论每一台机要方便；而且讨论块与块之间或发电机机要方便；而且讨论块与块之间或发电机与块之间的分析时也

25、要来得方便些；与块之间的分析时也要来得方便些；从实从实用上来看已取得好处的是局部能量函数用上来看已取得好处的是局部能量函数，即讨论一个块的中心运动，带来了许多方即讨论一个块的中心运动，带来了许多方便，其正是依靠了便，其正是依靠了COI的特点。的特点。（2）如果用了均匀阻尼或零阻尼来分析问）如果用了均匀阻尼或零阻尼来分析问题，在题，在COI坐标系中用起来最不方便的那坐标系中用起来最不方便的那一项可以得到大大改善，其不方便之处甚一项可以得到大大改善，其不方便之处甚至可以消除掉。至可以消除掉。一、均匀阻尼时的情况一、均匀阻尼时的情况首先推一些公式，以备用首先推一些公式，以备用得出以下关系：得出以下关

26、系：(1-48a)上式导数为上式导数为0，即，即 (1-48b)iniiTiiiMM1010)1()1(11111111niiiniiininiiiiiniiiniiniiTiiiniiMMMMMMMMMM01iniiM因为均匀阻尼因为均匀阻尼 是常数是常数所以所以 (1-48c)通过推导可得均匀阻尼的惯量中心运动方程式：通过推导可得均匀阻尼的惯量中心运动方程式：(1-49)均匀阻尼时，每台机的运动方程均匀阻尼时，每台机的运动方程 (1-50)01iniiD00TTCOIMDP ciCOATieiiiiiiPMMPPDM nnMDMDMD.2211*均匀阻尼的惯量中心方程已是非常简单，物理概均

27、匀阻尼的惯量中心方程已是非常简单，物理概念也非常清晰。念也非常清晰。二、零阻尼二、零阻尼*如果是零阻尼如果是零阻尼 ，则（，则（1-49）（）（1-50）又可以）又可以简化为：简化为：中心运动方程中心运动方程 (1-51)每台机运动方程每台机运动方程 (1-52)COATPM0 iiiieiCOATiiMMPPPM0用均匀阻尼的惯量运动方程式有二个优点：用均匀阻尼的惯量运动方程式有二个优点：1)用惯量中心分块方程；用惯量中心分块方程；2)形式与以前讨论的差不多。形式与以前讨论的差不多。将运动方程将运动方程(1-52)按按 、二个方向积分，即可得、二个方向积分，即可得动能和势能：动能和势能：动能

28、：动能：位能：位能：1）项项 (1-52-1)2）积分项包括两项：积分项包括两项：项项 (1-52-2)2121iniiMiniCOATieiidPMMPPisi1iP)(1siiniiPeiP11111sincoscosisinnnnsijijiijijijijij ij iCdC ijC以上推理用到的技巧：以上推理用到的技巧：所以所以最后得到的形式为最后得到的形式为 (结果为结果为1-52-2)jiijjiijjiijsinsinijijijjijijiijijjjijiiijijdCdCdCdCdCsinsinsinsinsinijijninijijdCisisin11 部分部分 积分最

29、后得到的结果是：积分最后得到的结果是：(1-52-3)ijD)()(111)()()sin(sinsijcijsjsicjcisijijninijijbabaD 其中jiijninijjijddDijsij cos11 3）积分项积分项由（由（1-48）式可知）式可知 所以所以3）项积分为零）项积分为零(只有在全系统的能量时只有在全系统的能量时)。所以全系统（全局）的能量函数（零阻尼时）为：所以全系统（全局）的能量函数（零阻尼时）为：(1-53)10iissiiniCOAiCOAiiiTTMPPdM dMMni=1niiiM10211211111111(1521)(1522)(1523)21(

30、)(coscos)2(sinsin)niiinnnnssiiiiiijijijiiij innsijijijij iVMMPCaDb COATiPMMq讨论：讨论：1)动能动能由（由（1-48）所以所以 2121iniiM2222000()2iiii01iniiM01iniiM10niiiM010niiiM222011111222nniiiiTiiMMM其中其中 是对系统失步不起作用的惯量中心是对系统失步不起作用的惯量中心本身的运动动能本身的运动动能从动能可以解耦来看，每台机各自的动能与中心从动能可以解耦来看，每台机各自的动能与中心的动能分别考虑，这是用的动能分别考虑，这是用COA坐标系的优点

31、之坐标系的优点之一。一。2012TM2）势能）势能q位置势能位置势能(1-52-1)展开展开可看成转子角的势能可看成转子角的势能q磁性势能磁性势能(1-52-2)表示支路表示支路 ，因为角度变化引，因为角度变化引起的电磁储能起的电磁储能(即从一个特性变化到另一个特性多即从一个特性变化到另一个特性多出来的能量出来的能量)。q耗散势能耗散势能(1-52-3)式为电导损耗项。式为电导损耗项。)()()(00111sniinisiiisiiniiPPPij（1-53）式符合李雅普诺夫稳定条件，即）式符合李雅普诺夫稳定条件，即所以该函数是一个李雅普诺夫函数，要判所以该函数是一个李雅普诺夫函数，要判别是否

32、稳定，只要找出初态点，将别是否稳定，只要找出初态点，将 与与 作作比较即可。比较即可。0)(0)0(0)(XVVXVcrVV 多机系统稳定的特点：多机系统稳定的特点：失稳模式多种多样。失稳模式多种多样。所谓所谓AUEP方法方法，即为找出一个系统失稳模，即为找出一个系统失稳模式中最容易失稳的模式，求出其式中最容易失稳的模式，求出其 ，与对，与对应初态点的总能量作比较，则可以判别稳定。应初态点的总能量作比较，则可以判别稳定。具体步骤如下：具体步骤如下：crV方法一方法一1 由由n-1个独立的运动方程，求出个独立的运动方程，求出n-1个稳定个稳定 平衡点平衡点a、用故障切除后的运动方程。用故障切除后

33、的运动方程。b、用用 为初值。为初值。c、用牛顿法迭代求解。用牛顿法迭代求解。注意注意：a.这里是取这里是取MAR坐标系，以坐标系，以n机为参考。机为参考。b.一机无穷大系统求得解是一机无穷大系统求得解是 。snsisi0s2 求解出求解出 个个 与与 的组合方式。的组合方式。3 将将 种组合方式以种组合方式以 与与 代入代入V函数，即函数，即可求出可求出 种的能量种的能量V，然后在其中找出，然后在其中找出 个个 。4.在在 个中取得最小的一个个中取得最小的一个 ，认为就是，认为就是 最容易失稳的模式，它的最容易失稳的模式，它的 与与 的组合方式就的组合方式就 是是AUEP(最近不稳定平衡点最

34、近不稳定平衡点)。121nsususs121n121n121ncrVuss121ncrV方法二方法二1.同方法一。同方法一。2.认为多机系统认为多机系统 ,即用即用 来表来表示示i机的近似值机的近似值 ，以，以 与与 的的 种组种组合方式作为失稳的角度状态。如图所示，当以合方式作为失稳的角度状态。如图所示，当以 为为坐标原点，则原来的以坐标原点，则原来的以 的坐标就变为的坐标就变为 usiss2si2sus2si2s121nus提出方法二的人认为多机系统的提出方法二的人认为多机系统的 并不是像一机无并不是像一机无穷大系统那样是不稳定平衡点，而是接近不稳定平衡点穷大系统那样是不稳定平衡点，而是接

35、近不稳定平衡点s2 3.代入代入 函数求出函数求出 个近似的个近似的4.同方法一，取最小的一个同方法一，取最小的一个 ,认为其是最容易认为其是最容易失稳的模式，取其失稳的模式，取其 （近似的）与（近似的）与 的组合方的组合方式式的角度作为初值，的角度作为初值，代入运动方程式，求出代入运动方程式，求出 的精确值。的精确值。V121nncrVncrVusnsus5.用精确的用精确的 与与 代入代入 函数，求出精确函数，求出精确 (min)，此，此 即为最小的，即最近不稳定平即为最小的，即最近不稳定平衡点的那个衡点的那个 ，失稳模式。，失稳模式。usnsVcrVcrVcrVAUEP法的特点：法的特点

36、：q在整个运算的过程中，基本上用的是一机在整个运算的过程中，基本上用的是一机对无穷大系统的模式，认定有一个函数对无穷大系统的模式，认定有一个函数，与其区别是考虑了失稳模式；与其区别是考虑了失稳模式；q该方法只用了一种运动方程式该方法只用了一种运动方程式(故障后的故障后的),因为其基本出发点是定因为其基本出发点是定 函数，故上需函数，故上需考虑故障时考虑故障时的。的。VVAUEP法的问题：法的问题：1.没有考虑故障切除点的位置。没有考虑故障切除点的位置。2.没有考虑稳态运行点没有考虑稳态运行点 的影响以及故障持续的影响以及故障持续轨迹对故障切除点的影响。轨迹对故障切除点的影响。3.在在 中找出最

37、小的，认为其角度组合方式就中找出最小的，认为其角度组合方式就是最容易失稳的方式或者是运动越出稳定边界的是最容易失稳的方式或者是运动越出稳定边界的位置没有充分的论据。位置没有充分的论据。0crV 4.若若AUEP法正确，只要清除故障后的网络结构相法正确，只要清除故障后的网络结构相同，则失稳模式就一定相同，这与事实不符。而事实上，同，则失稳模式就一定相同，这与事实不符。而事实上，不同的故障方式，清除故障后，其网络结构可以相同，不同的故障方式，清除故障后，其网络结构可以相同，但失稳模式却不一定相同。但失稳模式却不一定相同。总之，总之，AUEP法考虑问题不够全面，其仅考虑法考虑问题不够全面，其仅考虑V

38、函数，故障后系统吸收的能量是多少，关键问函数，故障后系统吸收的能量是多少，关键问题是故障轨迹没有考虑。如考虑故障轨迹，则上题是故障轨迹没有考虑。如考虑故障轨迹，则上述四个问题将迎刃而解。述四个问题将迎刃而解。q故障轨迹的影响因素：故障轨迹的影响因素：1.从从 开始运动开始运动 （1-55）2 故障持续方程式故障持续方程式（1-56）3 故障清除后，运动方程式故障清除后，运动方程式写为（1-57）0i0)0(XXctt 0),(1fPXFX ctt),(2pfPXFX 前两条决定了故障轨迹,第3条决定了系统释放能量的能力一机无穷大系统的轨迹一机无穷大系统的轨迹:a、则运动轨迹从则运动轨迹从scU

39、EPb、则直接失稳，不经过则直接失稳，不经过UEP。crtt crtt UEPsccrtscUEP1U0X 1ct2ct3ctcrt4ctnU3U2UcrcttcrcttsX 临界轨迹UEP势能边界面持续故障轨迹多机系统的轨迹：多机系统的轨迹：系统故障前稳定平衡点为系统故障前稳定平衡点为 ，发生故障后，转子开，发生故障后，转子开始摇摆，故障轨迹如图实线。始摇摆，故障轨迹如图实线。q故障在区间故障在区间 切除切除系统稳定，转子角轨迹最终趋于故障后稳定平衡点系统稳定，转子角轨迹最终趋于故障后稳定平衡点 ，可能去同一个稳定平衡点，但也不排除去不同的稳定平可能去同一个稳定平衡点，但也不排除去不同的稳定

40、平衡点。衡点。q在临界切除时间在临界切除时间 切除故障切除故障则系统处于临界状态，即实际切除时间则系统处于临界状态，即实际切除时间 时，系时，系统失稳；统失稳；时，系统稳定，相应的轨迹在势能达到时，系统稳定，相应的轨迹在势能达到最大时，轨迹分叉。最大时，轨迹分叉。0S31ccttSX crtcrcttcrcttq若在若在 时切除故障时切除故障系统不稳定，相应轨迹在系统不稳定，相应轨迹在 达到达到 ，此时此时和和U点对应的点对应的 不等。不等。q若故障持续不切除若故障持续不切除则在则在 达到达到 max.)2(PVmax.)1(PVnUmax.PV2Ucrctt4将将 有相似性质的点连起来形成的

41、虚线，称有相似性质的点连起来形成的虚线，称之为之为位能最高线位能最高线，多机系统的，多机系统的 个个UEP点在点在此线上，而只有此线上，而只有 点为不稳定平衡点时，位能达到点为不稳定平衡点时，位能达到最大时，动能为零，其它点虽然也失稳，但动能不最大时，动能为零，其它点虽然也失稳，但动能不为零。为零。q位能最高线位能最高线(势能边界势能边界)nUUU.,21121n1Uq通过多机系统的故障轨迹分析说明以下几点：通过多机系统的故障轨迹分析说明以下几点：1故障持续轨迹故障持续轨迹和清除和清除故障后的网络结构故障后的网络结构二个因二个因素均影响稳定，造成有许多失稳模式，许多稳定域。素均影响稳定，造成有

42、许多失稳模式，许多稳定域。2一种故障，一种故障后的网络结构，则表示只一种故障，一种故障后的网络结构，则表示只有一个碗的形式，最大位能边界也只有一个有一个碗的形式，最大位能边界也只有一个(如果持如果持续轨迹不同续轨迹不同,越出边界的点也不同越出边界的点也不同)。3持续轨迹相同，不同的清除时间，则越出边界持续轨迹相同，不同的清除时间，则越出边界的位置也不一样：的位置也不一样：进入相同或不同的进入相同或不同的SEP；在不同点越出稳定边界。在不同点越出稳定边界。crtt crtt 在稳态点在稳态点 时发生故障时发生故障 形成状态点的集合形成状态点的集合称为称为不变集不变集。事故后系统的所有轨迹集称为。

43、事故后系统的所有轨迹集称为事故后系统的不变集事故后系统的不变集。是不变集是不变集 的的能量函数，应该满足稳定定理，即能量函数，应该满足稳定定理，即是正定的，大，是正定的，大，也增大。也增大。是负定的。是负定的。轨迹发散，引向位能边界进入失稳。轨迹发散，引向位能边界进入失稳。0X isXXV0)0(VsXXVctsXXVsXXVcrtt 这种这种 函数的写法是一个点集，当另有故障函数的写法是一个点集，当另有故障 ，则有另外，则有另外的故障轨迹，有另外的边界，另外的不变集。如图的故障轨迹，有另外的边界，另外的不变集。如图：二种故障，稳态点可以相同，这里有二个不变集。二种故障，稳态点可以相同，这里有

44、二个不变集。VjI故障j位能的表达式：位能的表达式：(1-58)可以求出随着角度变化的多个点位能，可以求出随着角度变化的多个点位能，将等位能的点连接起来，可以得到一个将等位能的点连接起来，可以得到一个等位能线。以一个三机系统为例，在不等位能线。以一个三机系统为例，在不变集中，按等位能画出一个等位能线图。变集中，按等位能画出一个等位能线图。（以（以3号机为参考）号机为参考）SEP点作为点作为 的参考点，的参考点，为极小值为极小值点，其附近的与点，其附近的与 成为围绕点的附近曲成为围绕点的附近曲 iniidPPEdfVVVisi1)()(PV0sPVPV 曲线。曲线。UEP点可能是极大值点，如图中

45、点可能是极大值点，如图中 ，则其周围的则其周围的 线是围绕它的封闭曲线，称之线是围绕它的封闭曲线，称之为峰点为峰点,也可能是鞍点（也可能是鞍点（Saddle Point）,其其势能在最大或最小之间（如图势能在最大或最小之间（如图 、）、）,定义一定义一个个SEPs21)9(3UPV1U2U 碗沿称势能边界面为通过各碗沿称势能边界面为通过各UEP点、并和各等位能曲点、并和各等位能曲线正交，从而反映了线正交，从而反映了 的梯度方向的曲线，如图中红的梯度方向的曲线，如图中红线，对于高维空间线，对于高维空间PEBS（Potential Energy Boundary Surface）为一超曲面，从）为

46、一超曲面，从SEP点看点看PEBS，尤如从势能尤如从势能“山坡山坡”的的“谷底谷底”看看“山脊山脊”，没实际，没实际的故障轨迹空越的故障轨迹空越PEBS，系统失去稳定。从图中可以，系统失去稳定。从图中可以看出看出PEBS上的势能是由峰点（上的势能是由峰点（）向鞍点（）向鞍点（、）逐、）逐渐降低，最低点为渐降低，最低点为 ，按，按AUEP法，失稳肯定是法，失稳肯定是3.2这条线，但按故障轨迹方式来看，这条线，但按故障轨迹方式来看，、均有可能均有可能失稳，要看运动轨迹如何。失稳，要看运动轨迹如何。PV3U1U2U)2,3(2U1U2U有了这张图，可以看故障轨迹怎么跑，与故障轨迹约有了这张图，可以看

47、故障轨迹怎么跑，与故障轨迹约束的位置，下面再来看一张图。在转子相对角坐标作出束的位置，下面再来看一张图。在转子相对角坐标作出了某系统受扰动时的等位能线及转子运动轨迹，势能边了某系统受扰动时的等位能线及转子运动轨迹，势能边界面，可以看出它们彼此之间的关系。界面，可以看出它们彼此之间的关系。0 U30持续轨迹 鞍点RUEP 临界轨迹势能边界面PEBSU1U21323 要找的要找的 实际上是临界轨迹与势能边界面的交点，实际上是临界轨迹与势能边界面的交点，但是由于真正的临界能量但是由于真正的临界能量 难以求得，但是可以从难以求得，但是可以从图中看出，持续故障轨迹穿越图中看出，持续故障轨迹穿越PEBS时

48、具有的势能和时具有的势能和临界轨迹到达临界轨迹到达PEBS的势能，以及靠近临界势能附近的势能，以及靠近临界势能附近的一个鞍点的势能虽然大小不等，但只要系统不病态，的一个鞍点的势能虽然大小不等，但只要系统不病态，这三个点是具有相近的势能这三个点是具有相近的势能 ，这样我们就可以避开，这样我们就可以避开直接求临界势能，而分别以这个鞍点（称之为相关不直接求临界势能，而分别以这个鞍点（称之为相关不稳定平衡点稳定平衡点relevant UEP）的势能和）的势能和 的势能来作的势能来作为近似值，这样就产生了为近似值，这样就产生了 二种方法：二种方法：相关不稳定平衡点法相关不稳定平衡点法RUEP法（以法（以

49、RUEP点的能量近点的能量近似似 ）和势能边界面法）和势能边界面法PEBS法法。crV2UPV3UcrV相关不稳定平衡点的基本思想是相关不稳定平衡点的基本思想是UEP的选择应该与具体的故障情况有关，从而的选择应该与具体的故障情况有关，从而克服前面克服前面AUEP法完全没有考虑到不同故法完全没有考虑到不同故障类型和地点之间差异而造成的保守性。障类型和地点之间差异而造成的保守性。提出提出RUEP法的人认为按照原来的故障轨迹法的人认为按照原来的故障轨迹难以搜寻难以搜寻 ，则可以另外构造一条轨迹，起点，则可以另外构造一条轨迹，起点为稳定平衡点为稳定平衡点 ，与原来的轨迹的交点为，与原来的轨迹的交点为

50、，这一点参照一机无穷大系统（以临界切除这一点参照一机无穷大系统（以临界切除点点 ）为动能最大，势能最小点，（但对多）为动能最大，势能最小点，（但对多机系统不一定在机系统不一定在 ）以此二点连线形成一个方）以此二点连线形成一个方向，沿此方向搜索，到某一点向，沿此方向搜索，到某一点 ，这一点势能，这一点势能最大，动能最小，（最接近最大，动能最小，（最接近 ，但动能不为零，但动能不为零，沿此轨迹无法找到沿此轨迹无法找到 ，只能找到，只能找到 ）将其）将其ctncrVcrVnVcrVSSScct 作为初值，代入运动方程可以得到一个作为初值，代入运动方程可以得到一个精确的精确的 ，其对应的势能（在势能边