洛必达法则详解一元分析学经典讲义课件.ppt

1、上页 下页 返回 首页 结束 洛必达法则洛必达法则)(rulesHospitalL型未定式解法型及一、?00型未定式解法二、00,1,0,0?洛必达法则型未定式解法型及一、)(00HospitalL?定义.00)()(lim,)()(,型未定式或称为那末极限大都趋于零或都趋于无穷与两个函数时如果当?xFxfxFxfaxax例如,tanlim0 xxx?,sinlnsinlnlim0 xxx?)00()(?上页 返回 下页).()()(lim)()(lim);()()(lim)3(;0)()()(,)2(;)()(,)1(AxFxfxFxfAxFxfxFxFxfaxFxfaxaxaxax?那末有

2、限或无穷大都存在且及点的某去心邻域内在或都趋于无穷大都趋于零及函数时当设定理 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为 洛必达法则.,该法则仍然成立作相应变动，其它条件时比如极限过程换为其它若?xax上页 返回 下页 证 定义辅助函数,0),()(1?axaxxfxf,0),()(1?axaxxFxF,),(0 xaN内任取一点在?,为端点的区间上与在以xa,)(),(11件满足柯西中值定理的条xFxf则有)()()()()()(1111aFxFafxfxFxf?)()(11?Ff?)(之间与在ax?,aax?时当,)()(limAxFxfax?,)()(l

3、imAFfa?.)()(lim)()(limAFfxFxfaax?)()(?Ff?.00情形仅证上页 返回 下页 例1 解.tanlim0 xxx?求求)()(tanlim0?xxx原式1seclim20 xx?.1?例2 解.123lim2331?xxxxxx求12333lim221?xxxx原式266lim1?xxx.23?)00()00(上页 返回 下页 例3 解.1arctan2limxxx?求22111limxxx?原式221limxxx?.1?例4 解)0,0(.sinlnsinlnlim0?babxaxx求axbxbbxaxaxsincossincoslim0?原式.1?)00(

4、)(?axbxxcoscoslim0?上页 返回 下页 例5 解.3tantanlim2xxx?求xxx3sec3seclim222?原式xxx222cos3coslim31?xxxxxsincos23sin3cos6lim312?xxx2sin6sinlim2?xxx2cos26cos6lim2?.3?)(?法则可多次使用 上页 返回 下页 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好但与其它求极限方法结合使用，效果更好.比如比如等价替换、非0极限先求等等.例6 解.tantanlim20 xxxxx?求30tanl

5、imxxxx?原式xxxx6tansec2lim20?22031seclimxxx?xxxtanlim310?.31?上页 返回 下页 例 解.)11(tan)cos1(lim2220?xxxexx求22lim2240 xxxx?原式1lim0?x.1?)00()1(?xe因式例.)21(21lim220 xexxexxx?求解 220221limxxexx?原式xexx21lim20?22lim20 xxe?.1?)00(上页 返回 下页 型未定式解法二、00,1,0,0?例7 解.lim2xxex?求)0(?2limxexx?原式2limxxe?.?关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解

6、决的类型 .),00()(?型?0.1步骤:,10?.0100?或xexx2lim?上页 返回 下页 例8 解).1sin1(lim0 xxx?求)(?0101?.0000?xxxxxsinsinlim0?原式型?.2步骤:.lnlim0 xxx?求例8 解 10lnlim?xxx原式210lim?xxxxx0lim?0?)0(?xxxxxxx2cos1limsinlim020?xxx22/lim20?.04lim0?xx上页 返回 下页 步骤:型型00,1,0.3?ln001ln0ln0010eee.0?例9 解.lim0 xxx?求)0(0 xxxeln0lim?原式xxxelnlim0?

7、2011limxxxe?0e?.1?xxxe1lnlim0?ln01ln0ln0上页 返回 下页 例10 解.lim111xxx?求)1(?xxxeln111lim?原式xxxe?1lnlim111lim1?xxe.1?e例11 解.)(cotlimln10 xxx?求)(0?,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex?)ln(cotln1lim0 xxx?xxxx1sin1cot1lim20?xxxxsincoslim0?,1?.1?e原式另解)1(11lim1?xxxe原式.1?e)1(limlim?uvveu常用上页 返回 下页 例12 解.coslimxxxx?求1sin1lim

8、xx?原式).sin1(limxx?极限不存在 洛必达法则失效。)cos11(limxxx?原式.1?注意：洛必达法则的使用条件:例13.coslim20 xxx?求)(?212sinlim0?xxx错：原式(1)A存在（有限或无穷）；(2)未定型 LHospital 法则不是万能的！,00.?上页 返回 下页 三、小结 洛必达法则洛必达法则 型00,1,0?型型?型型?0型00型?gfgf1?fgfggf1111?取对数令gfy?通分 洛必达法则是求未定式的一种有效方法，可多次使用，但不是万能的.它与其它求极限方法结合使用，效果更好.比如等价替换、非0极限先求等 上页 返回 下页 思考题思考

9、题 设)()(limxgxf是不定型极限，如果)()(xgxf?的极限不存在，是否)()(xgxf的极限也一定不存在？举例说明.上页 返回 下页 思考题解答 不一定 例,sin)(xxxf?xxg?)(显然?)()(limxgxfx1cos1limxx?极限不存在 但?)()(limxgxfxxxxxsinlim?1?极限存在 上页 返回 下页 一、填空题：1、洛必达法则除了可用于求“00”，及“?”两种类型 的 未定 式的 极 限外，也可 通过 变 换解 决_，_，_，_，_，等型的未定式的求极限的问题.2、xxx)1ln(lim0?=_.3、xxx2tanln7tanlnlim0?=_.练 习 题 上页 返回 下页 二、用洛必达法则求下列极限：1、22)2(sinlnlimxxx?；2、xxxarctan)11ln(lim?；3、xxx2cotlim0?；4、)1112(lim21?xxx；5、xxxsin0lim?；6、xxxtan0)1(lim?；7、xxx)arctan2(lim?.上页 返回 下页 三、讨论函数?0,0,)1()(2111xexexxfxx当当,在处点0?x的连续性.上页 返回 下页 一、1、00,0,1,0?；2、1；3、1.二、1、81；2、1；3、21；4、21；5、1；6、1；7、?2e.三、连续.练习题答案 上页 返回 下页