李贤平-概率论基础-Chap4(高等教学)课件.ppt

1、第四章第四章 数字特征与特征函数数字特征与特征函数 第一节第一节 数学期望数学期望第二节第二节 方差、相关系数、矩方差、相关系数、矩第三节第三节 母函数母函数(略）略）第四节第四节 特征函数特征函数第五节第五节 多元正态分布多元正态分布(略）略）1高级教育一、数学期望的概念一、数学期望的概念数字特征是由随机变量决定的一些常数，期望与方差数字特征是由随机变量决定的一些常数，期望与方差是其中最重要的两个特征，它们只能刻化随机变量的部分是其中最重要的两个特征，它们只能刻化随机变量的部分性质。性质。数学期望数学期望(Mathematical Expectation)是一个随机变量是一个随机变量的平均取

2、值，是它所有可能取值的加权平均，权是这些可的平均取值，是它所有可能取值的加权平均，权是这些可能值相应的概率。能值相应的概率。4.1 数学期望数学期望 2高级教育例例4.1.1 一位射击教练将从两个候选人中挑选一人作为一位射击教练将从两个候选人中挑选一人作为他的队员，甲还是乙的成绩更好？他的队员，甲还是乙的成绩更好？成绩成绩(环数环数)甲的概率甲的概率乙的概率乙的概率80.10.290.30.5100.60.3解解.以以、分别表示甲、乙射击一分别表示甲、乙射击一次的结果，次的结果，的数学期望的数学期望(甲射击一次的平均成绩甲射击一次的平均成绩)是是E=80.1+90.3+100.6=9.5(环环

3、)，同理，乙射击一次的平均成绩同理，乙射击一次的平均成绩是是E=80.2+90.5+100.3=9.1(环环)。3高级教育二二.离散随机变量的数学期望离散随机变量的数学期望如果如果 的分布律为的分布律为级数绝对收敛的条件是为了保证期望不受求和顺序的影响。级数绝对收敛的条件是为了保证期望不受求和顺序的影响。()1,2,iiPxpi111()().iiiiiiiiix px pEEx p若级数收敛，则称级数的值为随机变量 的数学期望，记为，即有 数学期望反映了随机变量取值的中心趋势。数学期望反映了随机变量取值的中心趋势。4高级教育几种重要的离散型分布的期望：几种重要的离散型分布的期望：(1)（01

4、）分布：）分布：pXkp1p10()0(1)1E Xppp (,).Xb n p(2)二项分布：二项分布：,0,1,2,kkn kknpP XkC p qkn01()nnkkn kknkkE XkpkC p q11111().nkkn knnknpCpqnp pqnp5高级教育(3)泊松分布：泊松分布：0,1,2,!kP Xkekk，()XP(4)几何分布：几何分布：1,1,2,kP Xkqp k111()kkkkE Xkpkqp211().1(1)qppqqp11()()kkkkpqpq101()!(1)!kkkkeE Xkee ekk6高级教育例例 随机变量随机变量 取值取值 ，对应的概率

5、，对应的概率为为 ，则由于则由于 ，因此它是概率分，因此它是概率分布，而且布，而且2(1),1,2,kkkxkk 12kkp 10,1kkkpp111(1)ln2.kkkkkx pk 但是但是111|.kkkkxpk 因此，因此，的数学期望不存在。的数学期望不存在。从上面的例子可以看出，其中从上面的例子可以看出，其中重要的离散型分布的参数重要的离散型分布的参数都可由数学期望算得都可由数学期望算得，因此它是一个重要的概念。，因此它是一个重要的概念。7高级教育例例4.1.3 某人有某人有 10 万元，如果投资于一项目将有万元，如果投资于一项目将有 30%的的可能获利可能获利 5 万，万，60%的可

6、能不赔不赚，但有的可能不赔不赚，但有10%的可能的可能损失全部损失全部 10 万元；同期银行的利率为万元；同期银行的利率为 2%，问他应该如，问他应该如何决策？何决策？解解.以以 记这个项目记这个项目 的投资利润。的投资利润。利润利润 5 0 -10概率概率 0.3 0.6 0.1平均利润为：平均利润为：E=50.3+00.6+(-10)0.1=0.5，而同期银行的利息是而同期银行的利息是 100.02=0.2，因此从期望收益的角度应该投资这个项目。因此从期望收益的角度应该投资这个项目。8高级教育例例4.1.4 假定某人设计了如下一个赌局假定某人设计了如下一个赌局：每个人从有每个人从有 3 张

7、张假币的假币的 10 张张 100 元纸币中随机地抽出元纸币中随机地抽出 4 张。如果全是真张。如果全是真的，则赢得这的，则赢得这 400元；如果这元；如果这 4 张中至少有一张假币，只张中至少有一张假币，只输输 100 元。问这种规则是否公平，或者说你是否愿意参元。问这种规则是否公平，或者说你是否愿意参加？加？解解.一个公平合理的赌博或博弈规则必须是双方的平均获一个公平合理的赌博或博弈规则必须是双方的平均获利都等于利都等于 0。以以 记每局赌博中庄家的获利记每局赌博中庄家的获利(可以为负可以为负)，则，则 所有可所有可能的取值是能的取值是-400 与与 100。9高级教育15400 500

8、50在古典概率模型中已经得到在古典概率模型中已经得到 的分布律的分布律xkpk-40061006 的数学期望的数学期望，即庄家在每局赌博中，即庄家在每局赌博中的平均获利为的平均获利为：E=(-)+=6 6 3这种赌博对庄家有利，平均每一局这种赌博对庄家有利，平均每一局他将净赚他将净赚 16.67 元。元。47410 CC10高级教育三三.连续随机变量的数学期望连续随机变量的数学期望如果如果 的密度函数的密度函数 p(x)满足满足则则连续随机变量连续随机变量 的数学期望是积分：的数学期望是积分：否则称为这个随机变量的期望不存在否则称为这个随机变量的期望不存在,|)(|dxxxp()(),Exp

9、x dx11高级教育几种常用连续型分布的期望：几种常用连续型分布的期望：(1)(1)均匀分布均匀分布1,()0,axbp xba其它dxxxfXE)()()().2baXxabE Xxp x dxdxba的数学期望为 12高级教育(2)(2)指数分布指数分布 000 xexp xx01xe),(2NX(3)(3)柯西分布柯西分布(期望不存在期望不存在)由于由于2201|2,(1)(1)xxdxdxxx 故数学期望不存在。故数学期望不存在。00000()()()()1()xxxE Xxp x dxxp x dxxp x dxx edxxd eedx 211(),1p xxx 13高级教育22()

10、21()2xp xexR2222()2221()()2()1()212xttE Xxp x dxxedxxttedtedt令(4)(4)正态分布正态分布14高级教育1(,)0()()00rrxXrxexp xrx，(5)Gamma分布分布100()()1()()()(1).()rrxrxE Xxxedxrx edxrrrr15高级教育四四.一般场合：一般场合：适合一切随机变量的数学期望的定义适合一切随机变量的数学期望的定义 若随机变量若随机变量 的分布函数为的分布函数为F(x)，类似于连续型的场合，类似于连续型的场合，作很密的分割，作很密的分割 ，则，则 落在落在 中的中的概率等于概率等于 ，

11、因此，因此01nxxx1,)iix x1()()iiF xF x1()()iiiixF xF x 与以概率与以概率 取值取值 的离散型随机变量近似的离散型随机变量近似，而后者的数学期望为，而后者的数学期望为1()()iiF xF xix 注意到上式是注意到上式是Stieltjes积分积分 的渐近和式。的渐近和式。d()x F x16高级教育数学期望的一般定义：数学期望的一般定义：如果如果 的分布函数的分布函数 F(x)满足满足则则 的数学期望定义成的数学期望定义成Stieltjes 积分：积分：否则否则称这个称这个随机变量的期望不随机变量的期望不存在存在.|(),x dF x E()().xd

12、F x17高级教育Riemann积分的推广积分的推广:Stieltjes积分积分(1)F(x)在在xk 处具有跳跃度处具有跳跃度pk 时时,化为化为级数级数.)()(xdFxgI1().kkkIg xp=(2)F(x)存在导数存在导数p(x)时时,化为化为Riemann 积分积分()(),Ig x p x dx18高级教育设随机变量设随机变量，g(x)为一元为一元Borel 函数，定义随机变量函数，定义随机变量 =g()，则，则不必计算新的随机变量的分布。不必计算新的随机变量的分布。()d()()d()EEgy Fyg xF x这个结果的证明要用到测度论，超出了本课程的范围。这个结果的证明要用

13、到测度论，超出了本课程的范围。1.单个变量函数的期望单个变量函数的期望五、随机变量函数的期望五、随机变量函数的期望19高级教育离散型场合离散型场合，上述公式化为，上述公式化为1()()()iiiEgg x p x1212nnxxxppp1212()()()nng xg xg xppp则则=g()的分布列可由下得到的分布列可由下得到这是因为：这是因为：的分布列为的分布列为20高级教育连续型场合连续型场合，若，若 具有密度函数具有密度函数 p(x)，则，则()()()Egg x p x dx事实上，不妨只考虑事实上，不妨只考虑g严格单调增加且严格单调增加且可导情形，此可导情形，此时时=g()的密度

14、为的密度为11()()()()()()dEgEyq y dyyp gygydyg x p xx11()()()q yp gygy21高级教育例例 （报童问题报童问题）设某报童每日的潜在卖报数设某报童每日的潜在卖报数 服从服从参数为参数为 的泊松分布。如果每卖出一份报可得报酬的泊松分布。如果每卖出一份报可得报酬 a，卖不掉而退回则每份赔偿卖不掉而退回则每份赔偿 b。若某日该报童买进。若某日该报童买进 n 份份报，试求其期望所得，进一步求最佳的买进份数报，试求其期望所得，进一步求最佳的买进份数 n。b解：解：若记其真正卖报数为若记其真正卖报数为 ,则则 与与 的关系为的关系为,nnn这里这里 服从

15、服从截尾泊松分布截尾泊松分布，即，即22高级教育记所得为记所得为 ，则，则因而，期望所得为因而，期望所得为,!,!kii neknkPkekni,()()anngab nn23高级教育求求 n 使使E(g()达到极大达到极大,这是一个典型的最优化问题这是一个典型的最优化问题.,a b 一般计算泊松分布的部分和可用下列公式：一般计算泊松分布的部分和可用下列公式：111001!()()krrxryk rexedxye dykrr10()()!kknkk nEgekab nkenakk2100()()!kknnkkaben abenakk24高级教育例例4.1.7 假定某公司开发了一种新产品，他们假

16、定某公司开发了一种新产品，他们每卖出一件可获利每卖出一件可获利500元，而积压一件将损失元，而积压一件将损失2000元，预计这种产品的销售量元，预计这种产品的销售量 服从参数服从参数0.00001 的指数分布，的指数分布，p1(x)=0.00001 e-0.00001 x，x 0.问应该生产多少才能使得平均获利最大？问应该生产多少才能使得平均获利最大？25高级教育平均获利即平均获利即 的数学期望为的数学期望为11100(,)()5002000()()500()(25002000)500(25002000)500112500()2000(1)50012500(1)cccxxccxccccccEc

17、 x p x dxxcx p x dxcp x dxxc edxcedxxc edxceceececee0.000120002500 10000(1)2000ccec26高级教育即平均获利为：即平均获利为：Q(c)=250010000(1-e-0.00001c)-2000c关于关于c的二阶导数的二阶导数-0.25e-0.00001c 0，因此，因此Q(c)具有极大值，令具有极大值，令解出解出 c=-10000ln(2000/2500)=2231.4，即要使平均获利最大，即要使平均获利最大，应该生产应该生产2231件产品。件产品。d()0.dQ cc27高级教育2.随机向量函数的随机向量函数的期

18、望期望111(,)(,)d(,)nnnEgg xxF xx 设随机向量设随机向量(1,2,n)的联合分布函数为的联合分布函数为F(x1,x2,xn)，g(x1,x2,xn)为为n元元Borel函数，函数，定义随机变量定义随机变量 =g(1,2,n)，则，则11111d(,)d().nEx F xxx F x特别地，特别地，28高级教育六、数学期望的基本性质六、数学期望的基本性质 性质性质1 1 若若 a b，则，则aE()b.特别地特别地,E(C)=C,这里这里C是常数是常数.性质性质2(2(单调性单调性)若若几乎处处地有几乎处处地有 ，则则 E()E().性质性质3(3(线性性质）线性性质）

19、对任意对任意常数常数 及及b，有有,1,ic in 11nniiiiiiEcbc Eb29高级教育4.4.和的期望等于期望的和和的期望等于期望的和对对任意任意n个个随机变量随机变量1、n，都有：，都有：E(1+2+n)=E1+E2+En5.5.独立乘积的期望等于期望的乘积独立乘积的期望等于期望的乘积如果如果1、n相互独立，则有：相互独立，则有：E(1 2.n)=E1 E2 En注意注意:该性质不是充要条件。该性质不是充要条件。30高级教育例例4.1.8 计算计算正态分布正态分布N(,2)的的期望期望.解解.因为正态分布因为正态分布 可转化为可转化为=+0，其中，其中0 N(0,1)显然有，显然

20、有，因此，因此，E =+E(0)=,即正态分布即正态分布 N(,2)的的期望就是参数期望就是参数 。u 利用利用性质求期望性质求期望2201()0.2xExedx31高级教育例例4.1.9 计算二项分布及超几何分布的期望计算二项分布及超几何分布的期望解解.定义定义n 个随机变量个随机变量1、n，每个每个i 同分布于参数同分布于参数M/N的的Bernoulli分布分布1,01,().iiiMMMPPENNN(;,)1,0;kn kknMMMb k nCknNNN ,0min(,).kn kMN MknNC Chkn MC1,第第i 次取到的是次品，次取到的是次品，0,第第i 次取到的是合格品次取

21、到的是合格品i32高级教育有放回抽样时它们相互独立，即有放回抽样时它们相互独立，即=1+2+n 服从二项分布服从二项分布；无放回抽样时它们不独立，而无放回抽样时它们不独立，而=1+2+n 服从超几何分布服从超几何分布；注意到注意到,每个每个i 的期望都是的期望都是 M/N，因此因此（1）二项分布）二项分布B(n,p)的期望为的期望为 np=nM/N；（2）超几何分布）超几何分布HG(n,N,M)的期望为的期望为 nM/N。33高级教育4.2 方差方差，相关系数，矩，相关系数，矩 一一 、方差方差二、二、切比雪夫不等式切比雪夫不等式三、三、相关系数相关系数 四、四、矩矩五、五、条件数学期望条件数

22、学期望34高级教育哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击甲炮射击结果结果乙炮射击乙炮射击结果结果例如例如:炮落点炮落点距目标的位置如图距目标的位置如图，哪门炮效果好一点些？，哪门炮效果好一点些？又如又如:甲、乙两个合唱队都由甲、乙两个合唱队都由5 5名成员组成，身高如下：名成员组成，身高如下：甲：1.60、1.62、1.59、1.60、1.59乙：1.80、1.60、1.50、1.50、1.60哪个合唱队演出效果好？哪个合唱队演出效果好？35高级教育一、方差一、方差定义定义 设设X 是一个随机变量，是一个随机变量，若若 存在，存在，2()EXE X则称则称 为为X 的的方差方差.记为记为D(X)D(

23、X)或或VarVar(X)(X).2()EXE X 方差的算术方差的算术平方根平方根 称为称为均方差均方差或或标准差标准差。记为记为)(XD).(X注：注：方差方差实际上就是实际上就是X的函数的函数 g(X)=X-E(X)2 的的期望期望.方差反映了随机变量的取值与平均值的方差反映了随机变量的取值与平均值的偏离偏离程度程度.36高级教育证明：证明：推论：推论：22)()()(XEXDXE22)()(XEXE常用计算公式常用计算公式：22()()()D XE XE X2()()D XE XE X222()()E XX E XE X22()2()()()E XE XE XE X22()()E XE

24、 X37高级教育例例4.2.2 射击教练将从他的两名队员中射击教练将从他的两名队员中选择选择一人参加一人参加比赛，应该是甲还是丙更合适？比赛，应该是甲还是丙更合适？成绩成绩(环数环数)甲的概率甲的概率丙的概率丙的概率80.10.290.30.1100.60.7解解.这里甲、丙两人的平均成绩都是这里甲、丙两人的平均成绩都是E=E=9.5需要需要比较方差，简单计算后可以得到：比较方差，简单计算后可以得到：D=0.45，D=0.65因此因此,应该应该选择甲队员去参加比赛。选择甲队员去参加比赛。38高级教育p续例续例4.1.1,甲甲乙射击技术如下：乙射击技术如下：8 9 10p 0.1 0.3 0.6

25、8 9 100.2 0.5 0.3已经知道平均来说甲的成绩比乙好，已经知道平均来说甲的成绩比乙好，计算方差能计算方差能发现发现甲的成绩也比乙稳定甲的成绩也比乙稳定(D =0.45,D =0.49).如果只射击一次，谁的成绩可能更好一些如果只射击一次，谁的成绩可能更好一些？需要利用分布律计算并比较两个概率需要利用分布律计算并比较两个概率P()，以及，以及 P()39高级教育几种常见分布的几种常见分布的方差方差:22)()()(XEXEXD2pp)1(pp,(1).EXp DXpp(),()(1).E Xnp D Xnpp(1)（01）分布：）分布：pXkp1p10(,).Xb n p(2)二项分

26、布：二项分布：,0,1,2,kkn knP XkC p qkn40高级教育(),E X()D X1220120()!(1)!(1)()1)!kkkkkkekeE XkkkkeE Xk(3)泊松分布：泊松分布：()XP0,1,2,!kP Xkekk，41高级教育22()()E Xx p x dx322baba233()babxxdxababa22()()()D XE XEX222()34aabbab2()12ba2()(),()212abbaE XD X(4)(4)均匀分布均匀分布:(,)XU a b1,()0,axbp xba其它42高级教育1()E X 222022200020()()()|

27、()222()()xxxxxE Xx p x dxxedxx d ex eed xxed xE X 2221()()()D XE XEX(5)(5)指数分布：指数分布：000 xexp xx Exp()X43高级教育22()21(),2xp xex 2(),()E XD X特别，当特别，当(0,1),()0,()1.XNE XD X222222()222/2222/2/22()()1()22|.22xzzzDXxp x dxxedxz edzzeedz 2(,)XN(6)(6)正态分布：正态分布：44高级教育常见分布的数学期望与常见分布的数学期望与方差列表：方差列表：45高级教育u 方差方差的

28、基本性质的基本性质2.随机变量线性变换的方差随机变量线性变换的方差公式公式:设设 a、b 是两个常数，则有是两个常数，则有D(a+b)=b2D.注注：与：与数学期望的性质比较：数学期望的性质比较：E(a+b)=a+b E平移改变随机变量期望，但不会改变平移改变随机变量期望，但不会改变方差方差.1.设设C是常数是常数,则则 D(C)=0;46高级教育 4.独立和的方差等于方差的独立和的方差等于方差的和：和：若若X与与Y 独立，则独立，则()()D XYD XD Y注：注：这这条性质同样条性质同样不是一个充要条件。不是一个充要条件。21111(),().nnnniiiiiiiiiiDXD XDC

29、XC D X推广：推广：若若X1 1,X2,Xn 相互相互独立独立,则则证明：见证明：见后面后面“ChebyshevChebyshev不等式不等式”部分。部分。3、D(X)=01P XC47高级教育1.如果如果1、n 相互相互独立独立，则有，则有：D(1 2n)=D1+D2+Dn2.任意任意随机变量和的期望等于期望的和随机变量和的期望等于期望的和：E(1 2n)=E1 E2 En比较：比较：3.独立独立随机变量乘积的期望等于期望的乘积：随机变量乘积的期望等于期望的乘积：E(1 2 n)=E1 E2 En48高级教育5.若若 ，则，则 。cE2()DEc证明证明：因为：因为22()()()DEE

30、EccE22()()2()()EcE cEEc cE22()()2()()EccEcEEc22()()EccE注：注：这个这个性质表明数学期望具有一个重要的极值性质性质表明数学期望具有一个重要的极值性质：在：在 中中,当当 时时达到极达到极小小;这这也说明也说明在在 的定义中取的定义中取 的的合理性。合理性。2()EccEcED49高级教育例例2、已知已知X b(n,p)，求，求D(X)。11,2,.0iiXini如第 次试验成功,解：如第 次试验失败,相互独立且nXXX,21注：注：利用方差和的性质时要注意利用方差和的性质时要注意相互独立相互独立的条件。的条件。11()()()=(1).nn

31、iiiiD XDXD Xnpp所以，1212,nnXXXXXXX则，且相互则独立。(1,)()(1),iiXbpD Xpp易见，则50高级教育“标准化标准化”的目的是通过线性变换把一个随机的目的是通过线性变换把一个随机变量的期望转化为变量的期望转化为 0 0，方差转化为方差转化为 1.1.u 随机变量的标准化：随机变量的标准化：假设随机变量假设随机变量的期望的期望E及方差及方差D都存在都存在,且且D 0，则称，则称为为 的的标准化随机变量标准化随机变量。*=ED51高级教育二二.Chebyshev不等式不等式2|DPE对于任何具有有限期望与方差的对于任何具有有限期望与方差的随机变量随机变量，都

32、有都有其中其中 是是任一正数。任一正数。22|()d()()d()x EDxEF xxEF x证明证明:若若 F(x)是是的的分布函数，则显然有分布函数，则显然有22|d()|.x EF xPE52高级教育Chebyshev不等式还常写成下面的不等式还常写成下面的形式形式:2|1,DPE 或或21.EPD Chebyshev不等式的意义不等式的意义：利用随机变量：利用随机变量 的数学期望的数学期望及方差对及方差对 的概率分布进行估计。它断言不管的概率分布进行估计。它断言不管 的分的分布是什么，布是什么，落在落在 中的概率均中的概率均不不小于小于 (,)EE21 1/.53高级教育从从Cheby

33、shevChebyshev不等式不等式还可以还可以看出看出,当当方差愈方差愈小时小时,事件事件|E的概率也愈小，从这里可以看出的概率也愈小，从这里可以看出方差是描述随机变量方差是描述随机变量与其期望值离散程度的一个量与其期望值离散程度的一个量。特别特别地地,若若 ,则则对于任意对于任意的的 ，恒有恒有 0D00,PE即即1PE所以所以方差为零的随机变量是常数。方差为零的随机变量是常数。0,PE因此因此,54高级教育在不等式中分别取在不等式中分别取 =，2，3P|-|0P|-|2 0.75P|-|3 0.8889比较正态分布的结果：比较正态分布的结果：P|-|=0.6826，P|-|2 =0.9

34、544，P|-|3 =0.9974。55高级教育定义定义 设设(X,Y)为为二二维维随机变量随机变量,若若存在，则存在，则称它为称它为X X与与Y Y的的协方差协方差，covcov(X,Y).(X,Y).)()(YEYXEXE cov(,)()().X YEXE XYE Y即：三、相关系数三、相关系数 对于随机向量对于随机向量,我们我们除了关心它的各个分量的情况除了关心它的各个分量的情况外外,还还希望知道各个分量之间的希望知道各个分量之间的联系联系,于是于是引进了引进了协方差协方差和和相关系数相关系数的的概念。概念。u 常用常用计算计算公式：公式：cov(,)()()()X YE XYE X

35、E Y56高级教育u 协方差协方差的概率的概率意义意义:协方差实际上是两个随机变量中心化协方差实际上是两个随机变量中心化以后以后乘积乘积的的数学期望，是它们关系的一种度量。数学期望，是它们关系的一种度量。协方差为协方差为正正说明说明、具有相同变化趋势具有相同变化趋势，即，即平均平均来说来说 相对于相对于 E 变大变大(或变小时或变小时)也相对也相对于于E 增加增加(或减少或减少);反之反之协方差为协方差为负负则说明则说明、具有相反的变具有相反的变化趋势。化趋势。57高级教育2.cov(,)cov(,)X YY X3.cov(,)cov(,)aX bYabY X，a,b为为常数常数12124.c

36、ov(,)cov(,)cov(,)XX YX YX Yu协方差的性质协方差的性质(,)0,Cov C XC为常数1.cov(,)().X XD X5.,cov(,)0cov(,)0,X YX YC XC若独立，则 特别地，为常数.58高级教育u 和的方差公式：和的方差公式：为常数CXCCov,0),(1)()()()2cov(,)D XYD XD YX Y1,111(2)()cov(,)cov(,)2cov(,)niijii jniijiijniijiij nDXXXDXXXDXXX 59高级教育设设 为为n维维随机向量，记随机向量，记12=(,)nXXXX1112121222112(,)nn

37、nnnnnXX称矩阵协方 为的差矩阵，u协方差矩阵：协方差矩阵：cov(,),1,2,.ijijX Xi jn简记作简记作DX.60高级教育事实上事实上,对对任何任何实数实数 有有(1,2,)jtjn,1=cov(,)()0.njkj kjjkkjjj kj kjt tt Xt XDt X因而因而,对于对于协方差协方差矩阵矩阵 有有:det0.Remark：3 3、协方差矩阵是一个、协方差矩阵是一个非负定矩阵非负定矩阵。1,ijji、所以 是一个对称矩阵。2iX、对角线上元素就是的方差。61高级教育cov(,)()()XYX YD XD Y定义定义.称称为为X与与Y的的相关系数相关系数。更常用

38、的是如下更常用的是如下“标准化标准化”了的了的协方差协方差.相关系数相关系数就是标准化的就是标准化的随机变量随机变量 与与 的协方差。的协方差。YEYDYXEXDX这里当然要求这里当然要求DX,DY为正。以后补充定义为正。以后补充定义常数与常数与任何任何随机变量的相关系数为零。随机变量的相关系数为零。u 相关系数：相关系数：62高级教育例例3 3 求求服从多项分布的随机向量的各个分量之间的协方差服从多项分布的随机向量的各个分量之间的协方差和相关系数和相关系数。1211221212!,!rkkkrrrrnPkkkp ppk kk解解:显然显然(,),1,2,.iiB n pir因此因此,(1)i

39、iiiiEnpDnpp注意注意到到,(,),ijijB n ppij因此因此,()(),()()(1).ijijijijijEn ppDn pppp这里整数这里整数 ,且且12.rkkkn0ik 63高级教育因而有因而有cov(,).ijijnp p 从而，相关系数从而，相关系数为为(1)(1)ijijijijp pp ppp(1)(1)ijijp ppp 由于由于()2cov(,)ijijijDDD(1)(1)2cov(,)iijjijnppnpp 可写出协方差阵与可写出协方差阵与相关系数阵相关系数阵。64高级教育222|EEE下面下面研究相关系数的研究相关系数的性质性质,先先证明一条常用的

40、不等式。证明一条常用的不等式。定理定理(Cauchy-Schwarz不等式不等式)01,Pt等式成立当且仅当等式成立当且仅当0t这里这里 是是某一个常数。某一个常数。对对任意的任意的随机变量随机变量 与与,如果如果 则则有有22,EE 65高级教育2222()()2u tE tt EtEE证明证明:对对任意的实数任意的实数t,t,定义定义 001.P t显然对一切显然对一切 ，因此因此二次方程二次方程 或者没有或者没有实根或者有一个重根。所以实根或者有一个重根。所以,()0t u t()0u t 2220EEE2220EEE此外此外,方程方程 有一个重根有一个重根 存在存在的充要条件是的充要条

41、件是()0u t 0t这时，这时，因此，因此20()0E t66高级教育 把柯西把柯西-施瓦兹不等式施瓦兹不等式应用应用到到 及及 ，可以可以得到相关系数的如下重要性质。得到相关系数的如下重要性质。EDED性质性质1 对于对于与与 的相关系数的相关系数，|1.而而 =-1,当且仅当当且仅当1EEPDD 性质性质1表明表明,当当 时时,与与 存在存在着线性关系着线性关系.有线有线性关系是一个极端，性关系是一个极端，=0又是一个极端。又是一个极端。1 1EEPDD而而 =1,当且仅当当且仅当67高级教育定义定义 若若随机变量随机变量 与与 的相关系数的相关系数=0 0，则我们称，则我们称 与与(线

42、性线性)不相关不相关。性质性质2 2 对对随机变量随机变量 与与,下面下面的事实等价：的事实等价：(1)cov(,)0;(2)与不相关；不相关；(3);EE E(4)().DDD 独立性独立性和不相关性都是随机变量间联系和不相关性都是随机变量间联系“薄弱薄弱”的的一种反映，自然希望知道这两个概念之间的联系。一种反映，自然希望知道这两个概念之间的联系。性质性质3 3 若若 与与 独立，则独立，则 与与 不相关不相关。其逆不成立其逆不成立，请看下面的例子请看下面的例子。68高级教育例例4 4 设设 服从服从 中中的均匀分布，的均匀分布，0,2 cos,cos(),a 这里这里a是是定数。试定数。试

43、判断判断 与与 的的独立性与相关性。独立性与相关性。解：解：201cos0,2Etdt222011cos,22Etdt2011coscos()cos,22Etta dta因而，因而，与与 的相关系数为的相关系数为2222cos.()()EE EaEEEE 201cos()0.2Eta dt222011cos().22Eta dt69高级教育|1XY当当 ，X与与Y的的线性关系越显著；线性关系越显著；|0XY当当 ,X与与Y 的线性关系越不显著；的线性关系越不显著；相关系数相关系数XY之间之间线性关系线性关系的一种度量的一种度量.是是X与与Y于是，于是，1,0a 当当 时，时，当当 时，时，a1

44、,存在线性关系存在线性关系。2210但是但是,当当 或或 时时，这时，这时 与与 不相关不相关。但是这时却有但是这时却有 ，因此，因此 与与 不不独立独立。2a32a两两个随机变量不相关，它们之间可能存在其它关系。个随机变量不相关，它们之间可能存在其它关系。即使即使Remark：70高级教育 不相关性不相关性是就是就线性关系线性关系而言的，而而言的，而独立性独立性是就是就一般关一般关系系而言的。但是如果它们服从二元正态分布，那么它们而言的。但是如果它们服从二元正态分布，那么它们之间的独立性和不相关性是等价的。之间的独立性和不相关性是等价的。性质性质4 4 对于对于二元正态分布二元正态分布，不相

45、关性与独立性等价，不相关性与独立性等价.这个结果可推广到多元场合。这个结果可推广到多元场合。性质性质5 5 若若与与 都是取都是取二值二值随机变量随机变量，则不相关，则不相关性与独性与独立性等价立性等价.71高级教育221111(),().NNiiiiEYY DYYNNu 在在抽样调查中的应用抽样调查中的应用 抽样调查是社会经济中用的最多的统计方法。为对总体抽样调查是社会经济中用的最多的统计方法。为对总体的某个指标（主要是总值、平均值、比率和百分比）进行的某个指标（主要是总值、平均值、比率和百分比）进行估算特设计某种抽样方案。估算特设计某种抽样方案。最简单的抽样方式是最简单的抽样方式是简单随机

46、抽样简单随机抽样。12,NY YYN例例6 6 袋袋中有中有 张张卡片，各记以数字卡片，各记以数字 ，不放不放回地从中抽出回地从中抽出 张张，求其和的数学期望和方差。，求其和的数学期望和方差。n解解:取取一张时，其数字一张时，其数字 的分布的分布1,1,2,lPYlNN均值及方差分别均值及方差分别为为:72高级教育12.nn(*)n,1,2,iin 若以若以 记记n张张卡片的数字之卡片的数字之和和,以以 记记第第i次次 抽抽得的卡片上的数字，则得的卡片上的数字，则由于抽签与顺序无关，因此由于抽签与顺序无关，因此1,1,2,1,2,ilPYlN inN故故2,.iiEYD所以所以12nnEEEE

47、nY112cov(,)nniijiij nDD 212(1)cov(,)nn n 这里，我们又一次用到这里，我们又一次用到抽签与顺序无关抽签与顺序无关。73高级教育nN0ND12NNYYY(*)在在 中中令令 ，这时这时 是是一个常数一个常数，因此，因此 ,于是于是212(1)cov(,)0NN N 因而因而,212cov(,).1N 最后最后得到得到:222(1)().11nn nn NnDnNN 与与有放回抽取的方差有放回抽取的方差 相比相比,多多出了一个出了一个因子因子 ，称为称为有限总体修正有限总体修正因子因子。2n1NnN1n 当当 时，它等于时，它等于1；而当；而当 时，时，它取值

48、为它取值为0。这与直。这与直观符合。观符合。nN111,0,MMNYYYY 特别地，若取特别地，若取 则可以得则可以得到到超几何分布的均值和方差超几何分布的均值和方差的表达式。的表达式。74高级教育u 现代现代证券组合理论证券组合理论 MarkovitzMarkovitz在在5050年代引进的均值年代引进的均值-方差模型成了现代证券方差模型成了现代证券组合理论的基石。组合理论的基石。一一个相当自然的假定是：个相当自然的假定是：投资者都追求高收益而规避风投资者都追求高收益而规避风险，也即希望有高的均值而不愿有大的方差险，也即希望有高的均值而不愿有大的方差。但是但是，证券市场的历史记录表明，高收益

49、常伴随着高风，证券市场的历史记录表明，高收益常伴随着高风险。险。根本的出路在于采用证券组合，即把全部资金分散投资根本的出路在于采用证券组合，即把全部资金分散投资于各种证券。于各种证券。1,.nwwn 假定投资于上述假定投资于上述 种证券的资金的比例分别为种证券的资金的比例分别为 假定有假定有 种种证券可以证券可以投资投资,并并把它们的收益率看作是把它们的收益率看作是随机变随机变量量,通常通常记为记为 ,相应相应的均值和方差分别记的均值和方差分别记为为 和和 并以并以 记记 与与 的的相关系数。相关系数。irn1,nrr1,nrrijjr221,n，75高级教育1,npi iirwr则总的收益率

50、为则总的收益率为显然其平均收益率为显然其平均收益率为1,nppi iirErwr而方差则为而方差则为211nnppijijijijDrww 因此因此寻找最优证券组合的问题化为：寻找最优证券组合的问题化为：pr2p 求投资比例求投资比例 ，使，使 等于某个目标值而等于某个目标值而 达到最小达到最小，或者，或者 控制在一个可以接受的水平而控制在一个可以接受的水平而使使 达到最大。达到最大。1,nwwpr2p Markovitz模型模型兼顾了金融市场中收益和风险两大要素，而兼顾了金融市场中收益和风险两大要素，而且形式简便，为金融学的发展开创了新局面，他也因此获得且形式简便，为金融学的发展开创了新局面