现代控制理论能控性和能观测性课件.pptx
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- 现代 控制 理论 能控性 观测 课件
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1、第三章 能控性和能观测性 线性系统的能控性和能观测性概念是卡尔曼在1960年首先提出来的。当系统用状态空间描述以后,能控性、能观测性成为线性系统的一个重要结构特性。卡尔曼 这是由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入-输出关系,状态作为被控量,输出量仅是状态的线性组合,于是有“能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题,即能控性问题。并非所有状态都受输入量的控制,有时只存在使任意初态转移到确定终态而不是任意终态的控制。还有“能否由测量到的由状态分量线性组合起来的输出量来确定出各状态分量”的问题,即能观测性问题。点击观看第一节 线性定常系统的能控性能控性分为状态能控性、输出能控性(
2、如不特别指明便泛指状态能控性)。状态能控性问题只与状态方程有关,下面对定常离散系统、定常连续系统分别进行研究(各自又包含单输入与多输入两种情况):一 离散系统的状态可控性引例 设单输入离散状态方程为:1122112xkxkxkxku k 初始状态为:120101xx,用递推法可解得状态序列:11222112221101011200201211221122011,11kkxxxxuukxxxxuuukkxkxk 1222211220211kkkx kx ku kuuu k可看出状态变量 只能在+1或-1之间周期变化,不受 的控制,不能从初态 转移到任意给定的状态,以致影响状态向量 也不能在 作用
3、下转移成任意给定的状态向量。系统中只要有一个状态变量不受控制,便称作状态不完全可控,简称不可控。可控性与系统矩阵及输入矩阵密切相关,是系统的一种固有特性。下面来进行一般分析。设单输入离散系统状态方程为:10 x 1x k 12Tx kx k,u k u k 1kku k xxg(3-1)式中,为n维状态向量;为纯量,且在区间 是常数,其幅值不受约束;为 维非奇异矩阵,为系统矩阵;g为 维输入矩阵:k表示kT离散瞬时,T为采样周期。kx u k1kk,n n1n初始状态任意给定,设为 ;终端状态任意给定,设为 为研究方便,且不失一般性地假定 。0 x nx 0n x单输入离散系统状态可控性定义如
4、下 在有限时间间隔 内,存在无约束的阶梯控制号 ,能使系统从任意初态 转移到任意终态 则称系统是状态完全可控的,简称是可控的。0 tnT 0u 1u,1u n 0 x 0n x可导出可控性应满足的条件。按定义,令 ,且 ,方程两端左乘 ,给出:kn 0n xn 11120120011011niningu iuuu nuuu n xgggggg(3-3)121nSggg令(3-4)1100kkkiiku i xxg(3-2)由方程(3-1)的解该阵为 维。方程(3-3)表示非齐次线性方程组,含n个方程,含n个未知数 ,。根据线性方程组解存在定理可知,当矩阵 的秩与增广矩阵 的秩相等时,方程有解,
5、否则无解。在 任意的情况下,要使方程组有解的充分必要条件是:能控阵 满秩,即n n 0u,1u n1S 10Sx 0 x1S1rankn S(3-5)或能控阵 的行列式不为零1S10 Sdet(3-6)或能控阵 是非奇异的。这时,方程组存在唯一解,即任意给定 ,可求出确定的 ,,。1S 0 x 0u,1u n 1u已知满秩矩阵与另一满秩矩阵 相乘,其秩不变,故n1 S1nS11nnnggg grankrank rank(3-7)使用该式判断能控性比较方便,不必进行求逆运算,式(3-5)至式(3-8)均称为能控性判据。,均称为单输入离散系统能控性矩阵,由该式显见状态能控性取决于系统矩阵 及输入矩
6、阵 。1S1Sg交换矩阵的列7,且记为 ,其秩也不变,于是有:1S221nnn gggggrankrank1S(3-8)当rank 时,系统不可控,不存在能使任意 转移到 的控制。1nS 0 x 0n x从以上推导看出,当 不受约束时,能使任意 转移到 意味着至多经过n个采样周期便可完成转移,而n乃是 系统矩阵 的阶数,或系统特征方程的阶次数。u k 0 x 0n x 00 x nx 以上研究假定了终态。若令终态为任意给定状态则方程(3-2)变为:1100nnniinu i xxg(3-9)方程两端左乘n,有 120101nnuunu n xxggg(3-10)该式左端完全可看作任意给定的另一
7、初态,其状态能控性条件能用以上推导方法得出完全相同的结论,故假定 是不失一般性的。0n x例3-1 利用递推法研究下列离散系统 1001102201101kku k xx初态为 ,试选择 ,使系统状态在 时转移到零。2 1 0Tn x 0 x 1x 2x3n 提示:点击观看解解 令0,1,2,得状态序列 2110020011uu xxg 3232200122111122021024311uuuuuuu xxgxggg令 ,即解如下方程组:30 x 1110222011231124uuu系数矩阵即能控阵,当其非奇异时,可解出:1011 12122 012231 14uuu 11122225111
8、121122481102即取 时,可在第三个采样周期瞬时使系统转移到零状态,因而系统是能控的。0511128uuu,若想研究可否在第二个采样周期内便使转移到零状态,只需研究 时是否存在 令 ,解如下方程组:20 x 01uu,20 x 11202061110uu容易看出系数矩阵的秩为2,但增广矩阵 的秩为 3,两个秩不等,故无解,表示不能在第二个采样周期内使给定初态转移到零。对于某些系统则是可能的。112206110例3-2 试用能控性判据判断例3-1的状态能控性。1110223113n 1S2ggg2111102240113Sggg解 rankrankrank或 故能控。例3-3 设 同例3
9、-1,试判断能控性。0 x、121Tg11122213111 1S2ggg解 rankrankrank故不能控。关于研究单输入离散系统状态可控性的方法可推广到多输入系统。设系统状态方程为:1kkk xxGu(3-11)式中 为 维控制向量,为 维输入矩阵。问题转化为能否求出无约束的控制向量 ,,,使系统从任意初态 转移到 。ku1pGnp 0u 1u,1u n 0 x 0n x方程(3-11)的解为:1100kkkiiki xxGu(3-12)令 ,且两端左乘 得:kn,n 11012120011011niinninuuu n xGuGuGuGuGGG(3-13)121n SGGG令(3-14
10、)该阵为 维矩阵;同 ,子列向量构成的控制列向量是 维的。式(3-13)含有n个方程,个待求控制量。由于初态 可任意给定,根据解存在定理,唯有矩阵 的秩为n时,方程组才有解,于是多输入离散系统状态能控的充要条件是:,1u n 0unnpnp1np 0 x2 S02Srank2n Srank rankrankrankrankrank(3-18)(3-17)(3-16)(3-15)或或或20 S2 S2nS12nnnGGG G2S221nnnGGGGG式(3-15)至式(3-18)均称为多输入离散系统能控性判据。一般多输入系统,式(3-13)所含的方程个数总少于未知数个数,方程组的解不唯一,可以任
11、意假定 个控制量,其余n个控制量才能唯一确定,这意味着控制序列的选择将有无穷多种方式。npn例3-4 试判断下列双输入三阶离散系统的状态可控性:1ikkkxxGu式中1222100010201201001401010i GG,;解:计算 1120204G212404110G221110012240102041004110SGGG故显见由前三列组成的矩阵的行列式0010100100det故rank ,系统可控。23S22222011223000000100112SGGG显见出现全零行,rank ,故不能控。223S多输入系统能控阵 ,其行数小于列数,在计算列写能控阵时,若显见 矩阵的秩为n,便不
12、必把 矩阵的所有列都写出。有时可通过计算 的秩是否为n来判断多输入系统的能控性。这是因为,当 非奇异时,必非奇异,而 为方阵,只需计算一次n阶行列式即可确定能控性,但在计算 时,可能需多次计算n阶行列式。2S22TS S2S2S2S2S22TS S22TS S在多输入系统中,使任意初态 转移至原点一般可少于n个采样周期。见例3-4,令 ,可给出;0 x0k ,10 x 1000i xxG u 1121202100010000010210132120100223iuuuu xGu则 已知 ,若能唯一确定 ,便表示能在第一个采样周期将 转移到原点。1200uu、0 x 0 x二 连续系统的状态能控
13、性引例引例 设单输入连续系统方程为:1122xxxu 22xx 其中,第二个方程只与状态变量 本身有关,且与 无关,是不能控状态变量;受 控制,是能控状态变量。从状态变量图3-1显见 可影响 而不能影响 ,于是使状态微量不能 在 作用下任意转移,称状态不完全能控,简称不能控。2xu1x2x1xuuu为导出连续定常系统的状态能控性矩阵,需应用凯莱-哈密尔顿定理的推论,故先介绍该定理。式中 为元素埏是 的伴随矩阵。方程(3-21)两端右乘 得:BI A fBIAII A(3-22)关于凯莱-哈密尔顿定理及其推论 设n阶矩阵A的特征多项式为:(3-19)1110nnnfaaaIA 11100nnnf
14、aaaAAAAI证明 据逆矩阵定义有:1fBBIAIA(3-21)则矩阵A满足(3-20)IA 由于 的元素 代数余子式,均为 次多项式,故据矩阵加法运算规则,可将其分解为n个矩阵之和:B1n 121210nnnnBBBBB(3-23)式中均为阶矩阵。将式(3-23)代入式(3-22)并展开两端:(3-24)12121321001110nnnnnnnnnnnaaaBBB ABBABB AB AIIII利用两端 同次项相等的条件有:121132201100nnnnnnnaaaaBIBBAIBBAIBB AIB AI(3-25)111211212322201100nnnnnnnnnnnnnnnaa
15、aaB AABAB AABABAAB A BAAB AI将式(3-25)按顺序两端右乘,可得:(3-26)将式(3-26)中各式相加有:1212100nnnnnfaaaaAAAAAI得证(3-27)推论1 矩阵可表为的次多项式:(3-28)121210nnnnnaaaa AAAAI112121012212112102102121212321 211 101 00nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa aaa aaa aaa aAAAAAAAAAAIAAAAAAAI故 可一般表为A的 次多项式:kknA1n10nkmmmknAA式中 均与A阵元素有关。利用推
16、论1可简化计算矩阵的幂。m(3-29)1201A例3-5 已知 ,求100?A解 为二阶矩阵,先列定的特征多项式:据凯莱-哈密尔顿定理:2n 221IA 220fAAAI22 AAI32222 232AAAAAAIAAI故432323 2243AAAAAA IAAI据数学归纳法有:1kkkAAI100100 200990120010099010009901AAI故推论2 矩阵指数可表为的次多项式:10ntmmmetAA(3-30)2 211112 21112212210212121232121110112!1!111!1!112!1!1!11!Atnnn nnnkknnnnnnnnnnnnnn
17、nnetttntttnnktttnaaaaatnaaaaanaaaaaaIAAAAAAIAAAAAAAIAAAA 11021012110nnnnnmmmaattttttIIAAAA由于(3-31)式中 1001 01111 1021221 20111112111!1!11!1!1112!1!1111!1!nnnnnnnnnnnnnnnntata atnnttata aa tnnttata aa tnntta taatnnn (3-32)均为幂函数,在时间区间 内,不同时刻构成的向量组 是线性无关向量组,这是因为其中任一向理都不能表为其它向量的线性组合。010100nfnftt,0ft,10nA
18、tmmmetA同理,11001011111211211111!1!11111!111!nnnnnnnnnnnnnnnta taa tnnattatnnaatn 其中(3-34)(3-33)(3-35)设单输入连续系统状态方程为 uxAxb其状态能控性定义如下:在有限的时间间隔 内,存在无约束的分段连续控制函数 ,能使系统从任意初态 转移到任意终态 ,则称此系统是状态完全能控的,简称是能控的。0fttt u t 0tx ftx 方程(3-19)的解为:00000()0fffftfffttttA tttttttudeteud Axxbxb(3-36)为状态转移矩阵。为导出能控性应满足的条件,仍可不
19、失一般性地假定 ,及,于是有 :0ftt00t 0ftx(3-37)000ffftA tAteeudxb00ftAeudxb故(3-38)利用凯莱-哈密尔顿定理,可推论出如下结果(证明见本问题末):110110nAmnmnmeI AAA即用无穷级数 表示的可改用A的 次多项式来表示;并经证明,其 都是时间 的不同幂函数,并且向量 是线性无关向量。于是有 Ae1n 01,n 01,n(3-40)(3-39)1000fntmmmud xAb 00,1,1ftmmuudmn令(3-41)为纯量;则mu 11011001110nmmmnmnnAuuuuuuu xbbAbAbbAbAb13nSbAbAb
20、令(3-42)(3-43)式(3-40)为单输入连续系统能控性矩阵,为维矩阵。据解存在定理,单输入连续系统完全能控的充要条件是:3nSrank以上推导完全可推广到多输入系统。设多输入系统状态方程为:xAxBu式中u为 维向量,B为 维输入矩阵。有:np1p(3-44)01001000ffftntmmmntmmmeddd AxBuA BuA Bu(3-45)00,1,1ftmmdmnuu令 为 维向量;则1pmu(3-47)(3-46)11011001110nmnmnmnnAxbuBuABuA BuuuB ABA Bu14nSBABAB令 式(3-47)为多输入连续系统可控性矩阵,为 维矩阵,为
21、 维列向量。于是,多输入连续系统状态完全能控的充要条件是:nnp01,Tnuu1np4nSrank(3-48)以上推导显见,状态能控性只与状态方程中 矩阵有关。若系统能控,同其 对称为能控对;亦然。AB、AB、G、例3-6 判断下列状态方程的能控性:1122010101u xxxx解 计算能控阵 的秩:30 1rankrankrank21 0nSbAb3S故可控。例3-7 判断下列状态方程的能控性:11122233132210201101311xxuxxuxx 解 计算能控阵 的秩:4S24213254rankrankrank112244112244SB AB AB显见第二、三行元素相同。ra
22、nk ,故不能控。423S三 A为对角阵、约当阵的能控性判据为了进一步研究系统的特性,有时经线性将系统矩阵已化成对角形或约当形,此时应用能控性矩阵可导出判断能控性的直观简捷的方法。引例 设状态方程系统矩阵已对角化及输入矩阵分别为:112200bbAb;其能控性矩阵 的行列式为:11 132 121 12222detdetbbb bb bbbSbAB3S 时系统可控,于是要求:当A有相异根 时,应存在 。若 ,则该系统始终是不能控的。也就是说,A阵对角化且具有相异根时,只需根据输入矩阵没有全零行即可判断能控;而若对角化A阵中含有相同元素,则不能这样判断。设状态方程系统矩阵已约当化及其输入矩阵分别
23、为:3det0S121200bb,12111210bbAb;其能性矩阵 的行列式为:3S11 12231 1 21 122221 2detdetbbbbbbbbbbb SbAb 时系统能控,于是要求:或为任何非零数值。也就是说,A阵仅含约当块时,输入矩阵中与约当块最后一行所对应的行没有全零行,即可判断系统能控。3det0S2100bb;允许以上判断方法可推广到对角化、约当化的阶系统。设系统状态方程如下:1112111112122222221200ppnnnppnnnrrruxxrrruxxrrruxx (3-49)矩阵A已对角化,为系统相异特征值。展开式(3-49)可见,每个方程只含有一个状态
24、变量,状态变量之间解除了耦合,这时,只要 方程中含有某一个控制量,便可控,这意味着输入矩阵第i行不得出现全零行。在 方程中不含任一控 制量的情况下,与控制无关,自然是不能控的,于是能控性条件可表达为:1,nix ixix ixA为对角形且元素各异时,输入矩阵中不得出现全零行。A为对角形但含有相同元素时(对应于重特征值但仍能对角化的情况),以上表达方式不适用,仍应根据能控性矩阵的秩条件来判断。设系统状态方程如下:11121111121222212231323333312100pppnnnppnnnrrruxxrrruxxrrruxxrrruxx (3-50)系统具有二重根 及相异根 ;从展开方程
25、可见,各方程的状态变量是解耦的,因此上述对角化情况下的判据仍适用;而 方程中既含 又含 ,在 受控条件下,即使 方程中不出现控制量,也可通过 间接地传送控制作用,使 仍是能控的。也就是说,输入矩阵的第一行允许为全零行或非零行。于是A阵含有约当块,即可分块对角化的情况下,系统能控条件可表达为:13,n2,nxx2x1x 1x2x1x 2x1x输入矩阵中与约当块最后一行所对应的行,不得出现全零(与约当块其它行所对应的行允许全零);输入矩阵中与相异根对应的行不得出现全零行。当相同的特征值不是包含在一个约当块内,而是分布于不同约当块时,例如 111100000上述判断方法不适用。这时,矩阵看作两个约当
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