第二节函数的和差积商的求导-导数与微分课件.ppt

1、上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回第二节第二节 函数的和、差、积、函数的和、差、积、商的求导法则商的求导法则 一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则 二、例题分析二、例题分析 三、小结三、小结 思考题思考题 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一、和、差、积、商的求导法定理定理,)(),(处可导在点如果函数xxvxu);()()()()1(xvxuxvxu,)(处也可导在点分母不为零商则它们的和、差、积、x);()()()()()()2(xvxuxvxuxvxu).0)()()()()()()()()3(2xvxvxvxuxvxuxvxu上页上页下页

2、下页返回返回上页上页下页下页返回返回证明（1）：)()()(xvxuxf由导数定义有：这表示，函数)(xf在点x 处也可导，且)()()(xvxuxf以上结果简单地写成：)(vuvu)(vuvu类似地可得证明（2）：条件：处可导在点而函数xxvxu)(),()()()(xvxuxf结论：hxfhxfxfh)()()(lim0hxVxuhxvhxuh)()()()(lim0)()(xvxu 0)()()()(limhxvhxvhxuhxuh上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回证明证明(3)(3)：处可导在 xxvxu)(),(hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxv

3、xuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 处可导，且在 xxf)()()()()()()()(2xvxvxuxvxuxvxu？上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(处可导在结论：xxf)()()()()()()(2xvxvxuxvxuxvxu且上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回推论推论;)()(

4、)1(11 niiniixfxf);()()2(xfCxCf ;)()()()()()()()()()3(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回二、例题分析例例1 1.sin223的导数的导数求求xxxy 解解23xy x4 例例2 2.ln2sin的导数的导数求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x.2sin1ln2cos2xxxx 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例3 3.tan的导数的导

5、数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例4 4.sec的导数的导数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin.cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得例例5 5.sinh的导数的导数求求xy 解解)(21)(sinh xxeexy)(21xxee .cosh x 同理可得同理可得xxs

6、inh)(cosh xx2cosh1)(tanh 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例6 6).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求设设解解,1)(xf,0时时当当 x,0时时当当 xhxhxxfh)1ln()1ln(lim)(0 )11ln(1lim0 xhhh ,11x 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回,0时时当当 xhhfh)01ln()0(lim)0(0 ,1 hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0 ,1.1)0(f.0,110,1)(xxxxf上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回三、小结注意注意:);()()()(xvx

7、uxvxu .)()()()(xvxuxvxu 分段函数分段函数求导时求导时,分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回思考题思考题 求曲线求曲线 上与上与 轴平行轴平行的切线方程的切线方程.32xxy x上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回思考题解答思考题解答232xy 令令0 y0322 x321 x322 x切点为切点为 964,32 964,32所求切线方程为所求切线方程为964 y964 y和和上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一、一、填空题：填空题：1 1、设设xxysin ，则，则y=_._.2 2、设

8、设xeayxx23 ，则则dxdy=_.=_.3 3、设设)13(2 xxeyx,则则0 xdxdy=_._.4 4、设设1sectan2 xxy,则则y=_._.5 5、设设553)(2xxxfy ,则则)0(f =_._.6 6、曲线曲线xysin2 在在0 x处的切线处的切线轴轴与与x正向的正向的夹角为夹角为_._.练练 习习 题题上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回二、二、计算下列各函数的导数：计算下列各函数的导数：1 1、211xxy ；2 2、110110 xxy；3 3、21csc2xxy ；4 4、ttxf 11)(,求求)4(f ；5 5、)0,0(baaxxbb

9、aybax.三、三、求抛物线求抛物线cbxaxy 2上具有水平切线的点上具有水平切线的点.四、四、写出曲线写出曲线xxy1 与与x轴交点处的切线方程轴交点处的切线方程.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一、一、1 1、)cos2sin(xxxx；2 2、22ln3xeaaxx ；3 3、2；4 4、)tansec2(secxxx；5 5、253；6 6、4.二、二、1 1、22)1(21xxx ；2 2、2)110(10ln210 xx；3 3、222)1(2cot)1(csc2xxxxx ；4 4、181；5 5、)(ln)()()(xbabaaxxbbabax .三、三、)44,2(2aacbab .四、四、022 yx和和022 yx.练习题答案练习题答案