随机信号分析与应用第一章课件.ppt
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- 随机 信号 分析 应用 第一章 课件
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1、随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-12-151本章主要内容:本章主要内容:v随机过程的基本概念随机过程的基本概念 v随机过程的数字特征随机过程的数字特征 v随机过程的微分和积分计算随机过程的微分和积分计算 v随机过程的平稳性和遍历性随机过程的平稳性和遍历性 v随机过程的相关函数及其性质随机过程的相关函数及其性质 v复随机过程复随机过程 v正态过程正态过程 v马尔可夫链马尔可夫链 v泊松过程泊松过程 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-12-152随机变量随机变量 与时间无关与时间无关 随机过程随机过程 与时间相关与时间相关 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-1
2、2-1531.1 随机过程的基本概念及统计特性随机过程的基本概念及统计特性 一一 定义定义 对接收机的噪声电压作观察对接收机的噪声电压作观察 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-12-1541 样本函数:样本函数:,都是,都是时间的函数,称为样本函数。时间的函数,称为样本函数。)(1tx)(2tx)(3tx)(txn2 随机性:一次试验,随机过程必取一个样随机性:一次试验,随机过程必取一个样本函数,但所取的样本函数带有随机性。因本函数,但所取的样本函数带有随机性。因此,随机过程不仅是时间此,随机过程不仅是时间t 的函数,还是可的函数,还是可能结果的函数,记为能结果的函数,记为 ,简写
3、成,简写成 。),(tX)(tX随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-12-155定义定义2 2:若对于每个特定的时间:若对于每个特定的时间 ,都是随机变量,则称都是随机变量,则称 为随机过程,为随机过程,称为随机过程称为随机过程 在在 时刻的状态。时刻的状态。),2,1(iti),(itX),(tX),(itXitt)(tX定义定义1 1:设随机试验:设随机试验E E的样本空间的样本空间 ,若对于,若对于每个元素每个元素 ,总有一个确知的时间函数,总有一个确知的时间函数 与它对应,这样,对于所有的与它对应,这样,对于所有的 ,就可以得,就可以得到一簇时间到一簇时间t的函数,称它为随机
4、过程。簇中的的函数,称它为随机过程。簇中的每一个函数称为样本函数。每一个函数称为样本函数。SSS),(tX3 随机过程的定义:随机过程的定义:随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-12-1564定义的理解定义的理解:上面两种随机过程的定义,从两个角度描上面两种随机过程的定义,从两个角度描述了随机过程。具体的说,作观测时,常用定述了随机过程。具体的说,作观测时,常用定义义1,这样通过观测的试验样本来得到随机过,这样通过观测的试验样本来得到随机过程的统计特性;对随机过程作理论分析时,常程的统计特性;对随机过程作理论分析时,常用定义用定义2,这样可以把随机过程看成为,这样可以把随机过程看成为
5、n 维随维随机变量,机变量,n越大,采样时间越小,所得到的统越大,采样时间越小,所得到的统计特性越准确。计特性越准确。随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-12-157理解:理解:一个时间函数族一个时间函数族 一个确知的时间函数一个确知的时间函数一个随机变量一个随机变量一个确定值一个确定值t 1 和和 都是变量都是变量t2 2 是变量而是变量而 固定固定3 固定而固定而 是变量是变量 t4 和和 都固定都固定 t随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-12-158二二 分类分类 1 按随机过程的时间和状态来分类按随机过程的时间和状态来分类 连续型随机过程:对随机过程任一时刻连续型
6、随机过程:对随机过程任一时刻 的取值的取值 都是连续型随机变量。都是连续型随机变量。1t)(1tX 离散型随机过程:对随机过程任一时刻离散型随机过程:对随机过程任一时刻 的取值的取值 都是离散型随机变量。都是离散型随机变量。1t)(1tX随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-12-159 离散随机序列:随机过程的时间离散随机序列:随机过程的时间t只能取只能取某些时刻,如某些时刻,如 ,2 ,.,n ,且这,且这时得到的随机变量时得到的随机变量 是离散型随机变是离散型随机变量,即时间和状态是离散的。相当于采样量,即时间和状态是离散的。相当于采样后再量化后再量化。t t t)(tnX 连续
7、随机序列:随机过程的时间连续随机序列:随机过程的时间t只能取只能取某些时刻,如某些时刻,如 ,2 ,.,n ,且这,且这时得到的随机变量时得到的随机变量 是连续型随机变是连续型随机变量,即时间是离散的。相当于对连续型随量,即时间是离散的。相当于对连续型随机过程的采样。机过程的采样。t t t)(tnX 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-12-15102 按样本函数的形式来分类按样本函数的形式来分类 不确定的随机过程:随机过程的任意样本不确定的随机过程:随机过程的任意样本函数的值不能被预测。例如接收机噪声电压函数的值不能被预测。例如接收机噪声电压波形。波形。确定的随机过程:随机过程的
8、任意样本函确定的随机过程:随机过程的任意样本函数的值能被预测。例如,样本函数为正弦信数的值能被预测。例如,样本函数为正弦信号。号。3 按概率分布的特性来分类按概率分布的特性来分类随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-12-1511三三 随机过程的概率分布随机过程的概率分布 1 一维概率分布一维概率分布 随机过程随机过程X(t)在任意在任意ti T的取值的取值X(t1)是一维随机是一维随机变量。概率变量。概率PX(t)x1是取值是取值x1,时刻,时刻t1的函数,记的函数,记为为Fx(x1;t1)=PX(t1)x1,称作随机过程,称作随机过程 X(t)的一的一维分布函数。维分布函数。若若
9、的偏导数存在,则有的偏导数存在,则有11111),(),(xtxFtxfXX),(txFX随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-12-15122 二维概率分布二维概率分布 FX(x1,x2;t1,t2)=P X(t1)x1,X(t2)x2 为了描述为了描述S.P在任意两个时刻在任意两个时刻t1和和t2的状态间的的状态间的内在联系内在联系,可以引入二维随机变量可以引入二维随机变量X(t1),X(t2)的分的分布函数布函数FX(x1,x2;t1,t2),它是二随机事件,它是二随机事件X(t1)x1和和X(t2)x2同时出现的概率,即同时出现的概率,即称为随机过程称为随机过程X(t)的二维分
10、布函数。的二维分布函数。若若FX(x1,x2;t1,t2)对对x1,x2的二阶混合偏导存在,的二阶混合偏导存在,则则 21212122121),;,(),;,(xxttxxFttxxfXX为随机过程为随机过程X(t)的二维概率密度的二维概率密度 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-12-15133 n维概率分布维概率分布 随机过程随机过程 在任意在任意n个时刻个时刻 的取值的取值)(tXnttt,21)(,),(),(21ntXtXtX)(,),(),(21ntXtXtX)(tX)(,)(,)(),;,(22112121nnnnXxtXxtXxtXPtttxxxFnnnXnnnXxx
11、xtttxxxFtttxxxf2121212121),;,(),;,(构成构成n维随机变量维随机变量 即为即为n维空间的随机矢量维空间的随机矢量X。类似的,可以定。类似的,可以定义随机过程义随机过程 的的n维分布函数和维分布函数和n维概率密度维概率密度函数为函数为随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-12-1514性质:性质:10),;,(2121ninXttttxxxF21),;,(21nXtttF0),;,(2121nnXtttxxxf3451),;,(212121nnnnXdxdxdxtttxxxf重),;,(),;,(2121212121mnmmXnmmnnXtttxxxfdx
12、dxdxtttxxxf重6 若若 统计独立,则有统计独立,则有)(,),(),(21ntXtXtX);();();(),;,(22112121nnXXXnnXtxftxftxftttxxxf随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-12-1515四四 随机过程的数字特征随机过程的数字特征 随机变量随机变量的数字特征通常是的数字特征通常是确定值确定值;随随机过程机过程的数字特征通常是的数字特征通常是确定性函数确定性函数。对随机过程的数字特征的对随机过程的数字特征的计算方法,是计算方法,是先把时间先把时间t固定,然后用随机变量的分析方法固定,然后用随机变量的分析方法来计算。来计算。随机信号分析
13、随机信号分析教学教学组组2022-12-15161 数学期望数学期望 dxtxxftXEtmX);()()(显然,显然,是某一个平均函数,随机过程是某一个平均函数,随机过程的诸样本在它的附近起伏变化,如图所示:的诸样本在它的附近起伏变化,如图所示:)(tmX物理意义:如果随物理意义:如果随机过程表示接收机机过程表示接收机的输出电压,那么的输出电压,那么它的数学期望就是它的数学期望就是输出电压的瞬时统输出电压的瞬时统计平均值。计平均值。随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-12-15172 均方值和方差均方值和方差 随机过程随机过程 在任一时刻在任一时刻t的取值是一个的取值是一个随机变量
14、随机变量 。我们把。我们把 二阶原点矩称为随二阶原点矩称为随机过程的均方值,把二阶中心矩记作随机过机过程的均方值,把二阶中心矩记作随机过程的方差。即:程的方差。即:)(tX)(tX)(tXdxtxfxtXEtXX);()()(222)()()()()(222tmtXEtXEtXDtXX222)()()(tmtXEtXX且且随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-12-1518 物理意义:如果物理意义:如果 表示噪声电压,则表示噪声电压,则均方值均方值 和方差和方差 分别表示消耗在单分别表示消耗在单位电阻上的瞬时功率统计平均值和瞬时交流位电阻上的瞬时功率统计平均值和瞬时交流功率统计平均值。
15、功率统计平均值。)(tX)(2tXE)(tXD标准差或均方差:标准差或均方差:)()(ttXDX 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-12-15193 自相关函数自相关函数 先比较具有相同数学期望和方差的两个先比较具有相同数学期望和方差的两个随机过程。随机过程。随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-12-1520 自相关函数用来描述随机过程任意两个时刻的自相关函数用来描述随机过程任意两个时刻的状态之间的内在联系,通常用状态之间的内在联系,通常用 描述。描述。),(21ttRX)()(),(2121tXtXEttRX 21212121),;,(dxdxttxxfXxx随机信号分
16、析随机信号分析教学教学组组2022-12-15214 自协方差函数自协方差函数 若用随机过程的两个不同时刻之间的二阶若用随机过程的两个不同时刻之间的二阶混合中心矩来定义相关函数,我们称之为自协混合中心矩来定义相关函数,我们称之为自协方差。用方差。用 表示,它反映了任意两个时表示,它反映了任意两个时刻的起伏值之间相关程度。刻的起伏值之间相关程度。),(21ttKX)()(),(2121tXtXEttKX)()()()(1111tmtXtmtXEXX211111)()()()(dxdxtmtXtmtXXX 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-12-1522比较自协方差和自相关函数的关系比
17、较自协方差和自相关函数的关系)()()()(),(111121tmtXtmtXEttKXXX )()()()()()()()(21121121tmtmtXEtmtXEtmtXtXEXXXX)()(),(2121tmtmttRXXX比较自协方差和方差的关系比较自协方差和方差的关系)()(),(),(221tmtXEttKttKXXX)()(2ttXDXttt21令令则则随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-12-1523例:求随机相应止弦波例:求随机相应止弦波 的数字期的数字期望,方差及自相关函数。式中,望,方差及自相关函数。式中,为常数,是为常数,是区间区间0,上均匀分布的随机变量。上
18、均匀分布的随机变量。0()sin()x tt02解:由题可知:解:由题可知:000()()sin()sincoscossin xm tE x tEtEtt(1)0000sincos cossin sincos cossin EtEtt Et E22001cos cos()cos02Efddsin 0E同理同理()0 xm t随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-12-1524(2)22222()()()()()xxxxttm ttE x t 200011sin()1 cos(22)1 cos(22)22EtEtEt0011cos(2)cos2 sin2sin2 2EtEt0011 co
19、s2cos2 sin2sin2 2t Et E可知可知 sin2 cos2 0EE21()2xt随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-12-15250 20 101211cos()cos()22tttt(3)12(,)xR t t12()()E x t x t1200sin()sin()Ett122100001cos(2)cos()2Etttt随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-12-1526五五 随机过程的特征函数随机过程的特征函数1 一维特征函数一维特征函数 随机过程随机过程 在任一特定时刻在任一特定时刻t的取值是的取值是一维随机变量,其特征函数为一维随机变量,其特征函数
20、为:)(tX dxtxfeeEtuCXjuxtjuXX);()();()(其反变换为:其反变换为:duetuCtxfjuxXX);(21);(0);()();()(unXnnnnutuCjdxtxfXxtXEn阶矩阶矩随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-12-15272 二维特征函数二维特征函数 12121122(,;,)exp()()xC u u t tEju x tju x t 212121)(),;,(2211dxdxttxxfeXxuxuj()1 12 2121212121221(,;,)(,;,)(2)j u xu xxfx x x t tC u u t t edu du其
21、反变换为:其反变换为:1212121212(,)(,;,)Rx t tx x fx x x t t dx dx 0212121221),;,(uuXuuttuuC随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-12-15283 n维特征函数维特征函数 nnnXxuxujdxdxttxxfenn111)(),;,(11)()(exp(),;,(1111nnnnXtXjutXjuEttuuC),;,(11nnXttxxfnxuxujnnXnduduettuuCnn1)(1111),;,()2(1随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-12-15291.2 连续时间连续时间随机过程的微分和积分随
22、机过程的微分和积分 一一 随机过程的连续性随机过程的连续性 1 预备知识:预备知识:对于确定性函数对于确定性函数 ,若若)(xf0)()(lim00 xfxxfx则则 在在 处连续。处连续。)(xf0 x随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-12-15302 随机过程随机过程 连续性定义连续性定义 如果随机过程如果随机过程 满足满足)(tX)(tX0)()(lim20tXttXEt则称则称 依均方收敛意义下在依均方收敛意义下在t点连续,简点连续,简称随机过程称随机过程 在在t t点均方连续。点均方连续。)(tX)(tX随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-12-15313 随机
23、过程随机过程 的相关函数连续,则的相关函数连续,则 连续连续)(tX)(tX)()(2tXttXE),(),(),(),(ttRtttRtttRttttRXXXX 因此,如果对因此,如果对 时刻,函数时刻,函数 在在 点上连续,则随机过程点上连续,则随机过程 必在点必在点t上连续。上连续。21,tt),(21ttRXttt21)(tX随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-12-15324 随机过程随机过程 均方连续,则其数学期望连续均方连续,则其数学期望连续)(tX证:证:2222YEYEYEY)()()()(22tXtTXEtXttXE 由均方连续的定义,由均方连续的定义,则不等式左
24、端趋,则不等式左端趋于于0,那么不等式的右端也必趋于,那么不等式的右端也必趋于0(均值的(均值的平方不可能小于平方不可能小于0)0 t)()(tXttXY设设随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-12-1533即:即:0)()()()(tXEttXEtXttXE 注意注意 为确定性函数,由预备知识,可为确定性函数,由预备知识,可知连续。知连续。)(tXE)(lim)(lim00ttXEttXEtt可将此结果写成可将此结果写成随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-12-1534二二 随机过程的导数随机过程的导数 预备知识:预备知识:对于一般确定性函数,高等数学给出的对于一般确定性
25、函数,高等数学给出的可导定义如下:可导定义如下:一阶可导:一阶可导:如果如果 存在,则存在,则 在在t处处可导,记为可导,记为 。ttfttft )()(lim0)(tf)(tf 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-12-1535二阶可导:二阶可导:hktsfktsfthsfkthsfkh),(),(),(),(lim00 存在,则存在,则 二阶可导,记为二阶可导,记为),(tsftstsf ),(2若若随机信号分析随机信号分析教学教学组组2022-12-15361 随机过程可导的定义随机过程可导的定义 如果随机过程如果随机过程 满足满足)(tX0)()()(lim20tXttXtt
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