随机变量及其分布-课件.ppt
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- 随机变量 及其 分布 课件
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1、随机变量及其分布随机变量的数学期望随机变量的方差与标准差常用离散分布常用连续分布随机变量函数的分布分布的其他特征数 (1)掷一颗骰子,出现的点数 X1,2,6.(2)n个产品中的不合格品个数 Y 0,1,2,n (3)某商场一天内来的顾客数 Z 0,1,2,(4)某种型号电视机的寿命 T:0,+)定义2.1.1 设 =为某随机现象的样本空间,称定义在上的实值函数X=X()为随机变量.(1)随机变量X()是样本点的函数,其定义域为,其值域为R=(,)若 X 表示掷一颗骰子出现的点数,则 X=1.5 是不可能事件.(2)若 X 为随机变量,则 X=k、a X b、均为随机事件.即 a X b=;a
2、 X()b (3)注意以下一些表达式:X=k=X kX k;a b=X b.(4)同一样本空间可以定义不同的随机变量.若随机变量 X 可能取值的个数为有限个或 可列个,则称 X 为离散随机变量.若随机变量 X 的可能取值充满某个区间 a,b,则称 X 为连续随机变量.前例中的 X,Y,Z 为离散随机变量;而 T 为连续随机变量.定义2.1.2 设X为一个随机变量,对任意实数 x,称 F(x)=P(X x)为 X 的分布函数.基本性质:(1)F(x)单调不降;(2)有界:0F(x)1,F()=0,F(+)=1;(3)右连续.设离散随机变量 X 的可能取值为:x1,x2,xn,称 pi=P(X=x
3、i),i=1,2,为 X 的分布列.分布列也可用表格形式表示:X x1 x2 xn P p1 p2 pn (1)pi 0,(2)1.iip(正则性)(非负性)求离散随机变量的分布列应注意:(1)确定随机变量的所有可能取值;(2)计算每个取值点的概率.对离散随机变量的分布函数应注意:(1)F(x)是递增的阶梯函数;(2)其间断点均为右连续的;(3)其间断点即为X的可能取值点;(4)其间断点的跳跃高度是对应的概率值.例2.1.1已知 X 的分布列如下:X 0 1 2P 1/3 1/6 1/2求 X 的分布函数.0,01/3,01()1/2,121,2 xxF xxx解:X 0 1 2P 0.4 0
4、.4 0.2解:0,00.4,01()0.8,121,2xxF xxx 例2.1.2已知 X 的分布函数如下,求 X 的分布列.连续随机变量X的可能取值充满某个区间(a,b).因为对连续随机变量X,有P(X=x)=0,所以无法仿离散随机变量用 P(X=x)来描述连续随机变量X的分布.注意离散随机变量与连续随机变量的差别.定义2.1.4设随机变量X 的分布函数为F(x),则称 X 为连续随机变量,()()xp t dtF x若存在非负可积函数 p(x),满足:称 p(x)为概率密度函数,简称密度函数.密度函数的基本性质(2)(1)()0;()1.p xp x dx满足(1)(2)的函数都可以看成
5、某个连续随机变量的概率密度函数.(非负性)(正则性).()()baP aXbp x dx注意点(1)(1)(2)F(x)是(,+)上的连续函数;(3)P(X=x)=F(x)F(x0)=0;(4)PaXb=PaXb =PaXb =PaXb =F(b)F(a).注意点(2)(5)当F(x)在x点可导时,p(x)=()F x当F(x)在x点不可导时,可令p(x)=0.连续型1.密度函数 X p(x)(不唯一)()()xF xp t dt2.4.P(X=a)=0离散型1.分布列:pn=P(X=xn)(唯一)2.F(x)=()iixxP Xx 3.F(a+0)=F(a);P(a a 和 B=Y a 独立
6、,解:因为 P(A)=P(B),P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B)2238ax dx318a 从中解得34a且 P(AB)=3/4,求常数 a.且由A、B 独立,得=2P(A)P(A)2=3/4从中解得:P(A)=1/2,由此得 0a a)例2.1.5 设 X p(x),且 p(x)=p(x),F(x)是 X 的分布函数,则对任意实数 a0,有()F(a)=1 F(a)=F(a)=F(a)F(a)=2F(a)10()ap x dx01()2ap x dx 分赌本问题(17世纪)甲乙两赌徒赌技相同,各出赌注50元.无平局,谁先赢3局,则获全部赌注.当甲赢2局、乙赢1局时,中止了赌博.
7、问如何分赌本?1.按已赌局数分:则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/3 2.按已赌局数和再赌下去的“期望”分:因为再赌两局必分胜负,共四种情况:甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/4 若按已赌局数和再赌下去的“期望”分,则甲的所得 X 是一个可能取值为0 或100 的随机变量,其分布列为:X 0 100P 1/4 3/4甲的“期望”所得是:01/4+100 3/4=75.定义2.2.1 设离散随机变量X的分布列为P(X=xn)=pn,n=1,2,.若级数绝对收敛,则称该级数为X 的1iiix p数学期望,记为1()iiiE Xx p 定义2.2.2 设连续随机变量X
8、的密度函数为p(x),若积分绝对收敛,则称该积分为X 的()xp x dx数学期望,记为()()E Xxp x dx 数学期望简称为期望.数学期望又称为均值.数学期望是一种加权平均.例2.2.1则E(X)=10.2+00.1+10.4+20.3=0.8.X 1 0 1 2P 0.2 0.1 0.4 0.3o每张福利彩票售价5元,各有一个兑奖号。每出售100万张设一个开奖组,用摇奖器当众摇出一个6位数的中奖号码,对奖规则如下:o兑奖号码与中奖号码的最后一、二、三、四、五位相同者获六等奖,分获奖金10,50,500,5000,50000元,兑奖号码与中奖号码全部相同获一等奖500000元.o试求每
9、张彩票平均所得奖金额?定理2.2.1 设 Y=g(X)是随机变量X的函数,若 E(g(X)存在,则1()()()()()iiig x P XxE g Xg x p x dx例2.2.2 设随机变量 X 的概率分布为求 E(X2+2).=(02+2)1/2+(12+2)1/4+(22+2)1/4=1+3/4+6/4=13/4解:E(X2+2)X 0 1 2P 1/2 1/4 1/4数学期望的性质(1)E(c)=c(2)E(aX)=aE(X)(3)E(g1(X)+g2(X)=E(g1(X)+E(g2(X)例2.2.32,01()0,xxp x0,令则有 E(Y)=0,Var(Y)=1.()Var(
10、)XE XXY称 Y 为 X 的标准化.设随机变量X的方差存在(这时均值也存在),则 对任意正数,有下面不等式成立Var()|()|2XPXEX2Var()|()|1XPXE X 例2.3.2设 X0()!00nxxexp xnx证明(02(1)1nPXnn证明:E(X)=0d!nxxxexn=n+1E(X2)=20d!nxxxexn=(n+1)(n+2)所以,Var(X)=E(X2)(EX)2=n+1,(02(1)(|1)PXnPXEXn211(1)nn 1nn(这里,=n+1)1(2)!nn1(3)!nn由此得 Var(X)=0P(X=a)=1 2.4.1 二项分布 记为 X b(n,p)
11、.X为n重伯努里试验中“成功”的次数,0,1,.,()(1).kn kknnP Xkppk当n=1时,称 b(1,p)为 0-1分布.试验次数为 n=4,“成功”即取得合格品的概率为 p=0.8,所以,X b(4,0.8)思考:若 Y 为不合格品件数,Y?Y b(4,0.2)一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取4次,每次一件,则取得合格品件数 X 服从二项分布.例2.4.1 设X b(2,p),Y b(4,p),已知 P(X1)=8/9,求 P(Y1).解:由 P(X1)=8/9,知 P(X=0)=1/9.由此得:P(Y1)=1 P(Y=0)所以 1/9=P(X=0)=(1p)2,从而解得:
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