安徽六校教育研究会2020届4月高三理科数学下册第二次素质测试理数试题卷（含答案）.pdf

1、 理科数学试题 第 1 页（共 4 页） 安徽六校教育研究会 2020 届高三第二次素质测试 数 学 试 题（理） 注意事项： 1. 本试卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟，请掌握好时间。 2. 试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分， “试题卷”共 4 页， “答题卷”共 6 页；请务必在 “答题卷 ”上答题，在“试题卷 ”上答题无效。 3. 请先将自己的姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置。 4. 注意字迹清楚，卷面整洁。 一、选择题：本大题共 12 个题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1已知集合 1 |1Ax x R，| 1

2、BxxR，则AB A(1,) B(0,) C(, 1)(0,) D(, 1)(1,) 2已知复数z满足：i34iz （i为虚数单位） ，则z A43i B43i C43i D43i 3为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度某地区在2015年以 前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%2015年开始，全面实施“精 准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参 加该项目户数占2019年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表： 实施项目 种植业 养殖业 工厂就业 服务业 参加户占比 40% 40% 10% 1

3、0% 脱贫率 95% 95% 90% 90% 那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的 A 37 28 倍 B 47 35 倍 C 48 35 倍 D 7 5 倍 4函数sin|yxx在 2 ,2 x 上的大致图象是 A B C D x y O22 x y O22 x y O22 x y O22 理科数学试题 第 2 页（共 4 页） 5已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线 C的一条渐近线交于点O及点 33 ( ,) 22 A，则双曲线C的方程为 A 2 2 1 3 y x B 22 1 26 x

4、y C 2 2 1 3 x y D 22 1 62 xy 6已知实数, x y满足不等式组 10 240 440 xy xy xy ，则|34 |xy的最小值为 A2 B3 C4 D5 7已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为 A24 B28 C32 D36 8 易经包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用， 易经的博大精深，对今天的 几何学和其它学科仍有深刻的影响下图就是易经中记载的几何图形八卦田，图中正八边形 代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田已知正八边形的边 长为10m，阴阳太极图的半径为4m，则每块八卦田的面积约为 A 2 47

5、.79m B 2 54.07m C 2 57.21m D 2 114.43m 9已知数列 n a中， 1 1a ， 2 2a ，且当n为奇数时， 2 2 nn aa ；当n为偶数时， 2 1 n a 3(1) n a 则此数列的前20项的和为 A 11 33 90 2 B 11 33 100 2 C 12 33 90 2 D 12 33 100 2 10函数( )sin()(0,0,02 )g xAxA的部分图象如图所示，已知 5 (0)()3 6 gg ， 函数( )yf x的图象可由( )yg x图象向右平移 3 个单位长度而得到，则函数( )f x的解析式为 A( )2sin2f xx

6、B( )2sin(2) 3 f xx C( )2sin2f xx D( )2sin(2) 3 f xx Ox y 3 6 5 6 33 1 4 正视图 侧视图 俯视图 理科数学试题 第 3 页（共 4 页） 11已知函数 2 ( )(ln1)(4)f xaxxax，若0x 时，( )0f x 恒成立，则实数a的值为 A2e B4e C e 4e D e e2 12如图，棱长为1的正方体 1111 ABCDABC D中，P为线段 1 AB的中点，,M N分别为线段 1 AC和棱 11 BC上任意一点，则22PMMN的最小值为 A 2 2 B2 C3 D2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5

7、 分，共 20 分。 13已知正项等比数列 n a中， 24 4 9 2 aa， 79 14 9 2 aa，则 13 a 14 6 3 1 (2)x x 的二项展开式中，含x项的系数为 15如图，两个同心圆O的半径分别为2和2，AB为大圆O的一条 直径，过点B作小圆O的切线交大圆于另一点C，切点为M，点 P为劣弧BC上的任一点（不包括,B C两点） ，则()AMBPCP 的最大值是 16已知两动点,A B在椭圆 2 2 2 :1(1) x Cya a 上，动点P在直线34100xy上，若APB恒为 锐角，则椭圆C的离心率的取值范围为 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算

8、步骤。第 1721 题为必考题，每个试 题考生都必须做答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答。 （一）必考题：共 60 分。 17 （12 分） ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，若 22 2sin2cos2coscos1 22 ABAB AB （1）求角C的大小； （2）若4c ，|38CACB ，求ABC的周长 18 （12 分） 如图，四棱锥PABCD中，侧面PAB为等腰直角三角形，BC 平面PAB,PAPB， 2ABBC，5ADBD （1）求证：PA平面PBC； （2）求直线PC与平面PAD所成的角的正弦值 P AB C D C A O B M P P

9、 M N A BC D 1 D1 A 1 B 1 C 理科数学试题 第 4 页（共 4 页） 19 （12 分） 已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F，点( ,3)A a，点P为抛物线C上的动点 （1）若|PAPF的最小值为5，求实数a的值； （2）设线段OP的中点为M，其中O为坐标原点，若MOAMAOAOF ，求OPA的 面积 20 （12 分） 已知函数 2 ( )cos1() xx f xeexR，直线l是曲线( )yf x在0x 处的切线 （1）求证：无论实数取何值，直线l恒过定点，并求出该定点的坐标； （2）若直线l经过点(1,6)，试判断函数( )f x的零点个数并证明 21 （

10、12 分） 某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格 的概率均为p，现工厂为提高产品声誉，要求在交付 用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验5件该产品，且每件产品检 验合格与否相互独立若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检验方案：将产 品每k个(5)k 一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不 合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检 验1次或1k次设该工厂生产1000件该产品，记每件产品的平均检验次数为X （1）求X的分布列及其期望； （2） （）试说明，当p越小时，该

11、方案越合理，即所需平均检验次数越少； （）当0.1p 时，求使该方案最合理时k的值及1000件该产品的平均检验次数 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2cos 2sin xt yt （t为参数，为实数） 以坐标原 点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为8sin，曲线 1 C与曲线 2 C交于,A B

12、两点，线段AB的中点为M （1）求线段AB长的最小值； （2）求点M的轨迹方程 23选修 45：不等式选讲（10 分） 已知非零实数, a b满足ab （1）求证： 3322 22aba bab； （2）是否存在实数，使得 22 11 () ba abab 恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不 存在，请说明理由 理科数学答案 第 1 页（共 3 页） 安徽六校教育研究会 2020 届高三第二次素质测试 理科数学参考答案 一、选择题：本大题共 12 个题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13、 D A B D C B C B A A C D 11 提示： 考虑函数ln1(0)yaxx与 2 4(0)yxaxx的图象， 不难知它们有公共的零点t时， ( )0f x 恒成立于是， 2 4eatt，解得 e 4e a 12提示：取AC中点E，过M作MF 面 1111 ABC D，则APMAEM，故PMEM，而对固 定的点M，当 11 MNBC时，MN最小此时由MF 面 1111 ABC D，可知MFN为等腰直角三 角形， 2 2 MFMN，故 1 2 222()222 2 PMMNPMMNEMMFAA（） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13 12 3 2

14、14160 154 108 16 6 (0,) 3 16提示：不难知，圆 222 1xya上任意一点向椭圆C所引的两条切线互相垂直，因此当直线 34100xy与圆 222 1xya相离时，APB恒为锐角，故 22 14ad ， 2 13a， 从而离心率 2 16 1(0,) 3 e a 三、解答题：共 70 分。 （一）必考题：共 60 分。 17 （12 分） 【解析】 （1）由题， 22 2sin2cos2coscos 22 ABAB AB 1cos()1cos()2coscosABABAB 22cos()22cosABC1， 解得 1 cos 2 C ，所以60C （6 分） （2）由余

15、弦定理， 222 16cabab，再由 222 |38CACBabab ， 解得 22 27ab，11ab ，所以 2 ()49ab，7ab， 故ABC的周长为11 （12 分） 18 （12 分） 【解析】 （1）因为BC 平面PAB，PA平面PAB，所以BCPA， 由PAB为等腰直角三角形，所以PAPB， 又PBBCB，故PA平面PBC （5 分） 理科数学答案 第 2 页（共 3 页） （2）取AB的中点O，连接,OP OD， 因为PAPB，ADBD，所以POAB，DOAB， 因为BC 平面PAB，所以PAB 平面ABCD， 所以PO 平面ABCD，POOD， 如图，以O为坐标原点，,O

16、D OB OP分别为, ,x y z正半轴建立 空间直角坐标系Oxyz， 则1AOBOPO， 22 2DOADAO， 又BCAB，DOPA，所以/ODBC且ODBC，于是 (0,0,1)P，(0, 1,0)A，(2,0,0)D，(2,1,0)C，(2,1, 1)PC ，(0,1,1)AP ，(2,1,0)AD ， 设平面PAD的法向量为( , , )nx y z ，则 0 20 n APyz n ADxy ，令1x 得平面PAD的一个法向量(1, 2,2)n ， 设直线PC与平面PAD所成的角为， 则 26 sincos, 9| |6 3 PC n PC n PCn （12 分） 19 （12

17、 分） 【解析】 （1）由题，(1,0)F，若线段AF与抛物线C没有公共点，即 9 4 a 时， 设点P在抛物线准线1x 上的射影为D，则, ,D P A三点共线时， |PAPF的最小值为|( 1)5ADa ，此时4a ； 若线段AF与抛物线C有公共点，即 9 4 a 时， 则, ,A P F三点共线时，|PAPF的最小值为 22 |(1)35PFa，此时3a 综上，实数a的值为3或4 （6 分） （2）因为MOAMAOAOF ，所以MAx轴且MOMAMP， 设( ,3)M t，则(2 ,6)Pt，代入抛物线C的方程解得29t ， 于是 3 13 2 MOMAMP，所以 19 13 22 PO

18、PA SMA y （12 分） 20 （12 分） 【解析】 （1） 2 ( )2(sincos ) xx f xeexx，(0)2f，(0)f ， 所以直线l方程为(2)yx， 即(2)(1)2yx，恒过点( 1, 2) （5 分） （2）将(1,6)代入直线l方程，得2 考虑方程( )0f x ， 即 2 2cos10 xx exe ，等价于2cos0 xx eex ， 记( )2cos xx g xeex ，则( )2sin22sin22sin0 xxxx g xeexeexx ， 于是函数( )g x在R上单调递增，又 22 ()0 2 gee ，(0)20g， 所以函数( )g x在

19、区间(,0) 2 上存在唯一零点，即函数( )f x存在唯一零点 （12 分） D P A B C O y x z 理科数学答案 第 3 页（共 3 页） 21 （12 分） 【解析】 （1）由题，X的可能取值为 1 k 和 1k k ， 1 ()(1)kP Xp k ， 1 ()1(1)k k P Xp k ，故X的分布列为 X 1 k 1k k P (1)kp 1(1)kp 111 ()(1)1(1) 1(1) kkk k E Xppp kkk （5 分） （2） （）由（1） ，记 1 ( )1(1)kf pp k ，因为0k ，所以( )f p在(0,1)p上单调递增 ， 故p越小，(

20、 )f p越小，即所需平均检验次数越少，该方案越合理 （8 分） （）记 11 ( )1(1)10.9 kk g kp kk ，当( )1g k 且取最小值时，该方案最合理， 因为(1)1.1, (2)0.69, (3)0.604, (4)0.594, (5)0.61ggggg，所以4k 时平均检验次数最 少，约为10000.594594次 （12 分） （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程（

21、10 分） 【解析】 （1）曲线 2 C的方程化成直角坐标方程为 22 8xyy即 22 (4)16xy， 圆心 2(0,4) C，半径4r ，曲线 1 C为过定点(2,2)P的直线， 易知(2,2)P在圆 2 C内，当 2 PCAB时， 线段AB长最小为 2222 2 2|2 16(20)(24) 4 2rPC （5 分） （2）当点M与点P不重合时，设( , )M x y， 2 C MPM， 2 (2)(4)(4)0C M PMx xyy ，化简得： 22 (1)(3)2xy， 当点M与点P重合时，也满足上式， 故点M的轨迹方程为 22 (1)(3)2xy （10 分） 23选修 45：不

22、等式选讲（10 分） 【解析】 （1） 332222 (22)()()2()aba babab aabbab ab 22 ()()ab aabb 22 3 ()() 24 b abab ab，0ab，又 22 3 ()0 24 b ab， 3322 22aba bab （5 分） （2） 22 11 () ba abab ，即 33 22 baba a bab ，即 22 22 baba a bab （*） 当0ab 时， （*）即 22 1 bababa abab 恒成立， 22 bab a aba b （当且仅当ab时取等号） ，故3 当0ab 时， （*）即 22 1 bababa abab 恒成立， ()()2 () ()2 bababa ababab （当且仅当ab 时取等号） ，故1 综上， 1,3 （10 分）