人教版七年级下学期数学章节知识点精讲精析：平面直角坐标系（原卷版）.docx

1、 1 / 15 人教版七年级下学期数学章节知识点人教版七年级下学期数学章节知识点精讲精析精讲精析 平面直角坐标系 7.1 平面直角坐标系 . 2 知识框架 2 一、基础知识点 2 知识点 1 有序数对 . 2 知识点 2 平面直角坐标系 . 2 知识点 3 点的坐标特点 . 3 二、典型题型 4 题型 1 有序数对 . 4 题型 2 平面直角坐标系的概念 4 题型 3 点的坐标的特征 . 4 一、点的位置与坐标 4 二、点的坐标与距离 5 三、点的坐标与平行于坐标轴的直线（数形结合思想） . 5 四、点的坐标与图形的面积. 6 （1）知坐标，求面积. 6 （2）知面积，求坐标（方程思想） .

2、7 （3）分类讨论 7 三、难点题型 9 题型 1 确定点所在的象限 . 9 题型 2 点到坐标轴的距离 . 9 题型 3 探究平面直角坐标系坐标的变化规律 9 7.2 坐标系的简单运用 . 10 知识框架 10 一、基础知识点 10 知识点 1 用坐标表示地理位置 10 知识点 2 用坐标表示平移 . 10 二、典型题型 12 题型 1 用坐标表示地理位置 . 12 题型 2 用坐标表示平移 . 12 一、点的平移 12 （1）已知点和平移方式，求对应点 . 12 （2）已知点和对应点，求平移方式 . 12 二、图形的平移 12 三、难点题型 14 题型 1 动点问题 . 14 2 / 15

3、 7.1 平面直角坐标系平面直角坐标系 知识框架知识框架 基础知识点 有序数对 平面直角坐标系 点的坐标的特点 典型题型 有序数对 平面直角坐标系的概念 点的坐标的特征 点的位置与坐标 点的坐标与距离 点的坐标与平行于坐标轴的直线（数形结合思想） 点的坐标与图形的面积 知坐标，求面积 知面积，求坐标（方程思想） 分类讨论 难点题型 确定点所在的象限 点到坐标轴的距离 探究平面直角坐标系坐标的变化规律 一、基础知识点一、基础知识点 知识点知识点 1 有序数对有序数对 1）我们把有顺序的两个数 a 与 b 组成的数对，用于表示平面中某一确定位置的，叫作有序数对，记作 （a，b） 注：注：（a，b）

4、与（b，a）表达的含义不同，注意有序数对的顺序 在表达有序数对时，一般行在前，列在后。 利用有序数对表示位置前，需要对行列的方向进行规定并进行一定的排序。 例例 1.下列数据中不能确定物体位置的是： A.1 单元 201 号 B.南偏西 60 C.学院路 11 号 D.东经 105，北纬 40 例例 2.如果一张“13 排 10 号”的电影票简记为（13,10） ，那么（10,13）表示的电影票是： 知识点知识点 2 平面直角坐标系平面直角坐标系 1）平面直角坐标系：在平面内画两条相互垂直，经过同一原点的数轴，组成平面直角坐标系。一般， 水平坐标轴称为横轴或 x 轴，垂直坐标轴成为纵轴或 y

5、轴。 2）坐标平面被两条坐标轴分为四个部分。 （I、II、III、IV 象限） 注：注：坐标轴上的点不属于任何象限（x 轴上、y 轴上、原点） 3）点的坐标：平面内的点可以用一组有序数对表示，这组有序数对叫作点的坐标。过该点分别向横、 纵轴作垂线（距离） ，横、纵轴上对应的数分别叫作点的横坐标、纵坐标。 注：注：表示点的坐标时，横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开，用括号括起来。 有序数对（x，y）就叫做点的坐标， x-距 y 轴的距离 y-距 x 轴的距离 点（0，0）到 x 轴的距离为|0|，到 y 轴的距离为|0|。 平面直角坐标中，坐标点和点是一一对应的。 例例 1.下列语句中不正确

6、的是： 3 / 15 A.在平面内，两条互相垂直的数轴的垂足是原点 B.平面直角坐标系所在平面叫作坐标平面 C.坐标平面上的点与有序数对是一一对应的 D.凡是两条互相垂直的直线都能组成平面直角坐标系 例例 2.在平面直角坐标系中，依次描述下列各点，并将各组内的点依次连接起来。 （1） （2,1） ， （2,0） ， （3,0） ， （3,4） （2） （3,6） ， （0,4） ， （6,4） ， （3,6） 知识点知识点 3 点的坐标特点点的坐标特点 1）坐标 P（a，b） 第一象限 a0，b0 第二象限 a0 第三象限 a0，b0，b0，b0 时，M 点位于第几象限？ （3）当 a 为任意

7、有理数，且 b0 时，M 点位于第几象限？ 例例 3.已知 A（a-1，-2） ，B（-3，b+1） ，根据以下要求，确定 a，b 的值。 （1）直线 ABy 轴 （2）直线 ABx 轴 4 / 15 二、典型题型二、典型题型 题型题型 1 有序数对有序数对 解题技巧：解题技巧：用两个数字可以表达平面上的确定位置。我们把有顺序的两个数 a 与 b 组成的数对，用于表示 平面中某一确定位置的，叫作有序数对，记作（a，b） 注：注：（a，b）与（b，a）表达的含义不同，注意有序数对的顺序 在表达有序数对时，一般行在前，列在后。 利用有序数对表示位置前，需要对行列的方向进行规定并进行一定的排序 例例

8、 1.判定下列有序数对书写格式的正误： A.（ 5、9） B.（4， 2） C.4， 6 D.（3 4） 例例 2.下列关于有序数对的说法中确的是（ ） A.（3,4）与（4,3）表示的位置相同 B.（a，b）与（b，a）表示的位置肯定不同 C.（3,5）与（5,3）表示两个不同位置的有序对 D.有序数对（4,4）与（4，4）表示两个不同的位置 题型题型 2 平面直角坐标系的概念平面直角坐标系的概念 解题技巧：解题技巧：平面直角坐标系中，P（a，b）表示一个点的坐标，a 为横坐标，b 为纵坐标，且用逗号分隔， 用小括号括起来。 例例 1.如果点 P 的坐标为（1,2） ，那么 P 点的横坐标为

9、： ，纵坐标为： 例例 2.如果 M 点的横坐标为2，纵坐标为1，那么点 M 的坐标为： 题型题型 3 点的坐标的特征点的坐标的特征 点的坐标的特征 点的位置与坐标 点的坐标与距离 点的坐标与平行于坐标轴的直线 解题思想方程思想 数形结合思想 点的坐标与图形的面积 知坐标，求面积 知面积，求坐标 分类讨论 一、点的位置与坐标一、点的位置与坐标 解题技巧：解题技巧：P（a，b）在坐标轴中有如下几种位置关系： 5 / 15 注：注：在探讨位置关系时，不必记忆上述类容，应在解题过程中，画出平面直角坐标系草图，根据坐标 关系，描点来确定点的位置； 在象限内的点，横、纵坐标一定都不为 0；在坐标轴上的点

10、，横、纵坐标至少有一个为 0. 例例 1.在平面直角坐标系中，若点 A（a，b）在第三象限内，则点 B（a，b）在哪个象限。 例例 2.在平面直角坐标系中，点 P（2，2）在什么位置？ 二、点的坐标与距离二、点的坐标与距离 解题技巧：解题技巧：点 P（a，b）距离 x 轴的距离为：|，距离 y 轴的距离为：|。 注：距离一定是正值； 距离 x 轴的距离是纵坐标的绝对值，距离 y 轴的距离是横坐标的绝对值； 距离中涉及到绝对值，在解题过程中，可能会有多解情况。 例例 1.点 P（2，3） ，求点 P 到 x 轴和到 y 轴的距离。 例例 2.已知平面直角坐标系中有一点 M（m1,2m+3） 。

11、（1）若点 M 到 x 轴的距离为 1，求 m 的值； （2）若点 M 到 y 轴的距离为 2，求 m 的值。 三、点的坐标与平行于坐标轴的直线（数三、点的坐标与平行于坐标轴的直线（数形结合思想形结合思想） 解题技巧：解题技巧：有 M（a，b） ，N（c，d）两点 6 / 15 如上图，若 MNx 轴（或 MNy 轴） ，则两点纵坐标相等，横坐标不等，即： = 如上图，若 MNy 轴（或 MNx 轴） ，则两点横坐标相等，纵坐标不等，即： = 例例 1.已知点 M（3，2）与点 N（x，y）在同一条平行于 x 轴的直线上，且点 N 到 y 轴的距离为 4，求点 N 的 坐标。 例例 2.已知平

12、面直角坐标系中有一点 M（m1，2m+3） （1）若点 M 到 x 轴的距离为 3，求点 M 的坐标； （2）若点 N 坐标为（5，1） ，且 MNx 轴，求点 M 的坐标。 四、点的坐标与图形的面积四、点的坐标与图形的面积 点的坐标与图形的面积 知坐标，求面积 知面积，求坐标 分类讨论 （方程思想） （1）知坐标，求面积）知坐标，求面积 解题技巧：解题技巧：已知组成不规则图形端点的坐标，求面积问题，常用方法为： “割补法” 。原则是通过割补，不 规则图形或则边长不好表示的图形成容易根据点的坐标求解出边长的图形，然后在求解图形面积。 不规则多边形：过不规则图形的顶点作坐标轴的垂线与平行线，将不

13、规则图形“补形”成一个大的矩 形；然后用大的矩形面积减去多余部分图形（多位直角三角形）面积。 三角形：三角形用“补形法”也可以进行，但相对比较麻烦，三角形常用方法为“切割法” 。过三角形 的顶点作坐标轴的垂线，将三角形切割成易于根据点的坐标求解边长的规则图形。 例例 1.如图，四边形 ABCD 的顶点坐标分别为 A（-2,5） ，B（-5，-3） ，C（-2，-4） ，D（4，-1） 。求四边形 ABCD 的面积。 7 / 15 例例 2.如图，平面直角坐标系 xOy 中有点 B（2,3）和 C（5,4） ，求OBC 的面积。 （2）知面积，求坐标（方程）知面积，求坐标（方程思想思想） 解题技

14、巧：解题技巧：我们可以利用方程的思想，设未知点的坐标为未知数，然后再根据点的坐标，确定线段的长度， 进而根据图形面积列方程，求解出未知数即可。方程思想是比较常见的一类数学思想，引入未知数，可将 图形问题转化方程求解的问题。 例例1.如图， 点A的坐标 （0， a） ， 将点A向右平移b个单位长度得到点B， a， b满足：（3 6） 2 + | + 5| = 0。 （1）求点 B 的坐标并求； （2）在 x 轴上是否存在一点 D，使得= 2？若存在，求点 D 的坐标；若不存在，说明理由。 例例 2.如图，已知= 24，OA=OB，BC=12，求ABC 三个顶点的坐标。 例例 3.如图，已知长方形

15、 ABCD 的面积为 28，点 A（4，2） ，B（4，2） ，C（x，2） ，当 x4 时，求 C，D 的坐标。 8 / 15 （3）分类讨论）分类讨论 解题技巧：解题技巧：此类题型仅不知图形的一个顶点，且已知面积，求这个顶点。这个顶点位置不固定，存在多 解情况，需考虑全面。 点在坐标轴上：先确定三角形的底，根据面积，确定三角形高的长度。在根据底的长度或高的长度来 确定未知点的位置。 注注：一般以坐标轴上的线段或平行于坐标轴的线段为图形的底，这样易于通过坐标点读出线段长度。 点在格点上：已知三角形的面积，根据条件，先确定三角形的底；然后根据面积，确定高；最后根据 高的大小，确定未知点的位置（

16、多解） 。 例例 1.已知点 O（0，0） ，B（1，2） ，点 A 在坐标轴上，且= 2，求点 A 的坐标。 例例 2.已知点 A（4，2） ，B（3，0） ，点 C 在 x 轴上，且= 9，求点 C 的坐标。 例例3.已知三角形的三个顶点都在下图的方格上， 其中点A （3， 3） ， B （3， 5） ， 请在方格上找出点C， 使得= 2. 9 / 15 三、难点题型三、难点题型 题型题型 1 确定点所在的象限确定点所在的象限 解题技巧：解题技巧：判断点的位置，关键是寻求横纵坐标的正负性。当横纵坐标正负确定时，需要分类讨论。 例例 1.判断下列点所在的位置： （1）M（|x| + x， |

17、x| x） （x0） （2）N（a2+1， |2x y + 1|） （3）设 A（x，y）是第一象限的点，点 B 与 A 关于 x 轴对称，点 C 与 B 关于 y 轴对称，求 B、C 的位置。 例例 2.若 a 是整数，点 M（92a，3a9）在第一象限，求 N（a1，2a）所在的象限。 题型题型 2 点到坐标轴的距离点到坐标轴的距离 解题技巧：解题技巧：P（x，y）到 x 轴的距离为|，到 y 轴的距离为|。因为引入了绝对值，此类题型通常有多解。 例例 1.点 P 到 x 轴的距离是 2，到 y 轴的距离是 1，求点 P 的坐标 例例 2.若点 P（x，y）在第一或第三象限，点 A（2x+

18、y，-3y）与点 B（-x，x+y）到 x 轴的距离之和是 5，到 y 轴距离之和是 4，求 A、B 两点的坐标。 题型题型 3 探究平面直角坐标系坐标的变化规律探究平面直角坐标系坐标的变化规律 解题技巧：解题技巧：根据题干特点，通常通过列举法 寻找出变化规律，进而总结出点坐标的变化。 例例 1.如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 O 出发，按照向上、向右、向下、向右的方向不断移动， 每次移动一个单位，可得到点1（0，1） ，2（1，1），3（1，0） ，4（2，0）等。求4+1（n 为自然数） 的坐标。 10 / 15 例例 2.如图，棋子从原点出发，第 1 步向右走 1 个单位，第 2

19、 步向右走 2 个单位，第 3 步向上走 1 个单位； 第 4 步向右走 1 个单位，一次类推。当走完第 100 步时，对应的坐标是多少？ 11 / 15 7.2 坐标系的简单运用坐标系的简单运用 知识框架知识框架 基础知识点用坐标表示地理位置 用坐标表示平移 典型题型 用坐标表示地理位置 用坐标表示平移点的平移 已知点和平移方式，求对应点 已知点和对应点，求平移方式 图形的平移 难点题型动点问题 一、基础知识点一、基础知识点 知识点知识点 1 用坐标表示地理位置用坐标表示地理位置 1）利用坐标系表示地理位置的具体过程： 建立坐标系，选择合适的参照点作为坐标原点，确定 x 轴、y 轴正方向；

20、根据问题描述，确定适当的比例尺，并在坐标轴上标出单位长度。 在坐标轴内标出对应点，并写出各点坐标及名称。 2）用方位角和距离表示物体的位置（极坐标） 选定参照物（原点）和固定方向（坐标轴正方向） ，然后用一个角度和距离表示一个点的位置。 注：注：（长度，角度）也是一个由 2 个参数组成的有序数对，可以表示二维平面上的位置，且也 有且仅表示一个确定的点。一般长度在前，角度在后。 在正方向上，长度为正，在负方向上，长度为负。 （与数轴类似） 45 度时，一般称为东北、西北、东南、西南。 其他角度时，东偏北 30=北偏东 60 例例 1.根据下列条件画一幅示意图，标出学校、工厂、体育馆、百货商店的位

21、置。 （1）从学校向东走 300 米，再向北走 300 米是工厂。 （2）从学校向西走 100 米，再向北走 200 米是体育馆。 （3）从学校向南走 150 米，再向东走 250 米，再向南走 50 米时百货商店。 例例 2.如图，小明家和所在地的简略图。已知图上距离 OA=1cm，OB=1.4cm，D=2cm，C 为 OD 的中点，回答 下列问题（O 表示小明家） （1）图中到小明家距离相同的有哪些地方？ （2）已知 D 到小明家距离为 200m，那么以小明家为观测点，A、B、C、D 场分别在什么位置？ 知识点知识点 2 用坐标表示平移用坐标表示平移 1）左右移，横变纵不变，左减右增； 1

22、2 / 15 上下移，纵变横不变，下减上增。 2）图形平移，关键点的坐标变化规律与点的平移坐标的变化一样。 图形平移，所有关键点执行同等变化，关键点坐标变化同步。 平移作图步骤： 方法一： a.找出图中关键点 b.根据平移规则，标出关键点平移后所对应的点 c.连接关键点成图 方法二： a.找出图中关键点 b.根据平移规则，找出某一关键点平移后所对应的点 c.连接该关键点平移前后两点，组成线段 d.过其余关键点作平行于 c 中的线段的线段，线段末端就是对应关键点平移后的位置 e.连接关键点成图 例例 1.在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（-2,3） ，B（-4，-1） ，C

23、（2,0） ，将ABC 平移 至 DEF 处，点 A，B，C 的对应点分别为 D，E，F，若 D 的坐标为（3,1） ，则点 F 的坐标为： 例例 2.ABC 中点 P（-2，2） ，经平移后得到 Q（3,5） ，ABC 的顶点坐标分别为 A（-2,3） ，B（-4，-2） ，C（1， -1） ，求ABC 平移后各顶点的坐标。 13 / 15 二、典型题型二、典型题型 题型题型 1 用坐标表示地理位置用坐标表示地理位置 解题技巧：解题技巧：用坐标表示地理位置，关键在于找出坐标原点，建立平面直角坐标系，最后找出点的坐标。 例例 1.某人出火车站向南走 300m 到超市，再从超市向西走 100m

24、到汽车站。若将超市标记为（0，-300） ，求 汽车站的坐标。 例例 2.若“帅”位于点（1，2）上， “相”位于点（3，2）上，求“炮”的坐标。 题型题型 2 用坐标表示平移用坐标表示平移 用坐标表示平移点的平移 已知点和平移方式，求对应点 已知点和对应点，求平移方式 图形的平移 一、点的平移一、点的平移 解题技巧：解题技巧：利用平移特点：通过作图来理解过程，从而寻求坐标点的变化规律。上加下减，右加左减。注 意平移的逆过程，变化规律亦相反。 左、右平移横坐标变,纵坐标不变,变化规律是左减右加； 数学表示：将点(x,y)向右(向左)平移 a 个单位 长度，可得到对应点(x+a,y)或(x-a,

25、y); 上、下平移横坐标不变,纵坐标变,变化规律是上加下减；数学表示：将点(x,y)向上(向下)平移 a 个单位长 度，可得到对应点(x,y+a)或(x,y-a). （1）已知点和平移方式，求对应点）已知点和平移方式，求对应点 例例 1.平面直角坐标系中,将点 A(3，5)向上平移 4 个单位,再向左平移 3 个单位到点 B,则点 B 的坐标为： 例例 2. A 为物体上一点，坐标为（3，1） ，将物体先向左平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位，求点 A 的对 应点的坐标。 （2）已知点和对应点，求平移方式）已知点和对应点，求平移方式 例例 1.在线段 AB 上有一点 P（a，b） ，经过

26、平移后对应点1（c，d） ，已知点 A（3，2）在平移后对应点1（5， 1） 。 （1）若点 B（1，4） ，求平移后对应点1的坐标。 （2）求 a+bcd 的值。 例例 2.在平面直角坐标系中，A（-2,1） ，B（-3，-2） ，平移线段 AB，使点 B 的对应点刚好与坐标原点重合。若 线段 AB 上有点 M（a，b） ，则平移后，M 对应点的坐标为： 二、图形的平移二、图形的平移 14 / 15 解题技巧：解题技巧：图形的平移和点的平移完全相同，图形中，每一个点的平移方式是相同的。根据图形中某点前 后对应点，可以得出出行平移的形式。然后根据这个平移形式，可求解出其他点的对应点。 例例 1

27、.DEF 是ABC 平移后得到，已知 A（0,0） ，B（2，-1） ，C（-1，-3） ，E（-2,2） （1）写出平移过程 （2）求 D、F 坐标 例例 2.已知：A，B，C 三点坐标分别为（5，1） ， （2，3） ， （3，1） ，三角形 ABC 内任意一点 P（x，y）经 过平移后，P 点的对应点1的坐标为（x+2，y4） ，那么平移后所得三角形111的三个顶点坐标为多少？ 15 / 15 三、难点题型三、难点题型 题型题型 1 动点问题动点问题 解题技巧：解题技巧： 动点问题， 通常假设运动时间为 t， 将时间 t 视作常数进行图形分析， 列出关于未知数 t 的方程， 求解方程来解

28、决。 例例 1.如图，已知点 A（1，0） ，点 B 在 y 轴上，将OAB 沿 x 轴负方向平移，平移后的图形为DEC，且点 C 的坐标为（3，2） 。 （1）求点 E 的坐标； （2）在四边形 ABCD 中，点 P 从点 B 出发，沿 BCCD 移动。若点 P 的速度为每秒 1 个单位长度，运动时 间为 t 秒，请解决以下问题，并说明理由。 当 t 为多少时，点 P 的横坐标与纵坐标互为相反数； 求点 P 在运动过程中的坐标（用含 t 的式子表示） 。 例例 2.如图，在平面直角坐标系中，A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，2） （1）求ABC 的面积； （2）若点 P 从点 B 出发沿射线 BA 的方向匀速移动，速度为 1 个单位长度每秒，设移动时间 t 秒，当 t 为何 值时，PAC 的面积等于BOC 的面积。