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1、概率复习概率复习2022-12-141一、知识回顾：一、知识回顾：随机事件的概率随机事件的概率事事 件件事件的概率事件的概率随机事件随机事件必然事件必然事件不可能事件不可能事件概率的定义概率的定义怎样得到随机怎样得到随机事件的概率事件的概率0 0P P1 1P=1P=1P=0P=0概率概率频率频率概率是频率概率是频率的稳定值的稳定值用频率估计概率用频率估计概率用列举法求概率用列举法求概率2022-12-142一个事件在多次试验中发生的可能性叫做这个事件发生的 。在多次试验中，某个事件出现的次数叫 ，某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的 ，2022-12-143区别某可能事件发

2、生的概率是一个定值.而这一事件发生的频率是波动的.当试验次数不大时，事件发生的频率与概率的差异甚至很大.频率与概率的区别与联系频率与概率的区别与联系联系当试验次数很大时当试验次数很大时,一个事件发生的一个事件发生的频率频率稳定在相应的稳定在相应的概率概率附近附近.即试验频率稳定于理即试验频率稳定于理论概率。因此论概率。因此:注意事件发生的频率不能简单地等同于其 概率2022-12-144 一般地，对于事件A和事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B），记作：A B（或B A）事件的关系与运算：可用图表示为：1、事件的包含关系BA我们把不可能事件记

3、作，任何事件都包含不可能事件 一般地，若B A，且A B，那么称事件A与事件B相等，记作：A=B。2、事件的相等关系2022-12-145 若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件)，记作：A B（或A+B）可用图表示为：3 3、并事件（和事件）、并事件（和事件）BAA BA B注：两个事件相等也就是说这两个事件是 同一个事件。2022-12-146 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）记作：AB（或AB）4 4、交事件（积事件）、交事件（积事件）BAAB可用图表示为：若AB为不可能事件（AB=）

4、，那么称事件A与事件B互斥。事件A与事件B互斥的含义是：这两个事件在任何一次试验中都不会同时发生，可用图表示为：5 5、互斥事件、互斥事件BA2022-12-147 若AB为不可能事件，A B为必然事件，那么事件A与事件B互为对立事件。事件A与事件B互为对立事件的含义是：这两个事件在任何一次试验中有且仅有一个发生。5 5、对立事件、对立事件2022-12-148互斥事件与对立事件的联系与区别：互斥事件与对立事件的联系与区别：1 1、两事件、两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立对立，必定互斥，但互斥未必对立2 2、互斥的互斥的概念概念适用于多个事件适用于多个事件，但对立概念只适，但对立概念只适用

5、于两个事件用于两个事件3 3、两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，、两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生一个，但可以都不发生；即至多只能发生一个，但可以都不发生；而两事件对立则表明它们有且只有一个发生而两事件对立则表明它们有且只有一个发生2022-12-1496 6、概率的加法公式、概率的加法公式(1)(1)当当A A、B B是互斥事件时：是互斥事件时：(2)(2)当当A A、B B是对立事件时：是对立事件时：()()()1P ABP AP B)(1)(APAP 即即：求法：求法：(1)直接法：化成求一些彼此互斥事件的概率的和；直接法：化成求一些彼此互斥事件的概率的和

6、；(2)间接法：求对立事件的概率间接法：求对立事件的概率.()()()P ABP AP B2022-12-1410（1 1）试验中所有可能出现的基本事件只有试验中所有可能出现的基本事件只有有限有限个；个；（2 2）每个基本事件出现的每个基本事件出现的可能性相等可能性相等 我们将具有这两个特点的概率模型称为我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模古典概率模型型，简称古典概型。，简称古典概型。P(A)=A包含的基本事件的个数包含的基本事件的个数基本事件总数基本事件总数古典概型古典概型2022-12-1411古典概型的概率计算公式古典概型的概率计算公式P(A)nm古典概型问题，求概率的基本步骤古

7、典概型问题，求概率的基本步骤1 1、判断问题是否是古典概型、判断问题是否是古典概型2 2、计算在一次实验中的所有可能结果、计算在一次实验中的所有可能结果n n（基本事件总数）（基本事件总数）3 3、计算属于事件、计算属于事件A A的基本事件数的基本事件数m m4 4、利用公式计算事件、利用公式计算事件A A的概率的概率2022-12-1412 在几何概型中,事件A的概率计算公式如下:P(A)=P(A)=构成事件构成事件A的区域长度（面积或体积）的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）几何概型几何概型（1 1）试验总所有可能

8、出现的基本事件有试验总所有可能出现的基本事件有无限无限个；个；（2 2）每个基本事件出现的每个基本事件出现的可能性相等可能性相等 我们将具有这两个特点的概率模型称为我们将具有这两个特点的概率模型称为几何概几何概率模型率模型，简称几何概型。，简称几何概型。2022-12-1413几何概型问题，求概率的基本步骤几何概型问题，求概率的基本步骤1 1、判断问题是否是几何概型、判断问题是否是几何概型2 2、计算在一次实验中的表示所有可能结果的点、计算在一次实验中的表示所有可能结果的点（基本事件总数）围成的长度；（面积、体积）（基本事件总数）围成的长度；（面积、体积）3 3、计算表示属于事件、计算表示属于

9、事件A A的基本事件的点围成的的基本事件的点围成的长度；面积、体积长度；面积、体积4 4、利用公式计算事件、利用公式计算事件A A的概率的概率2022-12-1414不同：不同：古典概型要求基本事件有有限个，古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个几何概型要求基本事件有无限多个.相同：相同：两者基本事件的发生都是等可能的；两者基本事件的发生都是等可能的；n古典概型与几何概型的区别古典概型与几何概型的区别2022-12-14151 1、甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是、甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是1/21/2，乙胜的概，乙胜的概率是率是1/31/3，则乙不输的概率是（

10、则乙不输的概率是（）甲获胜的概率是甲获胜的概率是（）甲不输的概率是甲不输的概率是（）5/61/62/3概率的基本性质 热身练习2 2、同时掷两个骰子，出现点数之和大于、同时掷两个骰子，出现点数之和大于1111的概率是（的概率是（）3 3、如图所示，在矩形、如图所示，在矩形ABCDABCD中，中，AB=4cm,BC=2cm,AB=4cm,BC=2cm,在图在图形上随机形上随机 地撒一粒黄豆，则黄豆落在阴影部分的概率地撒一粒黄豆，则黄豆落在阴影部分的概率 是是 古典概型几何概型1/361/36ACDB8p2022-12-1416 典型例题典型例题例例1 1：柜子里装有柜子里装有3 3双不同的鞋，随

11、机地取出双不同的鞋，随机地取出2 2只，试求下列只，试求下列事件的概率事件的概率（1 1）取出的鞋子都是左脚的）取出的鞋子都是左脚的;（2 2）取出的鞋子都是同一只脚的；）取出的鞋子都是同一只脚的；15解：基本事件的总个数解：基本事件的总个数:（1 1）记）记“取出的鞋子都是左脚的取出的鞋子都是左脚的”为事件为事件A A 包含基本事件个包含基本事件个 数为数为 3,31155=由古典概型的概率公式得由古典概型的概率公式得 P（A）=（2 2）记）记“取出的鞋子都是同一只脚的取出的鞋子都是同一只脚的”为事件为事件B B，P P（B B）=232155=计算古典概型事件的概率计算古典概型事件的概率

12、 可分三步可分三步 算出基本事件的总个数算出基本事件的总个数n n，求出事件求出事件A A所包含的基本事件所包含的基本事件个数个数m,m,代入公式求出概率代入公式求出概率P P。在计算基本事件总数和事在计算基本事件总数和事件件A A包含的基本事件个数时，包含的基本事件个数时，要做到不重不漏。要做到不重不漏。2022-12-1417例例1 1：柜子里装有柜子里装有3 3双不同的鞋，随机地取出双不同的鞋，随机地取出2 2只，试求下列只，试求下列事件的概率事件的概率()3 33155p c=解（解（1）记）记“取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的”为为C341155-

13、=（2）记）记“取出的鞋不成对取出的鞋不成对”为为D P（D）=牛刀小试牛刀小试（1）取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的；）取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的；（2）取出的鞋不成对；）取出的鞋不成对；【点评点评】含有含有“至多至多”“”“至少至少”等类型的概率问题，等类型的概率问题，从正面从正面 解决解决 比较困难或者比较繁琐时，比较困难或者比较繁琐时，可考虑其反面，即对立事可考虑其反面，即对立事 件，件，然后利然后利用对立事件的性质进一步求解。用对立事件的性质进一步求解。2022-12-14181 1、从装有、从装有2 2个红球和个红球和2 2个黑球的袋子中任取个黑球的袋子中任取2 2个球，

14、个球，那么那么 互斥而不对立的事件是（互斥而不对立的事件是（）A.A.至少有一个黑球与都是黑球至少有一个黑球与都是黑球 B.B.至少有一个黑球与至少有一个红球至少有一个黑球与至少有一个红球 C.C.恰有一个黑球与恰有两个黑球恰有一个黑球与恰有两个黑球 D.D.至少有一个黑球与都是红球至少有一个黑球与都是红球 随堂练习随堂练习2 2、盒中有、盒中有1010个铁钉，其中个铁钉，其中8 8个是合格的，个是合格的，2 2个是不合格个是不合格的，从中任取两个恰好都是不合格的概率是的，从中任取两个恰好都是不合格的概率是 3 3、（广东高考）（广东高考）在一个袋子中装有分别标注数字在一个袋子中装有分别标注数

15、字1 1，2 2，3 3，4 4，5 5的五个小球，现从中随机取出的五个小球，现从中随机取出2 2个小球，则取个小球，则取出的小球标注的数字之和为出的小球标注的数字之和为3 3或或6 6的概率是的概率是 1/453/10C2022-12-1419 4.在星期一至星期五的5天内安排2门不同的测试，每天最多进行一门考试，则两门考试安排在连续两天的概率为_5.分别在区间1，6和1，4内任取一个实数，依次记为 m和n，则mn的概率为_6.已知数列an，a3=8，(an+1-an-2)(2an+1-an)=0，则a1的值大于20的概率为_解：（an+1-an-2）（2an+1-an）=0an+1-an-

16、2=0或2an+1-an=0即：a3-a2=2，a2-a1=2或a2=2a3，a1=2a2当a3=8时，a2=6或a2=16当a2=6时，a1=4或a1=12当a2=12时，a1=10或a1=24a1的值大于20的概率为1/47.设D是正P1P2P3及其内部的点构成的集合，点P0是P1P2P3的中心，若集合S=P|PD，|PP0|PPi|，i=1，2，3，若向P1P2P3内随机放一点，则该点落在S的概率为_2022-12-1420n 某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中的3杯为A饮料，另外的2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后

17、，从5杯饮料中选出3杯A饮料。若该员工3杯都选对，测评为优秀；若3杯选对2杯测评为良好；否测评为合格。假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.n（1）求此人被评为优秀的概率n（2）求此人被评为良好及以上的概率2022-12-1421n 解：将5不饮料编号为：1，2，3，4，5，编号1，2，3表示A饮料，编号4，5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：（1,2,3），（1,2,4），（1，2，5），（1,3,4），（1,3,5），（1,4,5），（2,3,4），（2,3,5），（2,4,5），（3,4,5）可见共有10种n 令D表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评人良好的事件，F

18、表示此人被评为良好及以上的事件。则n （1）P(D)=1/10n （2）P(E)=3/5 P(F)=P(D)+P(E)=7/102022-12-1422n 以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示n（）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；n（）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树为19的概率2022-12-1423解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为35/4方差为11/16（）记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9，9，

19、11，11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（A3，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A1，B4），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率为 P（C)=4/16=1/4

20、2022-12-1424 课时小结课时小结1 1、本节课主要复习了概率的基本性质，及古典概、本节课主要复习了概率的基本性质，及古典概型和几何概型的解题方法，区别与联系型和几何概型的解题方法，区别与联系2 2、两种概率模型的特点：两种概率模型的特点：古典概型满足有限性和等可能性，古典概型满足有限性和等可能性，几何概型满足无限性和等可能性，几何概型满足无限性和等可能性，3 3、两种概率模型的解题步骤：两种概率模型的解题步骤：在具体求解时都是分三步。在具体求解时都是分三步。古典概型古典概型 ：所求事件包含基本事件数：所求事件包含基本事件数 /总基本事件数总基本事件数 几何概型：几何概型：所求事件构成区域所求事件构成区域 /总区域总区域2022-12-1425谢谢观赏！谢谢观赏！Thanks!Thanks!2022-12-1426