2011—2017年新课标全国卷1理科数学分类汇编-4．三角函数、解三角形.doc

1、4三角函数、解三角形三角函数、解三角形 一、选择题一、选择题 【2017，9】已知曲线 C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+ 2 3 )，则下面结正确的是（ ） A把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度， 得到曲线 C2 B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度， 得到曲线 C2 C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度， 得到曲线 C2 D把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的

2、曲线向左平移 12 个单位长度， 得到曲线 C2 【2016，12】已知函数) 2 , 0)(sin()( xxf， 4 x为)(xf的零点， 4 x为 )(xfy 图像的对称轴，且)(xf在) 36 5 , 18 ( 单调，则的最大值为（ ） A11 B9 C7 D5 【2015，8】函数( )f x=cos()x的部分图象如图所示，则( )f x的单调递减区间为（ ） A 13 (,), 44 kkkZ B 13 (2,2), 44 kkkZ C 13 (,), 44 kkkZ D 13 (2,2), 44 kkkZ 【2015，2】sin20 cos10cos160 sin10（ ） A

3、 3 2 B 3 2 C 1 2 D 1 2 【2014，6】如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为 射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数( )f x，则 y=( )f x在0,上的图像大致为（ ） 【2014，8】设(0,) 2 ，(0,) 2 ，且 1 sin tan cos ，则（ ） A3 2 B2 2 C3 2 D2 2 【2012，9】已知0，函数( )sin() 4 f xx 在（ 2 ，）上单调递减，则的取值范围是（ ） A 1 2 ， 5 4 B 1 2 ， 3 4 C （0，

4、1 2 D （0，2 【2011，5】已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线2yx上，则cos2= A 4 5 B 3 5 C 3 5 D 4 5 【2011，11】设函数( )sin()cos()(0,) 2 f xxx 的最小正周期为， 且()( )fxf x，则（ ） A( )f x在0, 2 单调递减 B( )f x在 3 , 44 单调递减 C( )f x在0, 2 单调递增 D( )f x在 3 , 44 单调递增 二、填空题二、填空题 【2015， 16】 在平面四边形ABCD中，75ABC ，2BC ， 则AB的取值范围是 【2014，16】已知, ,a b

5、 c分别为ABC的三个内角, ,A B C的对边，a=2， 且(2)(sinsin)()sinbABcbC，则ABC面积的最大值为 【2013，15】设当 x 时，函数 f(x)sin x2cos x 取得最大值，则 cos _ 【2011，16】在ABCV中，60 ,3BAC，则2ABBC的最大值为 三、解答题三、解答题 【2017，17】ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知ABC 的面积为 2 3sin a A （1）求 sinBsinC； （2）若 6cosBcosC=1,a=3,求ABC 的周长 【2016，17】ABC的内角CBA,的对边分别为cba,，已知cA

6、bBaC)coscos(cos2 （）求C； （）若7c，ABC的面积为 2 33 ，求ABC的周长 【2013，17】如图，在ABC 中，ABC90 ，AB3，BC1，P 为ABC 内一点，BPC90 (1)若 PB 1 2 ，求 PA；(2)若APB150 ，求 tanPBA 【2012，17】已知a，b，c分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，cos3 sin0aCaCbc （1）求 A； （2）若2a，ABC 的面积为3，求b，c 3三角函数、解三角形三角函数、解三角形（解析版）（解析版） 一、选择题一、选择题 【2017，9】已知曲线 C1：y=cos x，C2：y=sin (

7、2x+ 2 3 )，则下面结正确的是（ ） A把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度， 得到曲线 C2 B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度， 得到曲线 C2 C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6 个单位长度， 得到曲线 C2 D把 C1上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度， 得到曲线 C2 【解析】 1: cosCyx， 2 2 :sin 2 3 Cyx ，首先曲线 1

8、 C、 2 C统一为一三角函数名，可将 1: cosCyx用诱 导公式处理 coscossin 222 yxxx 横坐标变换需将1变成2，即 1 1 2 sinsin 2sin2 224 C 上各坐短它原 yxyxx 点横标缩来2 sin 2sin2 33 yxx 注意的系数，在右平移需将2提到括号外面，这时 4 x平移至 3 x， 根据“左加右减”原则，“ 4 x”到“ 3 x”需加上 12 ，即再向左平移 12 故选 D； 【2016，12】已知函数) 2 , 0)(sin()( xxf， 4 x为)(xf的零点， 4 x为 )(xfy 图像的对称轴，且)(xf在) 36 5 , 18 (

9、 单调，则的最大值为（ ） A11 B9 C7 D5 【 解 析 】 ： 由 题 意 知 ： 1 2 + 4 + 42 k k 则21k， 其 中k Z ， ( )f x在 5 , 18 36 单 调 ， 5 ,12 3618122 T ，接下来用排除法：若 11, 4 ，此时 ( )sin 11 4 f xx ，( )f x在 3 , 18 44 递 增 ， 在 3 5 , 4 43 6 递 减 ， 不 满 足( )f x在 5 , 18 36 单 调 ； 若 9, 4 ， 此 时 ( )sin 9 4 f xx ，满足( )f x在 5 , 18 36 单调递减故选 B 【2015，8】函

10、数( )f x=cos()x的部分图象如图所示，则( )f x的单调递减区间为（ ） A 13 (,), 44 kkkZ B 13 (2,2), 44 kkkZ C 13 (,), 44 kkkZ D 13 (2,2), 44 kkkZ 解析：由五点作图知， 1 + 42 53 + 42 ，解得= ，= 4 ，所以( )cos() 4 f xx ，令 22, 4 kxkk Z，解得 1 2 4 k x 3 2 4 k ，kZ，故单调减区间为（ 1 2 4 k ， 3 2 4 k ） ，kZ，故选 D 【2015，2】sin20 cos10cos160 sin10（ ） A 3 2 B 3 2

11、C 1 2 D 1 2 解析：sin20 cos10cos160 sin10sin20 cos10cos20 sin10sin30，选 D. 【2014，6】如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将 点M到直线OP的距离表示为x的函数( )f x， 则y=( )f x在0,上的图像大 致为（ ） 【解析】 ：如图：过 M 作 MDOP 于，则 PM=sinx，OM=cosx,在Rt OMP中， MD= cossin 1 xxOM PM OP cos sinxx 1 sin2 2 x， ( )f

12、x 1 sin2(0) 2 xx，选 B. 【2014，8】设(0,) 2 ，(0,) 2 ，且 1 sin tan cos ，则 A.3 2 B.2 2 C.3 2 D.2 2 【解析】 sin1 sin tan coscos ，sincoscoscossin sincossin 2 ，,0 2222 2 ，即2 2 ，选 B 【2012，9】已知0，函数( )sin() 4 f xx 在（ 2 ，）上单调递减，则的取值范围是（ ） A 1 2 ， 5 4 B 1 2 ， 3 4 C （0， 1 2 D （0，2 【解析】 因为0，2x ， 所以 2444 x ， 因为函数( )sin()

13、4 f xx 在 （ 2 ，）上单调递减，所以 242 3 42 ，解得 15 24 ，故选择 A. 【 2011 ， 11 】 设 函 数( )sin()cos()(0,) 2 f xxx 的 最 小 正 周 期 为， 且 ()( )fxfx，则（ ） A( )f x在0, 2 单调递减 B( )f x在 3 , 44 单调递减 C( )f x在0, 2 单调递增 D( )f x在 3 , 44 单调递增 解析：( )2sin() 4 f xx ，所以2，又 f(x)为偶函数， , 424 kkkz ，( )2sin(2)2cos2 2 f xxx ，选 A. 【2011，5】已知角的顶点与

14、原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线2yx上，则cos2= A 4 5 B 3 5 C 3 5 D 4 5 解析：由题知tan2, 222 222 cossin1tan3 cos2 cossin1tan5 ，选 B. 二、填空题二、填空题 【2015，16】在平面四边形ABCD中，75ABC ，2BC ，则AB的取值范围是 . 解析: 如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合于E点 时，AB最长，在BCE中，75BC ，30E，2BC ，由正弦 定理可得 oo sin30sin75 BCBE ，解得BE=6+ 2；平移AD，当D与C重合时， AB最短，此时在BCF中，75

15、BBFC ，30FCB，由正弦定理 知 oo sin30sin75 BFBC ，解得62BF ，所以AB的取值范围为 ( 62, 6+ 2). 【2014，16】已知, ,a b c分别为ABC的三个内角, ,A B C的对边，a=2， 且(2)(sinsin)()sinbABcbC，则ABC面积的最大值为 . 【解析】 ：由2a且 (2)(sinsin)()sinbABcbC，即()(sinsin)()sinabABcbC，由 及正弦定理得：()()()ab abcb c， 222 bcabc， 故 222 1 c o s 22 bca A bc ， 0 60A， 22 4bcbc， 22

16、4bcbcbc， 1 sin3 2 ABC SbcA ， 【2013，15】设当 x 时，函数 f(x)sin x2cos x 取得最大值，则 cos _. 解析：解析：f(x)sin x2cos x 12 5sincos 55 xx ，令 cos 1 5 ，sin 2 5 ， 则 f(x)5sin(x)，当 x2k 2 (kZ)时，sin(x)有最大值 1，f(x)有最大值5， 即 2k 2 (kZ)，所以 cos cos 2 + 2 k cos 2 sin 22 5 55 . 【2011，16】在ABCV中，60 ,3BAC，则2ABBC的最大值为 解析： 00 120120ACCA, 0

17、 (0,120 )A,22sin sinsin BCAC BCA AB 0 22sin2sin(120)3cossin sinsin ABAC ABCAAA CB ； 2ABBC3cos5sin28sin()2 7sin()AAAA，故最大值是2 7 三、解答题三、解答题 【2017，17】ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知ABC 的面积为 2 3sin a A （1）求 sinBsinC； （2）若 6cosBcosC=1,a=3,求ABC 的周长 【解析】（1）ABC面积 2 3sin a S A 且 1 sin 2 SbcA， 2 1 sin 3sin2 a bc

18、A A ， 22 3 sin 2 abcA，由正弦定理得 22 3 sinsinsinsin 2 ABCA，由sin0A得 2 sinsin 3 BC （2）由（1）得 2 sinsin 3 BC ， 1 coscos 6 BC ，ABC， 1 coscos cossinsinC coscos 2 ABCBCBBC ， 又0A，60A ， 3 sin 2 A， 1 cos 2 A ，由余弦定理得 222 9abcbc 由正弦定理得sin sin a bB A ，sin sin a cC A ， 2 2 sinsin8 sin a bcBC A 由得 33bc ， 333abc ，即ABC周长为

19、3 33 【2016，17】ABC的内角CBA,的对边分别为cba,，已知cAbBaC)coscos(cos2 （）求C； （）若7c，ABC的面积为 2 33 ，求ABC的周长 【解析】 2coscoscosC aBbAc ，由正弦定理得： 2cossincossincossinCABBAC 2cossinsinCABC ， ABC，0ABC、 、， ， sinsin0ABC 2cos1C ， 1 cos 2 C ， 0C， ， 3 C 由余弦定理得： 222 2coscababC ， 22 1 72 2 abab ， 2 37abab 133 3 sin 242 SabCab ， 6ab

20、， 2 187ab ， 5ab ABC周长为57abc 【2013，17】如图，在ABC 中，ABC90 ，AB3，BC1，P 为ABC 内一点，BPC90 . (1)若 PB 1 2 ，求 PA；(2)若APB150 ，求 tanPBA. 解：(1)由已知得PBC60 ，所以PBA30 . 在PBA 中，由余弦定理得 PA2 117 323cos 30 424 ，故 PA 7 2 . (2)设PBA，由已知得 PBsin ，在PBA 中，由正弦定理得 3sin sin150sin(30) ， 化简得3cos 4sin ，所以 tan 3 4 ，即 tanPBA 3 4 . 【2012，17】

21、已知a，b，c分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，cos3 sin0aCaCbc （1）求 A； （2）若2a，ABC 的面积为3，求b，c 【解析】 （1） 根据正弦定理R C c B b A a 2 sinsinsin ， 得ARas i n2，BRbsin2，CRcsin2， 因为cos3 sin0aCaCbc ， 所以0sin2sin2sin)sin2(3cos)sin2(CRBRCARCAR， 即0sinsinsinsin3cossinCBCACA， （1） 由三角形内角和定理，得CACACABsincoscossin)sin(sin， 代入（1）式得0sinsincoscossinsinsin3cossinCCACACACA， 化简得CCACAsinsincossinsin3， 因为0sinC，所以1cossin3AA，即 2 1 ) 6 sin( A， 而 A0， 6 5 66 A，从而 66 A，解得 3 A （2）若2a，ABC 的面积为3，又由（1）得 3 A， 则 4 3 cos2 3 3 sin 2 1 222 abccb bc ，化简得 8 4 22 cb bc ， 从而解得2b，2c