2011—2017年新课标全国卷1理科数学分类汇编-8．立体几何.doc

1、8立体几何立体几何（含解析）（含解析） 一、选择题一、选择题 【2017，7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角 三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若 干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） A10 B12 C14 D16 【2016，11】平面过正方体 1111 DCBAABCD的顶点A，/平面 11D CB， I平面ABCD m，平面nAABB 11 ，则nm,所成角的正弦值为 A 2 3 B 2 2 C 3 3 D 3 1 【2016，6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直 的半径若该几何

2、体的体积是 3 28 ，则它的表面积是（ ） A17 B18 C20 D28 【2015，6】 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问 题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为： “在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一） ，米堆底部的弧长 为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米 的体积约为 162 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有（ ） A14 斛 B22 斛 C36 斛 D66 斛 【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视

3、图和俯视图如图所示 若该几何体的表面积为1620，则r （ ） A1 B2 C4 D8 【2015 年，11 题】 【2014 年，12 题】 【2013 年，6 题】 【2014，12】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个 条棱中，最长的棱的长度为（ ） A6 2 B4 2 C6 D4 【2013，6】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向 容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( ) A 500 3 cm3 B 866 3 cm3 C1372 3 c

4、m3 D 2048 3 cm3 【2013，8】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A168 B88 C1616 D816 【2013 年，8】 【2012 年，7】 【2011 年，6】 【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （ ） A6 B9 C12 D15 【2012，11】已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC=2，则此棱锥的体积为（ ） A 2 6 B 3 6 C 2 3 D 2 2 【2011，6】在一个几何体的三视图中，

5、正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（ ） 二、填空题二、填空题 【2011，15】已知矩形ABCD的顶点都在半径为 4 的球O的球面上，且6,2 3ABBC,则棱锥 OABCD的体积为 三、解答题三、解答题 【2017，18】如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB/CD，且90BAPCDP （1）证明：平面 PAB平面 PAD； （2）若 PA=PD=AB=DC, 90APD ,求二面角 A-PB-C 的余弦值 【2016， 18】 如图， 在以 FEDCBA, 为顶点的五面体中， 面ABEF为正方形， 90,2AFDFDAF ， 且二面角 EAFD 与二面角 FBEC 都是 60

6、 （）证明：平面ABEF平面EFDC； （）求二面角ABCE的余弦值 【2015， 18】 如图， 四边形ABCD为菱形，120ABC，,E F 是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面 ABCD，2BEDF，AEEC （I）证明：平面AEC平面AFC； （II）求直线AE与直线CF所成角的余弦值 【2014，19】如图三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 BBCC为菱形， 1 ABBC () 证明： 1 ACAB； （）若 1 ACAB， o 1 60CBB，AB=BC，求二面角 111 AABC的余弦值 A B C D E F 【2013，18】如图，三棱柱 ABCA1

7、B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160 (1)证明：ABA1C； (2)若平面 ABC平面 AA1B1B，ABCB，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值 【2012，19】如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC=BC= 2 1 AA1，D 是棱 AA1的中点，DC1BD （1）证明：DC1BC； （2）求二面角 A1BDC1的大小 【2011， 18】 如图， 四棱锥 P-ABCD 中， 底面 ABCD 为平行四边形， DAB=60 ,AB=2AD,PD底面 ABCD ()证明：PABD；()若 PD=AD，求二面角 A-PB-C 的余弦值 D A1 B1 C A

8、B C1 A B C D P 7立体几何立体几何（解析版）（解析版） 一、选择题一、选择题 【2017，7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等 腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的 各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） A10 B12 C14 D16 （7）【解析】由三视图可画出立体图，该立体图平面内只有两个相同的 梯形的面，24226S 梯 ，6 212S 全梯 ，故选 B； 【2016，11】平面过正方体 1111 DCBAABCD的顶点A，/平面 11D CB， I平面ABCD m，平面nAABB 11 ，则nm,

9、所成角的正弦值为 A 2 3 B 2 2 C 3 3 D 3 1 【解析】如图所示： A A1 B B1 D C C1 D1 11 CB D平面，若设平面 11 CB D平面 1 ABCDm，则 1 mm 又平面ABCD平面 1111 ABC D，结合平面 11 B DC平面 111111 ABC DB D 111 B Dm，故 11 B Dm ，同理可得： 1 CDn 故m、n的所成角的大小与 11 B D、 1 CD所成角的大小相等，即 11 CD B的大小 而 1111 BCB DCD（均为面对交线） ，因此 11 3 CD B ，即 11 3 sin 2 CD B 故选 A 【2016

10、，6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中 两条相互垂直的半径若该几何体的体积是 3 28 ，则它的 表面积是（ ） A17 B18 C20 D28 【解析】 ：原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的 1 8 后的三视图 表面积是 7 8 的球面面积和三个扇形面积之和 22 71 =42 +32 =17 84 S，故选 A 【2015，6】 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角， 下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分 之一） ，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆

11、的体积和堆放 的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估 算出堆放的米约有（ ） A14 斛 B22 斛 C36 斛 D66 斛 解 析 ： 2 8 4 R ， 圆 锥 底 面 半 径 16 R ， 米 堆 体 积 2 1320 123 VR h ，堆放的米约有22 1.62 V ，选 B. 【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视 图和俯视图如图所示. 若该几何体的表面积为1620，则r （ ） A1 B2 C4 D8 解析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球和半个圆柱的组合体，圆柱的半径与 球的

12、半径都r，圆柱的高为2r，其表面积为 2222 1 4222541620 2 rrrrrrrr，解得2r ，故选 B. 【2014，12】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个 条棱中，最长的棱的长度为（ ） A.6 2 B.4 2 C.6 D.4 【解析】如图所示，原几何体为三棱锥DABC， 其中4,4 2,2 5ABBCACDBDC， 2 4 246DA，故最长的棱的长度为6DA，选 C 【2013，6】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球 放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如

13、果不计容 器的厚度，则球的体积为( ) A 500 3 cm3 B 866 3 cm3 C1372 3 cm3 D 2048 3 cm3 解析：解析： 设球半径为 R， 由题可知 R， R2， 正方体棱长一半可构成直角三角形， 即OBA 为直角三角形，如图 BC2，BA4，OBR2，OAR，由 R2(R2)242，得 R5， 所以球的体积为 3 4500 5 33 (cm3)，故选 A. 【2013，8】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A168 B88 C1616 D816 答案：答案：A 解析：解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径

14、r2，长为 4，在 长方体中，长为 4，宽为 2，高为 2，所以几何体的体积为 r2 41 2 4 2 2816.故选 A. 【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （ ） A6 B9 C12 D15 【解析】由三视图可知，该几何体为 三棱锥 A-BCD， 底面BCD 为 底边为 6，高为 3 的等腰三角形， 侧面 ABD底面 BCD， AO底面 BCD， 因此此几何体的体积为 11 (6 3) 39 32 V ，故选择 B 【2012，11】已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为 1 的正三角形，S

15、C 为球 O 的直径，且 SC=2，则此棱锥的体积为（ ） A 2 6 B 3 6 C 2 3 D 2 2 【解析】如图所示，根据球的性质，知 1 OO平面ABC，则COOO 11 在直角COO1中，1OC， 3 3 1 CO， O B D C A S C O O1 B A 所以 3 6 ) 3 3 (1 22 1 2 1 COOCOO 因此三棱锥 SABC 的体积 6 2 3 6 4 3 3 1 22 ABCO VV，故选择 A 【2011，6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以 为（ ） 解析：条件对应的几何体是由底面棱长为 r 的正四棱锥沿底面对角线截出

16、的部分与底面为半径为 r 的圆锥 沿对称轴截出的部分构成的故选 D 二、填空题二、填空题 【2011，15】已知矩形ABCD的顶点都在半径为 4 的球O的球面上，且6,2 3ABBC,则棱锥 OABCD的体积为 解析：设 ABCD 所在的截面圆的圆心为 M,则 AM= 22 1 (2 3)62 3 2 ,OM= 22 4(2 3)2， 1 62 328 3 3 O ABCD V . 三、解答题三、解答题 【2017，18】如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB/CD，且90BAPCDP （1）证明：平面 PAB平面 PAD； （2）若 PA=PD=AB=DC, 90APD ,求二面角 A-PB

17、-C 的余弦值 【解析】（1）证明：90BAPCDP ，PAAB，PDCD， 又ABCD，PDAB，又PDPAP，PD、PA平面PAD， AB 平面PAD，又AB平面PAB，平面PAB 平面PAD （2）取AD中点O，BC中点E，连接PO，OE，ABCD， 四边形ABCD为平行四边形，OEAB， 由（1）知，AB 平面PAD，OE 平面PAD， 又PO、AD平面PAD，OEPO，OEAD， 又PAPD，POAD，PO、OE、AD两两垂直， 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz ， 设2PA， 0 02D ，、 220B，、 002P， 、 2 02C ， 022PD ， 、

18、222PB ， 、 2 2 0 0BC ， 设nxyz,为平面PBC的法向量，由 0 0 n PB n BC ，得 2220 2 20 xyz x ， 令 1y ，则 2z ，0x ，可得平面PBC的一个法向量 012n , , ， 90APD，PDPA，又知AB 平面PAD，PD平面PAD， PDAB，又PAABA，PD平面PAB，即PD是平面PAB的一个法向量， 022PD , ， 23 cos 32 3 PD n PDn PDn , ， 由图知二面角APBC为钝角，所以它的余弦值为 3 3 【2016，18】 如图，在以FEDCBA,为顶点的五面体中，面 ABEF为正方形，90,2AFD

19、FDAF，且二面 角EAFD与二面角FBEC都是60 （）证明：平面ABEF平面EFDC； （）求二面角ABCE的余弦值 【解析】 ： ABEF为正方形，AFEF ， 90AFD，AFDF ， =DFEF F AF 面EFDC，AF 面ABEF，平面ABEF 平面EFDC 由知60DFECEF ， ABEF ，AB 平面EFDC，EF 平面EFDC AB平面ABCD，AB平面ABCD 面ABCD I面EFDCCD ABCD ，CD EF 四边形EFDC为等腰梯形 以E为 原 点 ， 如 图 建 立 坐 标 系 ， 设FDa ， 000020EBa， ， 3 0220 22 a CaAaa ，

20、， 020EBa uur ， 3 2 22 a BCaa uuu r ，200ABa uuu r ， ， ，设面 BEC法向量为mxyz， ， 0 0 m EB m BC u r uur u r uuu r ，即 1 111 20 3 20 22 a y a xaya z ， 111 301xyz ， ， 301m u r ， ， A B C D E F 设面ABC法向量为 222 nxyz r ， ， =0 0 n BC n AB r uuu r r uuu r .即 222 2 3 20 22 20 a xayaz ax 222 034xyz， ， 034n r ， ，设二面角 EBCA的

21、大小为. 42 19 cos 1931316 m n mn u r r u rr ， 二面角EBCA的余弦值为 2 19 19 【2015， 18】 如图， 四边形ABCD为菱形，120ABC，,E F 是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面 ABCD，2BEDF，AEEC. （I）证明：平面AEC平面AFC； （II）求直线AE与直线CF所成角的余弦值. 解： （）证明：连接BD，设BDACG，连接EG，FG，EF. 在菱形ABCD中，不妨设1GB ，由 120ABC，可得3AGGC，由BE平面 ABCD，ABBC，可知AEEC.又 AEEC，所以3EG ，且EGAC. 在R

22、t EBG中， 可得2BE ,故 2 2 DF .在 Rt FDG中，可得 6 2 FG . 在直角梯形BDFE中，由2BD ，2BE ， 2 2 DF ，可得 3 2 2 EF . 因为 222 EGFGEF，所以EGFG，又ACFGG，则EG平面AFC. 因为EG 平面AEC，所以平面AFC平 面AEC. 6 分 （）如图，以G为坐标原点，分别以 ,GB GC的方向为x轴，y轴正方向，|GB为单 位长度，建立空间直角坐标系Gxyz， 由（）可得(0,3,0)A，(1,0,2)E， 2 ( 1,0,) 2 F ，(0, 3,0)E，(1, 3,2)AE ， 2 ( 1,3,) 2 CF .故

23、 3 cos, 3| AE CF AE CF AE CF . 所以直线AE与直线CF所成的角的余弦值为 3 3 . 12 分 【2014，19】如图三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 BBCC为菱形， 1 ABBC. () 证明： 1 ACAB； （）若 1 ACAB， o 1 60CBB，AB=BC 求二面角 111 AABC的余弦值. 【解析】 ：()连结 1 BC，交 1 BC于 O，连结 AO因为侧面 11 BBCC为菱形，所以 1 BC 1 BC，且 O 为 1 BC与 1 BC的中点 又 1 ABBC， 所以 1 BC 平面ABO， 故 1 BCA O又 1 BOCO， 故

24、 1 A CA B （）因为 1 ACAB且 O 为 1 BC的中点，所以 又因为，所以BOABOC 故 OA，从而 OA，OB， 1 OB两两互相垂直 以 O 为坐标原点，OB 的方向为 x 轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系 O-xyz 因为 0 1 60CBB，所以 1 CBB为等边三角形又，则 3 0,0, 3 A ，1,0,0B， 1 3 0,0 3 B ， 3 0,0 3 C 1 33 0, 33 AB ， 11 3 1,0, 3 ABAB 11 3 1,0 3 BCBC 设, ,nx y z是平面的法向量，则 1 11 0 0 n AB n AB ，即 33 0

25、 33 3 0 3 yz xz 所以可取 1, 3, 3n 设m是平面的法向量，则 11 11 0 0 m AB n BC ，同理可取 1,3, 3m 则 1 cos, 7 n m n m n m ，所以二面角 111 AABC的余弦值为 1 7 . 【2013，18】如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160 . (1)证明：ABA1C； (2)若平面 ABC平面 AA1B1B，ABCB，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值 证明：(1)取 AB 的中点 O，连结 OC，OA1，A1B. 因为 CACB，所以 OCAB. 由于 ABAA1，BAA1

26、60 ，故AA1B 为等边三角形，所以 OA1AB. 因为 OCOA1O，所以 AB平面 OA1C. 又 A1C平面 OA1C，故 ABA1C. (2)解：由(1)知 OCAB，OA1AB. 又平面 ABC平面 AA1B1B，交线为 AB，所以 OC平面 AA1B1B，故 OA，OA1，OC 两两相互垂直 以 O 为坐标原点，OA的方向为 x 轴的正方向，|OA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz. 由题设知 A(1,0,0)，A1(0，3，0)，C(0,0，3)，B(1,0,0) 则BC(1,0，3)， 1 BB 1 AA(1，3，0)， 1 AC(0，3，3) 设 n(x，

27、y，z)是平面 BB1C1C 的法向量，则 1 0, 0, BC BB n n 即 30, 30. xz xy 可取 n(3，1，1) 故 cosn， 1 AC 1 1 AC AC n n 10 5 . 所以 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 10 5 . 【2012，19】如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC=BC= 2 1 AA1，D 是棱 AA1的中点，DC1BD （1）证明：DC1BC； （2）求二面角 A1BDC1的大小 【解析】 （1）在Rt DAC中，ADAC，得：45ADC ， D A1 B1 C A B C1 同理： 111 4590ADCCDC ， 得：

28、 1 DCDC 又 DC1BD，DCBDD， 所以 1 DC 平面BCD 而BC 平面BCD，所以 1 DCBC （2）解法一： （几何法） 由 11 ,DCBC CCBCBC面 11 ACC A BCAC 取 11 AB的中点O，连接 1 C O，OD 因为 1111 ACBC，所以 111 COAB， 因为面 111 ABC 面 1 ABD，所以 1 CO 面 1 ABD，从而 1 COBD， 又 DC1BD，所以BD 面 1 DC O，因为OD平面 1 DC O，所以BDOD 由BDOD，BDDC1，所以 1 C DO为二面角 A1BDC1的平面角 设 1 2AAa，ACBCa，则 1

29、2 2 a C O ， 1 2C Da， 在直角 1 COD， 1 COOD， 11 1 2 C OC D， 所以 1 30C DO 因此二面角 11 CBDA的大小为30 解法二： （向量法） 由 11 ,DCBC CCBCBC面 11 ACC A BCAC又 1 CC 平面ABC， 所以 1 CCAC， 1 CCBC， 以 C 点为原点，CA、CB、CC1所在直线分别为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Cxyz 不妨设 AA1=2，则 AC=BC= 2 1 AA1=1， 从而 A1（1，0，2） ，D（1，0，1） ， B（0，1，0） ，C1（0，0，2） ， 所以 1 (0,0,1)

30、DA ，( 1,1, 1)DB ， 1 ( 1,0,1)DC 设平面 1 ABD的法向量为 1111 ( ,)nx y z， 则 11 nDA， 1 nDB， 所以 1 111 0 0 z xyz ，即 1 11 0z xy ，令 1 1y ，则 1 (1,1,0)n 设平面 1 C BD的法向量为 2222 (,)nx y z，则 21 nDC， 2 nDB， 所以 22 222 0 0 xz xyz ，即 22 22 2 xz yz ，令 2 1z ，则 2 (1,2,1)n 所以 12 12 12 33 cos, 2| |26 n n n n nn ，解得 12 ,30n n 因为二面角

31、 11 CBDA为锐角，因此二面角 11 CBDA的大小为30 【2011，18】如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四 边形，DAB=60 ,AB=2AD,PD底面 ABCD. ()证明：PABD； ()若 PD=AD，求二面角 A-PB-C 的余弦值 解： （I）因为60DAB，2ABAD，由余弦定理得3BDAD. 从而 222 BDADAB，故BDAD. 又PD底面ABCD，可得BDPD. 所以BD平面PAD. 故PABD. （II） 如图， 以D为坐标原点，AD的长为单位长， 射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz， 则1,0,0A， 0, 3,0B， 1, 3,0C ，0,0,1P， 1, 3,0AB ， 0, 3, 1PB ，1,0,0BC 设平面PAB的法向量为, ,x y zn，则 0 0 AB PB n n ，即 30 30 xy yz . 因此可取 3,1, 3n. 设平面PBC的法向量为m，则 0 0 PB BC m m ，可取 0, 1,3m . 42 7 cos, 72 7 m n. 故二面角APBC的余弦值为 2 7 7 . A B C D P x AB C D y z P