线性代数的应用课件.ppt

1、线性代数的应用内容提纲n本篇通过三个具体的应用实例介绍线性代数在工程技术、经济管理等领域中的应用，并给出利用Matlab软件来求解这些具体问题的方法。n药方配制问题n交通流量分析n人口迁徙问题一、药方配制问题n通过中成药药方配制问题，达到理解向量组的线性相关性、最大线性无关组向量的线性表示以及向量空间等线性代数的知识n问题：某中药厂用9种中草药（A-I），根据不同的比例配制成了7种特效药，各用量成分见表1（单位：克）1号成药2号成药3号成药4号成药5号成药6号成药7号成药A10214122038100B1201225356055C531105140D79255154735E012255336F

2、255355355550G94172523925H651610103510I821202620一、药方配制问题n（1）某医院要购买这7种特效药，但药厂的第3号药和第6号药已经卖完，请问能否用其他特效药配制出这两种脱销的药品。n（2）现在该医院想用这7种草药配制三种新的特效药，表2给出了三种新的特效药的成分，请问能否配制？如何配制？1号新药2号新药3号新药A4016288B6214167C14278D4410251E53607F5015580G7111838H416821I145230一、药方配制问题n解：（1）把每一种特效药看成一个九维列向量，分析7个列向量构成向量组的线性相关性。n若向量组线

3、性无关，则无法配制脱销的特效药；n若向量组线性相关，并且能找到不含 的一个最大线性无关组，则可以配制3号和6号药品。36,u u一、药方配制问题n在Matlab窗口输入nu1=10;12;5;7;0;25;9;6;8;nu2=2;0;3;9;1;5;4;5;2;nu3=14;12;11;25;2;35;17;16;12;nu4=12;25;0;5;25;5;25;10;0;nu5=20;35;5;15;5;35;2;10;0;nu6=38;60;14;47;33;55;39;35;6;一、药方配制问题u7=100;55;0;35;6;50;25;10;20;U=u1,u2,u3,u4,u5,u

4、6,u7U0,r=rref(U)计算结果为一、药方配制问题nU0=r=1 2 4 5 7n1 0 1 0 0 0 0 从最简行阶梯型U0中可以看n0 1 2 0 0 3 0 出，R（U）=5，向量组线性n0 0 0 1 0 1 0 相关，一个最大无关组为n0 0 0 0 1 1 0 u1，u2，u4，u5，u7，n0 0 0 0 0 0 1 u3=u1+2u2n四个零行 u6=3u2+u4+u5n 故可以配制新药一、药方配制问题n（2）三种新药用v1，v2，v3表示，问题化为v1，v2，v3能否由u1-u7线性表示，若能表示，则可配制；否则，不能配制。n令U=u1,u2,u3,u4,u5,u6

5、,u7,v1,v2,v3nU0,r=rref(U)n由U0的最后三列可以看出结果一、药方配制问题n计算结果为 可以看出 v1=u1+3u2+2u4 v2=3u1+4u2+2u4+u7 v3不能被线性表示，所以无法配制0101000013001200303400001010220000011000000000010100000000001000000000000000000000000000000U1,2,4,5,7,10r 二、交通流量的分析n通过一个简单的城市交通模型，练习方程组的建立与求解n问题：某城市有如图的交通图，每一条道路都是单行道，图中数字表示某一个时段的机动车流量。n针对每一个十

6、字路口，进入和离开的车辆数相等。n请计算每两个相邻十字路口间路段上的交通流量xi（i=1,2,3,4）二、交通流量的分析4x1x2x260251DC3203573x360260AB220292单行道4节点交通图二、交通流量的分析n解：根据已知条件，得到各节点的流通方程A：B：C：D：12360260 xx23220292xx34320357xx41260251xx二、交通流量的分析n整理得方程组为n在Matlab窗口输入1223341410072379xxxxxxxx 1,1,0,0;0,1,1,0;0,0,1,1;1,0,0,1;A 10;72;37;9;b 二、交通流量的分析n计算结果为(

7、,)UrrefA b100100101 10900113700000U 二、交通流量的分析n由于U的最后一行全为零，方程组中只有三个有效方程，所以有无穷组解。以 为自由变量，其解为4x142434910937xxxxxx三、人口迁徙模型 n设在一个大城市中的总人口是固定的。人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区。假如开始时有30%的居民住在市区，70%的居民住在郊区，问10年后市区和郊区的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？三、人口迁徙模型n这个问题可以用矩阵乘法来描述。把人口变量用市区和郊区两个分量表示。n一年以后，

8、市区人口为xc1(10.06)xc00.02xs0，郊区人口xs1 0.06xc0 (10.02)xs0n用矩阵乘法来描述，可写成：11010.94 0.020.3 0.29600.06 0.980.7 0.7040csxxAxx 三、人口迁徙模型n从初始到k年，此关系保持不变，因此上述算式可扩展为n 输入：A0.94,0.02;0.06,0.98,x00.3;0.7x1A*x0,x10A10*x0,x30A30*x0,x50A50*x0n得到：2120kkkkxAxA xA x1103050 0.2960 0.2717 0.2541 0.2508,0.7040 0.7283 0.7459 0

9、.7492xxxx三、人口迁徙模型n本题特征值和特征向量的意义：n无限增加时间k，市区和郊区人口之比将趋向一组常数0.25/0.75。n为了弄清为什么这个过程趋向于一个稳态值，我们改变一下坐标系统。在这个坐标系统中可以更清楚地看到乘以矩阵A的效果，先求A的特征值和特征向量，得到 0.9200 0 -0.7071 -0.3162,0 1.0000 0.7071 -0.9487lamdae三、人口迁徙模型n令nn它是特征向量的整数化，得到1211,13uu 0210.250.05(0.92)kkkxA xuu四、其他应用：情报检索模型情报检索模型：假如数据库中包括了n个文件，而搜索所用的关键词有m

10、个。可以把数据库表示为mn的矩阵A。比如有7本书，6个关键词x（初等，代数，矩阵，理论，线性，应用）：则A就是67的矩阵。书名中有此关键词的就将该对应元素置1。搜索结果可以表示为乘积yATx，它是n1列向量。于是y的各个分量就表示各书与搜索向量匹配的程度。y值最大的元素对应于匹配最好的书籍，是读者可能最需要的。四、产品成本的计算：产品成本的计算：某厂生产三种成品，每件产品的成本及每季度生产件数已知。试提供该厂每季度在每种产品上的成本表。成本矩阵为M，季度产量矩阵为P0.100.300.150.300.400.25,0.100.200.154000450045004000200028002400

11、22005800620060006000MP四、产品成本的计算 n将M和P相乘，得到的矩阵设为Q，Q的第一行第一列元素为Q(1,1)0.140000.320000.1558001870不难看出，Q表示了夏季消耗的原材料总成本。从线性变换的角度来看，Q矩阵把以件数为单位的产品空间映射到了以元为单位的成本空间。1870 2220 2070 1960 3450 4020 3810 3580 1670 1940 1830 1740Q四、用逆阵进行保密编译码 n在英文中有一种对消息进行保密的措施，就是把英文字母用一个整数来表示。然后传送这组整数。这种方法是很容易根据数字出现的频率来破译，例如出现频率特别

12、高的数字，很可能对应于字母E。n可以用乘以矩阵A的方法来进一步加密。假如A是一个行列式等于1的整数矩阵，则A1的元素也必定是整数。而经过这样变换过的消息，同样两个字母对应的数字不同，所以就较难破译。n接收方只要将这个消息乘以A1就可以复原。四、网络和图 n图为1，2，3，4四个城市之间的空运航线，用有向图表示。则该图可以用下列航路矩阵表示：n经过一次转机（也就是坐两次航班）能到达的城市，可以由邻接矩阵的平方A2A12来求得。0 0111 00 010 10 01 010A00110011 1 1 1 0 10001000 0 0 1 1 2110 1000 100 1 0 0 0 101010

13、10 0 1 1 1 AAA 四、信号流图模型 n信号流图是用来表示和分析复杂系统内的信号变换关系的工具。n右图方程如下：n写成矩阵方程nx=QxPun移项整理，可以得到求信号向量x的公式。ux1x2-G2G11212120100 xGxuxGx 12221 1xuG xxG x，四、信号流图模型(I Q)x=Pu，x=inv(I Q)*Pun定义系统的传递函数W为输出信号与输入信号之比x/u，则W可按下式求得：W=x/u=inv(I Q)*P221110010101GGIQGG2111211()11GIQGG G1121121/1/1xux uIQPxuGG G四、平板稳态温度的计算四、平板

14、稳态温度的计算(1020)/4(2040)/4(1030)/4(4030)/4abcbadcaddbcxxxxxxxxxxxx10.250.2507.50.25100.25150.25010.251000.250.25117.5abcdxxxx四、化学方程的配平化学方程的配平n确定x1,x2,x3,x4，使两边原子数相等称为配平，方程为n写成矩阵方程138223242()()()()x C HxOx COxH O1234301080020221xxxx 12343010080020002210 xxAxxx-四、现代飞行器外形设计例四、现代飞行器外形设计例n把飞行器的外形分成若干大的部件，每个

15、部件沿着其表面又用三维的细网格划分出许多立方体，这些立方体包括了机身表面以及此表面内外的空气。对每个立方体列写出空气动力学方程，其中包括了与它相邻的立方体的共同边界变量，这些方程通常都已经简化为线性方程。对一个飞行器，小立方体的数目可以多达400,000个，而要解的联立方程可能多达2,000,000个。四、卫星遥感图象处理n卫星上用三种可见光和四种红外光进行摄像，对每一个区域，可以获得七张遥感图象。利用多通道的遥感图可以获取尽可能多的地面信息，因为各种地貌、作物和气象特征可能对不同波段的光敏感。而在实用上应该寻找每一个地方的主因素，成为一张实用的图象。每一个象素上有七个数据，形成一个多元的变量数组，在其中合成并求取主因素的问题，就与线性代数中要讨论的特征值问题有关。