概率论与数理统计总复习课件.ppt

1、 总复习总复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念1.随机试验2.样本空间与样本点3.随机事件4.频率5.概率nkSAAPA 包含的样本点总数包含的样本点总数样本空间样本空间包含的样本点总数包含的样本点总数事件事件公理化公理化古典概型古典概型统计意义统计意义)(二.基本性质1.0()12.()1,()03.1()(),()()2P AP SPABP A BP AP B AP BAB AB AB 若若事事件件 与与 相相互互独独立立，则则（）（）与与，与与，与与 亦亦相相互互独独立立。三.基本运算(公式)1.事件间的关系与运算(1)()0(2)3()()()ABP ABABABSBAP AB

2、P A P B 互互斥斥，即即对对立立且且，即即（）独独立立2.概率的计算公式加法公式)()()()()2()(1)()1(ABPBPAPBAPAPAP相互独立。，其中）（公式）（的一个划分。是样本空间，其中全概率公式乘法定理nnniiininiiAAAAPAPAPAAAPBayesAPBAPBPABPSBBBBAPBPAPBAPBPABPAPABP212121211)()()(1)(6)()()()(5)()()()4()()()()()()3(第二章 随机变量及其分布一.基本概念1.随机变量 )(,2,1,)(xfkpxXPkk概率密度函数概率密度函数连续型连续型分布律分布律离散型离散型2

3、.分布函数 110()()1()()nxxxxxF xF xP XxxxF xf t dt 离离散散型型连连续续型型3.Bernoulli 试验4.n重Bernoulli 试验5.随机变量的函数及其分布 dyydFyfXyyyxXPyyxXPyYPXXgYYYlkiiiijikklk)()()()()()(121为连续型为连续型为离散型为离散型 )()()()(11ygFygXPyXgPyYPyFXY 其中其中二.基本性质1.分布律11)2(0)1(kkkpkp2.概率密度函数0)5()()()()()4()()()3(1)()2(0)()1(aXPaFbFdxxfbXaPxfdxxdFdxx

4、fxxfba3.分布函数单调递增)()3(1)(lim,0)(lim)2(),(1)(0)1(xFxFxFxxFxx三.常用分布1.两点分布(0-1分布)1()(,)(1,0)1(1101pPXDpXEkppkXPppPXkk2.二项分布 ),(pnBX)1()(,)(,1,0)1(pnpXDnpXEnkppCkXPknkkn3.)()(PXXPoisson或或分分布布)()()0(,1,0!XDXEkekkXPk4.均匀分布),(baUX12)()(,2)(01)(2abXDbaXEbxaabxf其它5.指数分布21)(,1)()0(000)(XDXExxexfx6.正态分布),(2NX x

5、xxxdttxexNXXDXEdttfxFxexf)()(,21)()1,0()(,)()()()(21)(222)(222 标准正态分布标准正态分布 (),()1()xF xxxP Xuu 称称满满足足的的为为标标准准正正态态分分布布的的分分位位点点。)(ExpX 的边缘概率密度的边缘概率密度关于关于的边缘概率密度的边缘概率密度关于关于连续型：连续型：）（的边缘分布的边缘分布关于关于的边缘分布的边缘分布关于关于离散型：离散型：YdxyxfyfXdyyxfxfYppyYPXppxXPYXjiijjjiiji),()(),()(2)1(11第三章 多维随机变量及其分布一.基本概念1.二维随机变量

6、),(YX2.联合分布函数yYxXPyxF,),(yxijjiyxfdudvvufyxFjipyYxXP为联合概率密度为联合概率密度连续型：连续型：联合分布律联合分布律离散型：离散型：）（),(,),(),()2(,2,1,13.边缘分布4.条件分布 的条件分布律的条件分布律条件下条件下在在的条件分布律的条件分布律条件下条件下在在离散型：离散型：YxXjppxXyYPXyYippyYxXPiiijijjjijji ,2,1,2,1,)1(dyxfyxfxXyYPxyFdxyfyxfyYxXPyxFYxXxfyxfxyfXyYyfyxfyxfyXXYxYYXXXYYYX )(),()()(),(

7、)()(),()()(),()()2(条件分布函数：条件分布函数：的条件概率密度的条件概率密度条件下条件下在在的条件概率密度的条件概率密度条件下条件下在在连续型：连续型：5.随机变量的独立性)()(),(yFxFyxFYX )()(),()2(,)1(yfxfyxfjiyYPxXPyYxXPYXjiji 连续型：连续型：离散型：离散型：6.两个随机变量的函数的分布 maxmin(1)()(,)()(,)(,)()()()()()(2)max,()()()min,()11()1Zxy zZZXYXYXYXYXZXY FzP Zzf x y dxdyfzf x zx dxf zy y dyXYfz

8、fx fzx dxfzy fy dyffMX YFzFx FyNX YFzFxF 特特别别当当 与与 相相互互独独立立时时，卷卷积积()YyXY 其其中中 与与 相相互互独独立立二.基本性质0),(,),(30),(,),()2(1),(,0),(1),(0)1(xFyxFyyFyxFxFFyxF，对固定的对固定的）（，对固定的对固定的1.联合分布函数2.联合分布律1)2(,0)1(11 ijijijpjip3.联合概率密度 GdxdyyxfGYXPdxdyyxfyxf),(),()3(1),()2(0),()1(4.),(,2,1),(11222211212 niniiiiinnniiicc

9、NXcXcXcZXXXniNX 则则相互独立相互独立，且，且设设第四章 随机变量的数字特征一.基本概念1.数学期望(均值)dxxfxXEpxXEkkk)()(2)()1(1连续型：连续型：）（离散型：离散型：2.随机变量函数的数学期望(均值)ijjjiikkkpyxgYXgEZEpxgXgEYE),(),()()()()()1(1,1 离散型：离散型：dxdyyxfyxgYXgEZEdxxfxgXgEYE),(),(),()()()()()()2(连续型：连续型：3.方差 222)()()()()(XEXEXEXEXVarXD 4.协方差)()()()()(),(YEXEXYEYEYXEXEY

10、XCov5.相关系数不相关不相关与与时，称时，称且当且当YXYDXDYXCovXYXY0)()(),(6.k阶原点矩,2,1)(kXEk7.k阶中心矩 ,3,2)(kXEXEk二.基本性质1.数学期望(均值)()()()4()()()()3()()()2()()1(YEXEXYEYXYEXEYXEXCECXECCE 相互独立，则相互独立，则与与若若2.方差)()()(),(2)()()()3()()()2(0)()1(2YDXDYXDYXYXCovYDXDYXDXDCCXDCD 相互独立时，相互独立时，与与特别当特别当3.协方差),(),()3(),(),()2()(),()1(YXabCov

11、bYaXCovXYCovYXCovXDXXCov ),(),(),()4(2121YXCovYXCovYXXCov4.相关系数 反之则不一定成立。反之则不一定成立。不相关，不相关，与与相互独立，则相互独立，则与与若若使得使得，与与存在常数存在常数YXYXbXaYPbaXYXY)3(11)2(1)1(5.Chebyshev 不等式 222221,0,)(,)(XPXPXDXE或或有有则则设设第五章大数定理与中心极限定理大大数数定定律律 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：根本的性质之一：平均结果的稳定性平均结果的稳定性 2)()(kkX

12、DXE )(kXE),(pnbnA大数定律大数定律伯努利伯努利1|lim pnnPAn大数定律大数定律切比雪夫切比雪夫1|1|lim1 niinXnP大数定律大数定律辛钦辛钦1|1|lim1 niinXnP 中中心心极极限限定定理理中心极限定理中心极限定理独立同分布独立同分布中心极限定理中心极限定理拉普拉斯拉普拉斯棣莫弗棣莫弗 ),()()(212 nnNXXDXEnkkkk近似地近似地，)1(,(),(pnpnpNpnbnn近似地近似地 中心极限定理中心极限定理李雅普诺夫李雅普诺夫 nknknkkkkkkBNXxDXE1122),()(,)(近似地近似地 注注是相互独立的是相互独立的随机变量

13、随机变量,21XX )(,1lim,0 naXaXaXPaXPnnnnn记为记为依概率收敛于依概率收敛于则称则称有有为实常数，若为实常数，若是一个随机变量序列，是一个随机变量序列，设设 第六章 样本及抽样分布一.基本概念1.总体与个体2.简单随机样本3.统计量及经验分布函数4.常用统计量(1)样本均值(2)样本方差(3)样本标准差 2212212111111SSXnXnXXnSXnXniiniinii (4)样本的k阶原点矩(5)样本的k阶中心矩 ,3,21,2,1111 kXXnBkXnAkniiknikik5.抽样分布niNXnXXXin,2,1,),1,0()()1(22222122 且

14、相互独立且相互独立其中其中分布分布 相互独立相互独立与与且且其中其中分布分布YXnYNXntnYXtt),(),1,0(),()2(2 相互独立相互独立与与且且其中其中分布分布VUnVnUnnFnVnUFF),(),(),()3(22122121 6.分位点 分位点。分位点。分布的分布的为为的点的点分位点。分位点。分布的上分布的上为为的点的点分位点。分位点。分布的分布的为为的点的点称满足称满足 ),(),(),()3()()()()2()()()()1(,102121212222nnFnnFnnFFPntntnttPnnnP 二.基本性质212222212222221.,(),()(),(),

15、()2.,(,)(1)(,)(0,1)(2)(1)(1)(3)(1)(4)nnXXXXE XD XE XD XE SnXXXXNXXNNnnXt nSnnSnXS 设设为为总总体体 的的一一个个样样本本 且且则则设设是是来来自自正正态态总总体体的的一一个个样样本本，则则或或与与是是相相互互独独立立1212122211222212221212221222212121222112212123.,(,)(,)1(1,1)(2)()()(1)(1)112nnXXXYYYNNXYSSSSF nnXYt nnnSnSnnnn 设设与与是是分分别别来来自自正正态态总总体体与与的的样样本本，且且它它们们相相互

16、互独独立立，设设与与分分别别是是两两个个样样本本的的均均值值，与与分分别别是是两两个个样样本本的的样样本本方方差差，则则有有（）当当时时，2)第七章 参数估计一.基本概念1.估计量与估计值2.矩估计量与矩估计值3.最大似然估计量与最大似然估计值4.似然函数(1)离散型:(2)连续型:的概率密度的概率密度是总体是总体其中其中的分布律的分布律是总体是总体其中其中XxfxfLXxpxpLiniini),(),()(),(),()(11 的一组样本值）的一组样本值）是总体是总体，（设（设Xxxxn,215.估计量的评选标准(1)无偏性(2)有效性(3)相合性 )(E更有效。更有效。较较则则若若 212

17、1),()(DD Pn6.区间估计(1)置信水平(2)置信区间(3)单侧置信区间，单侧置信上(下)限二.基本方法 1.点估计(1)矩法(2)最大似然估计法)()(1)(121211XDXXnBXEXXnAniinii 21,ln()0()dLLd ，其其中中要要先先化化简简再再取取对对数数2.区间估计 关于正态总体的均值与方差的区间估计（书上P207的表7.3.1,单侧置信上、下限只须将双侧置信区间的右、左端点表达式中的/2改成即可,只要求单个正态总体的情形）第八章 假设检验一.基本概念1.原假设H0与备择假设H12.显著性水平3.双边检验与单边检验4.检验统计量5.拒绝域W:当检验统计量的观

18、察值落在W内,则拒绝假设H06.显著性检验:只控制犯第一类错误的概率 即7.两类错误及关系 显著性水平显著性水平为真而拒绝为真而拒绝 00HHP二.基本方法 关于正态总体的均值与方差的假设检验 (书上P228的表8.2.2与P233的表8.3.1,只要求单个正态总体的情形，包括单双边检验)第九章回归分析及方差分析第九章回归分析及方差分析一.基本概念1.相关关系及样本相关系数2.回归函数3.一元线性回归模型(),()0YxE 其其中中 是是随随机机误误差差，且且 210,0 NxY称为误差方差称为误差方差称为回归参数，称为回归参数，都是未知参数，都是未知参数，其中其中2110,4.指标、因素、水

19、平5.单因素试验与多因素试验6.单因素试验方差分析模型)1(,2,1,2,1,),0(22 rinjNXiiijijijiij均为未知参数均为未知参数与与相互独立相互独立各各 )2(,:),(),(211210221不全相等不全相等即检验假设即检验假设的均值是否相等，的均值是否相等，个正态总体个正态总体检验检验rrrHHNNr 21,(1)(0,),(1)1,2,1,2,0iiijiijijijrriiiXNjnirn 记记这这样样单单因因素素试试验验方方差差分分析析模模型型可可改改写写成成各各相相互互独独立立012112(2):0:,(2)rrHH 而而假假设设检检验验问问题题也也可可等等价

20、价于于假假设设检检验验问问题题不不全全为为零零y 的离差平方和的离差平方和:1.的最小二乘估计公式的最小二乘估计公式x 的离差平方和的离差平方和:niixxxxl12 niiyyyyl12 niiixyyyxxl1x,y 的离差乘积和的离差乘积和:公式变形：公式变形：21221121xnxxnxlniiniiniixx 21221121ynyynylniiniiniiyy yxnyxyxnyxliniiniiniiniiixy 1111110,niiniiynyxnx111,1其中其中二.基本方法yyxxxyyxxyxylllsss样本相关系数)(,110101xxyxYxyllxxxy 线性

21、回归方程：线性回归方程：的估计的估计2.2 2121)()(iniiniiyyRSS 残差平方和残差平方和xyyyxxyyllll 121 的无偏估计的无偏估计是是222 nRSS3.线性回归方程的显著性检验线性回归方程的显著性检验0:0:1110 HH t检检验验统统计计量量)2(1 ntlxx 120(2),ttnH 拒拒绝绝域域：当当时时，拒拒绝绝.认认为为线线性性回回归归效效果果显显著著5.回归系数回归系数 的置信区间的置信区间1 11121121(2),(2)xxxxtntnll 回回归归系系数数的的置置信信水水平平为为的的置置信信区区间间为为：6.平方和分解平方和分解21111()

22、1iinrTijijnrijijSXXXXn 总总离离差差平平方方和和其其中中是是所所有有试试验验数数据据的的总总平平均均。AeTSSS rinjiijeiXXS112)(记记 riiiSn12)1(21(1)reiiieSnSS 为为各各个个水水平平下下的的试试验验误误差差的的总总和和，因因此此也也称称为为误误差差平平方方和和，或或称称为为组组内内离离差差平平方方和和。injijiiXnX11其中其中 rinjiAiXXS112)(记记 riiiXXn12)(21()riAiiSn XXA 称称为为因因素素 的的效效应应平平方方和和，或或称称为为组组间间离离差差平平方方和和。rinjijri

23、njijirinjijeAiiixRxnQxnPSS112121211,1,1的计算，若记的计算，若记与与为了简化为了简化PRSQRSPQSTeA ,则则方差来源方差来源平方和平方和自由度自由度均方和均方和F值值因素因素A误差误差eSA=Q-PSe=R-Qr-1n-rMSA=SA/(r-1)MSe=Se/(n-r)F=MSA/MSe总和总和ST=R-Pn-1拒绝域：拒绝域：FF1-(r-1,n-r）其中其中为显著性水平为显著性水平6.单因素方差分析表单因素方差分析表在方差分析表中，一般作如下规定：在方差分析表中，一般作如下规定：01.0.01,HA 若若在在下下拒拒绝绝则则称称因因素素 影影响

24、响高高度度显显著著。002.0.05,0.01,HHA若若在在下下拒拒绝绝但但在在下下不不拒拒绝绝则则称称因因素素 影影响响显显著著。003.0.1,0.05,HHA若若在在下下拒拒绝绝但但在在下下不不拒拒绝绝则则称称因因素素 有有一一定定影影响响。04.0.1,HA 若若在在下下不不拒拒绝绝则则称称因因素素 无无显显著著影影响响。7.未知参数的估计未知参数的估计1112211iinrijijniiijijiiiieXXnXXnXXSnr 在在单单因因素素试试验验方方差差分分析析模模型型中中，不不难难验验证证是是 的的无无偏偏估估计计是是的的无无偏偏估估计计是是 的的无无偏偏估估计计是是的的无无偏偏估估计计121()()ieiiSXtnrnr n 的的置置信信水水平平为为的的置置信信区区间间：2221221,()()eeSSnrnr 的的置置信信水水平平为为的的置置信信区区间间：12111()jkejkjkSXXtnrnrnn 的的置置信信水水平平为为的的置置信信区区间间：