第二型曲面积分课件.ppt

1、一、曲面的侧二、第二型曲面积分的概念三、第二型曲面积分的计算 第二型曲面积分的典型物理背景是计算流体从曲面一侧流向另一侧的流量.与第二型曲线积分相类似,第二型曲面积分与曲面所取的方向有关,这就需要先定义“曲面的侧”.2 第二型曲面积分数学分析 第二十二章曲面积分*点击以上标题可直接前往对应内容四、两类曲面积分的联系设连通曲面设连通曲面 S 上到处都有连续变动的切平面上到处都有连续变动的切平面 (或法或法 线线),定其中一个指向为正方向时定其中一个指向为正方向时,又又设设 0M为为 S 上任一点上任一点,L为为 S上上任一经过点任一经过点0,M且不超出且不超出 S 边界的闭边界的闭曲线曲线.出发

2、沿出发沿 L 连续移动一周而回到连续移动一周而回到 时时,如果有如果有如下特如下特0M出发时出发时 M 与与 取相同的法线方向取相同的法线方向,而回来时仍而回来时仍 0M保持原来的法线方向不变保持原来的法线方向不变,则称该曲面则称该曲面 S 是双侧的是双侧的.2 第二型曲面积分曲面的侧概念计算两类曲面积分的联系曲面的侧后退 前进 目录 退出向向.曲面在其上每一点处的法线有曲面在其上每一点处的法线有两个方向：当取两个方向：当取 另一个另一个指向就是负方指向就是负方 0M当当 S 上的动点上的动点 M 从从 征征:否则否则,若若 M由某一点由某一点 0M出发出发,沿沿 S 上某一封闭曲线上某一封闭

3、曲线 0M回到回到 时时,其法其法线方向与出发时的方向相反线方向与出发时的方向相反,则称则称 S 是单侧曲面是单侧曲面.我们通常遇到的曲面大多是双侧曲面我们通常遇到的曲面大多是双侧曲面.一个典型例子是默比乌斯一个典型例子是默比乌斯(M bius)带带.法如下法如下:一端扭转一端扭转 180 后与另一端粘合在一起后与另一端粘合在一起重合重合,B 与与 D 重合重合,如图如图22-4(b)所示所示).2 第二型曲面积分曲面的侧概念计算两类曲面积分的联系单侧曲面的单侧曲面的 它的构造方它的构造方 取一矩形长纸条取一矩形长纸条ABCD(如图如图22-4(a),将其将其(即让即让 A 与与 C224 图

4、图ABCD(a)ACBD0M(b)默比乌斯(Mbius,A.F.17901868,德国)2 第二型曲面积分曲面的侧概念计算两类曲面积分的联系通常由通常由 (,)zz x y所表示的曲面都是双侧曲面所表示的曲面都是双侧曲面,线方向与线方向与 z 轴正向的夹角成锐角的一侧称为上侧轴正向的夹角成锐角的一侧称为上侧,另一侧称为下侧另一侧称为下侧.的一侧称为外侧，另一侧称为内侧的一侧称为外侧，另一侧称为内侧.作为正侧作为正侧,下侧作为负侧下侧作为负侧;正侧正侧,内侧作为负侧内侧作为负侧.其法其法 当当 S 为封闭曲面时为封闭曲面时,法线方向朝外法线方向朝外 习惯上把上侧习惯上把上侧 又把封闭曲面的外侧作

5、为又把封闭曲面的外侧作为 (,)i+(,)j+(,)kvP x y zQ x y zR x y z 先考察一个计算流量的问题先考察一个计算流量的问题.设某流体以流速设某流体以流速 从曲面从曲面 S 的负侧流向正侧的负侧流向正侧(图图22-5),所讨论范围上的连续函所讨论范围上的连续函 数数,曲面曲面 S 的总流量的总流量 E.设在设在 S 上任一点上任一点 (,)x y z处的正向单位法向量为处的正向单位法向量为 225 图图S(,)iii nviS第二型曲面积分的概念2 第二型曲面积分曲面的侧概念计算两类曲面积分的联系其中其中 P,Q,R 为为 求在单位时间内流过求在单位时间内流过(cos,

6、cos,cos),n 这里这里 ,都都是是 x,y,z 的函数的函数.小曲面块小曲面块 iS的流量的流量 (,)(,)iiiiiiiivnS (,)cos(,)cosiiiiiiiiPQ (,)cos,iiiiiRS 其中其中(,)iiiiiMS 是任意取定的一点是任意取定的一点;(cos,cos,cos)iiiin 是点是点 处的单位法向量处的单位法向量;iM分别是分别是 iScos,cos,cosiiiiiiSSS 在坐标面在坐标面 2 第二型曲面积分曲面的侧概念计算两类曲面积分的联系则单位时间内流经则单位时间内流经 上投影区域的近似面积上投影区域的近似面积,yz zx xy()(),.i

7、 zxi xySS (),i yzS 分别记作分别记作()()()(,)(,)(,).iiii yziiii zxiiii xyPSQSRS 所以所以,单位时间内由单位时间内由 S的负侧流向正侧的总流量的负侧流向正侧的总流量这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第 近似等于近似等于 1nii()()(,)(,).iiii zxiiii xyQSRS 二型曲面积分二型曲面积分.2 第二型曲面积分曲面的侧概念计算两类曲面积分的联系iS于是单位时间内由于是单位时间内由 的负侧的负侧流向正侧的流量流向正侧的流量 i 也就也就()|01lim(,)niii

8、i yzTiPS 定义1的投影区域的面积的投影区域的面积,()()(),i yzi zxi xySSSiS分别表示分别表示 在三个坐标面上在三个坐标面上 1|max.iinTS 的的直直径径()0,0,ii xyiSSS ;取上侧取上侧取下侧取下侧割割 T,分割分割 T 的细度的细度为为设设 P,Q,R 为定义在双侧曲面为定义在双侧曲面 S 上的函数上的函数.2 第二型曲面积分曲面的侧概念计算两类曲面积分的联系对对 S 作分作分12,nSSS它把它把 S 分为分为iS的方向来确定的方向来确定:它们的符号由它们的符号由 ()0,0,ii yziSSS ;取前侧取前侧取后侧取后侧()0,0,.ii

9、 zxiSSS 取右侧取右侧取左侧取左侧 定义1()|01lim(,)niiii yzTiIPS ()|01lim(,)niiii xyTiRS (,),1,2,.iiiiSin 若若 ()|01lim(,)niiii zxTiQS 2 第二型曲面积分曲面的侧概念计算两类曲面积分的联系S在曲面在曲面 所指定所指定一侧上的一侧上的第二型曲面积分第二型曲面积分,的选取无关的选取无关,中的三个极限都存在中的三个极限都存在,(,)+(,)+(,)FP x y z iQ x y z jR x y z k (,)d d(,)d d(,)d d,SP x y zy zQ x y zz xR x y zx y

10、I(1)(,)iii 的的且与分割且与分割 T 和和点点 则称此极限则称此极限 I 为向量函数为向量函数 记作记作(,)d d.SR x y zx yI(,)d d(,)d dSSP x y zy zQ x y zz x或或2 第二型曲面积分曲面的侧概念计算两类曲面积分的联系(,)vP Q RS据此定义据此定义,某流体以速度某流体以速度 从曲面从曲面 的的 负侧流向正侧的总流量即为负侧流向正侧的总流量即为 (,)d d(,)d d(,)d d.SP x y zy zQ x y zz xR x y zx y 又如又如,若空间中的磁场强度为若空间中的磁场强度为 (,),(,),(,),EP x y

11、 z Q x y z R x y z(,)d d(,)d d(,)d d.SHP x y zy zQ x y zz xR x y zx yS则按指定方向穿过曲面则按指定方向穿过曲面的磁通量的磁通量(磁力线总数磁力线总数)为为若以若以S表示曲面表示曲面 S 的另一侧的另一侧,由定义易知由定义易知 d dd dd dSP y zQ z xR x yd dd dd d.SP y zQ z xR x y 第二型曲面积分有第二型曲面积分有类似于第二型曲线积分的性质类似于第二型曲线积分的性质:1.若若 d dd dd d(1,2,)iiiSP y zQ z xR x y ik 存在存在,1d dd dd

12、d,ikiiiiiScP y zQ z xR x y 111()d d()d d()d dkkkiiiiiiiiiSc Py zc Qz xc Rx y则有则有 2 第二型曲面积分曲面的侧概念计算两类曲面积分的联系其其 中中 (1,2,).ic ik是是常常数数2.若曲面若曲面S是由两两无公共内点的曲是由两两无公共内点的曲 面面 12,kS SS所组成所组成,则有则有 d dd dd dSP y zQ z xR x y1d dd dd d.ikiSP y zQ z xR x y2 第二型曲面积分曲面的侧概念计算两类曲面积分的联系 定理22.2设设(,)R x y z是定义在光滑曲面是定义在光滑

13、曲面 ():(,),(,).xyS zz x yx yD 上的连续函数上的连续函数,()(,)d d(,(,)d d.(2)xySDR x y zx yR x y z x yx yz向与向与 轴正向成锐角轴正向成锐角),第二型曲面积分的 计 算2 第二型曲面积分曲面的侧概念计算两类曲面积分的联系以以 S 的上侧为正侧的上侧为正侧(这时这时 S 的法线方的法线方 则有则有|max00.iTSd的的直直径径()|01(,)d dlim(,)niiii xyTiSR x y zx yRS ()01lim(,(,),niiiii xydiRzS 由于由于 R 在在 S 上连续上连续,()xyzD在在上

14、连续上连续(曲面光滑曲面光滑),在在(,(,)R x y z x y()xyD复复合函数的连续性合函数的连续性,上也连续上也连续.由二重积分的定义由二重积分的定义,()max.i xydS的直径的直径这里这里 显然有显然有2 第二型曲面积分曲面的侧概念计算两类曲面积分的联系证证 由第二型曲面积分的定义由第二型曲面积分的定义,据据:(,),Sxx y z()(,)yzy zD()(,)d d(,),)d d.(3)yzSDP x y zy zP x y zy zy z()(,)d d(,(,)d d.xySDR x y zx yR x y z x yx y所以所以 这里这里 S 是取法线方向与是

15、取法线方向与 x轴的正向成锐角的那一轴的正向成锐角的那一 类似地类似地,当当 在光滑曲面在光滑曲面 (,)P x y z上连续时上连续时,2 第二型曲面积分曲面的侧概念计算两类曲面积分的联系有有侧为正侧侧为正侧.()()01(,(,)d dlim(,(,).xyniiiii xydiDR x y z x yx yRzS 侧为正侧侧为正侧.这里这里 S 是取法线方向与是取法线方向与 y轴的正向成锐角的那一轴的正向成锐角的那一 2 第二型曲面积分曲面的侧概念计算两类曲面积分的联系():(,),(,)zxSyy z xz xD(,)d d(,(,),)d d.(4)zxSDQ x y zz xQ x

16、 y z x zz x上连续时上连续时,(,)Q x y z当当 在光滑曲面在光滑曲面 有有xyOz226图图 1S2Sd d,Sxyz x y例例1 计算计算 2221xyz其中其中 S 是球是球 面面 的外侧的外侧(图图 22-6).解解 曲面曲面 S 在第一、五卦限部在第一、五卦限部 分的方程分别为分的方程分别为 2211:1,Szxy0,0 xy部分并取球面部分并取球面 在在 2 第二型曲面积分曲面的侧概念计算两类曲面积分的联系2222:1.Szxy 它们在它们在 xy 平面上的投影区域都是单位圆在第一象平面上的投影区域都是单位圆在第一象限限部分部分.d dSxyz x y()()22

17、221d d1d dxyxyDDxyxyx yxyxyx y()2221d dxyDxyxyx y1322002dcos sin1drrr2 第二型曲面积分曲面的侧概念计算两类曲面积分的联系12SS的的上上侧侧和和的下侧进行的下侧进行,因积分是沿因积分是沿故故12d dd dSSxyz x yxyz x y2=.15其中其中22ed d,ySz xxzS例例2 计算计算 是由曲面是由曲面221,2yxzyy 与与所围立体表面的外侧所围立体表面的外侧.解解 曲面曲面 123,SSSS 其中其中 221(,)1,1,Sx y xzy222(,)2,2,Sx y xzy221:1;Dxz 其投影为其

18、投影为2 第二型曲面积分曲面的侧概念计算两类曲面积分的联系222:2;Dxz 其投影为其投影为223(,),12,Sx y yxzy取左侧取左侧,取右侧取右侧,取左侧取左侧,1122ed dySIz xxz21001eddr rr 2222ed dySIz xxz223:12.Dxz 其投影为其投影为2 第二型曲面积分曲面的侧概念计算两类曲面积分的联系122ed dDz xxz 2e.2222ed dDz xxz（取左侧）（取左侧）（取右侧）（取右侧）222001eddr rr 22 2e.2201eddrr rr 12322ed dySz xIIIxz因此因此2 第二型曲面积分曲面的侧概念计

19、算两类曲面积分的联系22(ee).22(21)e.222e+2 2e2(ee)3322ed dySIz xxz22322ed dxzDz xxz（取左侧）（取左侧）如果光滑曲面如果光滑曲面 S 由参数方程给出由参数方程给出:(,),:(,),(,).(,),xx u vSyy u vu vDzz u v(,)(,)(,),(,)(,)(,)y zz xx yu vu vu v 若在若在 D 上各点它们的函数行列式上各点它们的函数行列式 不同时为零不同时为零,(,)d d(,),(,),(,)d d,(5)(,)SDy zP y zP x u v y u v z u vu vu v2 第二型曲面

20、积分曲面的侧概念计算两类曲面积分的联系则分别有则分别有(,)d d(,),(,),(,)d d,(6)(,)SDz xQ z xQ x u v y u v z u vu vu v(,)d d(,),(,),(,)d d,(7)(,)SDx yR x yR x u v y u v z u vu vu v注注 (5),(6),(7)三式前的正负号分别对应三式前的正负号分别对应 S 的两侧的两侧,所选定的正所选定的正 uvS特别当特别当 平面的正方向对应于曲面平面的正方向对应于曲面 向一侧时向一侧时,2 第二型曲面积分曲面的侧概念计算两类曲面积分的联系式前取正号式前取正号,否则取负号否则取负号.22

21、22221xyzabc的上半部分的上半部分,并取外侧并取外侧.sincos,sinsin,cosxaybzc()3333d dsincosd d,(8)SDxy zaA 由由(5)式有式有 解解 把曲面表示为参数方程把曲面表示为参数方程:2 第二型曲面积分曲面的侧概念计算两类曲面积分的联系3d d,Sxy z其中其中 S 为椭球面为椭球面 例例3 计算计算 (0,02).2其中其中2cos sinsin cos(,)sincos,(,)sin0bby zAbcc 积分是在积分是在 S 的正侧进行的正侧进行.()33332d dsincossincos d dSDxy zabc 2354200s

22、indcosda bc 号号,即即 2 第二型曲面积分曲面的侧概念计算两类曲面积分的联系由上述的注由上述的注,(8)式右端取正式右端取正 32.5a bc 与曲线积分一样，当曲面的侧确定之后，可以建立与曲线积分一样，当曲面的侧确定之后，可以建立 两种类型曲面积分的联系两种类型曲面积分的联系.设设 S 为光滑曲面为光滑曲面,并以上侧为正侧并以上侧为正侧,R 为为 S 上的连续上的连续 函数函数,曲面积分在曲面积分在 S 的正侧进行的正侧进行.()|01(,)d dlim(,).(9)niiii xyTiSR x y zx yRS 由曲面面积公式（第二十一章由曲面面积公式（第二十一章6）,两类曲面

23、积分的联系2 第二型曲面积分曲面的侧概念计算两类曲面积分的联系()1d d,cosi xyiSSx y 因而有因而有iS其中其中 是曲面是曲面 的法线方向与的法线方向与 z 轴正向的交角轴正向的交角,它它 是定义在是定义在 ()i xyS上的函数上的函数.所以所以 是锐角是锐角.使这点的法线方向与使这点的法线方向与 z 轴正向的夹角轴正向的夹角 *i 满足等式满足等式 上连续上连续.()i xyS()*1cosii xyiSS 2 第二型曲面积分曲面的侧概念计算两类曲面积分的联系*()cos.i xyiiSS 或或*()(,)(,)cos.(10)iiii xyiiiiiRSRS 于是于是 因

24、为积分沿曲面正侧进行因为积分沿曲面正侧进行,cos 在闭域在闭域又由又由 S 是光滑的是光滑的,所以所以内必存在一点内必存在一点,()i xyS应用中值定理应用中值定理,在在与与 z 轴正向夹角的余弦轴正向夹角的余弦,现以现以 cosi 的法线方向的法线方向 iS表示曲面在点表示曲面在点(,)iiix y z时时,|0T得当得当 得到得到 2 第二型曲面积分曲面的侧概念计算两类曲面积分的联系(,)d d(,)cos d.(11)SSR x y zx yR x y zS 这里注意当改变曲面的侧向时这里注意当改变曲面的侧向时,左边积分改变符号左边积分改变符号;,右边积分中角右边积分中角 改为改为

25、cos 因而因而 也改变符号也改变符号,所以右边积分也相应改变了符号所以右边积分也相应改变了符号.(,)d d(,)cos d,(12)SSP x y zy zP x y zS cos 的连续性的连续性,则由则由可推可推因此由因此由(9)式式 同理可证同理可证:(10)式右端极限存在式右端极限存在.其中其中 ,分别是分别是 S 上的法线方向与上的法线方向与 x 轴正向和与轴正向和与 y(,)d d(,)cos d,(13)SSQ x y zz xQ x y zS 2 第二型曲面积分曲面的侧概念计算两类曲面积分的联系轴正向的夹角轴正向的夹角.cos,cos,cos 这样这样,在确定了余弦函数在确

26、定了余弦函数 之后之后,(11),(12),(13),(14)式便建立了两种不同类型曲面积式便建立了两种不同类型曲面积 分的联系分的联系.(,)d d(,)d d(,)d dSP x y zy zQ x y zz x R x y zx y(,)cos(,)cosSP x y zQ x y z(,)cosd.(14)R x y zS 一般地有一般地有 由由(,)d d(,)d d(,)d dSP x y zy zQ x y zz x R x y zx y22cos,1xxyzzz ()(,)()(,)()(,)d d.xyxyDP x y zzQ x y zzR x y zx y因此因此 上式避

27、免了同一曲面要向三坐标平面作投影上式避免了同一曲面要向三坐标平面作投影,从而从而使计算得到简化使计算得到简化.22d1d d,xySzzx y 时时,2 第二型曲面积分曲面的侧概念计算两类曲面积分的联系()(,),(,)xyzz x yx yD 注注 当曲面由当曲面由 表示表示,且取上侧且取上侧 22cos,1yxyzzz cos1;例例4 计算计算 22()d dd d()d d,Sy xzy zxz xyxzx y S225,zxy 1z 其中其中 为为 的部分的部分,并取上侧并取上侧.22():4;2,2.xyxyDxyzxzy22()d dd d()d dSy xzy zxz xyxzx y()2222(5)(2)(2)d dxyDy xxyxxyyxzx y()2223200d ddsindxyDyx yrr 解解 2 第二型曲面积分曲面的侧概念计算两类曲面积分的联系4.上面第二步计算后得到上面第二步计算后得到 是利用了积分区是利用了积分区()2d d,xyDyx y域的对称性和被积函数的奇偶性域的对称性和被积函数的奇偶性,他各积分项全都等于零他各积分项全都等于零.2 第二型曲面积分曲面的侧概念计算两类曲面积分的联系除了这一项外除了这一项外,其其