第一类曲面积分精选课件.ppt

1、1 2 A cosA 当当 A 是矩形是矩形,且一边与且一边与 l 平平行行,则则 也也是矩形是矩形,且且lb|cos|ab a|cos|A 投投影影为为，则则面面积积1212,A 设设与与的的夹夹角角为为上上区区域域在在上上的的一般情况，将一般情况，将A分割成若干个上述类分割成若干个上述类型的小矩形，对每一个用引理，然型的小矩形，对每一个用引理，然后迭加再取极限即可。后迭加再取极限即可。这里这里 即即 两平面法矢量的夹角两平面法矢量的夹角1 2 A lbaxz yODi iS(xi,yi)Pi.xz yO DyxyxyxfyxfSdd),(),(iiiA cos1Di iiAS in221(

2、,)(,)xiiyiiifx yfx y .iS(xi,yi)Ai(,),(,),1)ixiiyiinfxyfxy Pi.2222 xyza求求球球面面a a 2222azyx 22axyx .O22 xyax含含在在圆圆柱柱面面(0)a 内内部部的的面面积积.z=0z=0O cosar D.2222 xyza 由由 22axyx ;zxzyxzyz dd dasx yz 2224d dDaSx yaxy cos20022d4dar raar 2412a 22 zxy求求锥锥面面被被xyzO22 2 xyx圆圆柱柱面面所所割割下下部部分分的的曲曲面面面面积积.xyzO222:0 xyxDz 2

3、21d dDSPQx y 22 zxPxxy 其其中中22zyQyxy 2d dDSx y 2.O222ayx 222azx 设圆柱面为设圆柱面为两两相相同同正正圆圆柱柱的的轴轴互互相相相相交交，圆圆柱柱的的底底半半,a径径为为求求一一圆圆柱柱面面被被另另一一圆圆柱柱面面所所割割出出部部.分分的的面面积积D22zax aa DyxxaaSdd28a 220228 daxayax axd.22221xaazzyx .22zax 22 2 yzz 求求圆圆柱柱面面222 yzx被被圆圆锥锥面面所所截截有有限限部部分分的的面面积积曲面向哪曲面向哪个坐标面投影？个坐标面投影？.2222222 yzzy

4、zx 联联立立2 2y xz 消消得得222 0yzzy 又又由由得得 z=22 ,2 :2 zzxDxz xzDxzzxyySdd.22zzy 其中，其中，xzzzSzzd21 d220222 zzzd16 zx2.zx2 22222 3 2 zaxyxyaz 半半球球面面与与旋旋转转抛抛物物面面所所围围成成.立立体体的的整整个个表表面面积积1S2S 2222232zaxyxyaz a2 zayx 即即2S2S2S1S1S.设设 D 为可求面积的平面有为可求面积的平面有 具有连续的一阶偏导数，具有连续的一阶偏导数，(,),(,)zf x yx yD 所表示的曲面所表示的曲面 S 的面积的面积

5、.(1)对区域对区域 D 作分割作分割 T，把，把 D 分成分成 n 个小区域个小区域 i(1,2,)in.这个分割相应地将曲面这个分割相应地将曲面 S 也分成也分成 n 个个 小曲面片小曲面片(1,2,).iS in iSiM(2)在每个在每个 上任取一点上任取一点,作曲面在这一点的切作曲面在这一点的切 现讨论由方程现讨论由方程 xyz:(,)Szf x yDOiAi iMiS界区域界区域,(,)f x y在在 D 上上 近近用切平面用切平面iA代替代替小小 曲面片曲面片,iS从从而当而当 d充分小时充分小时,有有 11,nniiiiSSAi i iAiAiS,并在并在上取出一小块上取出一小

6、块,使得使得 与与在在平面平面,iiSSA 这里这里 分别分别 xyz:(,)Szf x yDOiAi iMiSi 平面上的投影都是平面上的投影都是xy(见下图见下图).iM 在点在点 附附 1niiA0d(3)当当 时时,定义和式定义和式的极限的极限(若存在若存在)现在按照上述曲面面积的概念现在按照上述曲面面积的概念,来建立曲面面积的来建立曲面面积的 计算公式计算公式.iAi为此首先计算为此首先计算的面积的面积.由于切平面由于切平面的法向量就的法向量就 是曲是曲面面 S 在点在点(,)iiiiM 处的法向量处的法向量 n,记它与记它与 z 作为作为 的面积的面积.的面积的面积.,iiS SA

7、表示表示 轴轴的夹角为的夹角为 ,i 则则 221|cos(,)|cos|.1(,)(,)ixiiyiin zff ,iiAxy 因因为为在在平平面面上上的的投投影影为为所所以以221(,)(,).cosiixiiyiiiiAff 注意到和数注意到和数 22111(,)(,)nnixiiyiiiiiAff 是连续函数是连续函数 221(,)(,)xyfx yfx y 在有界闭域在有界闭域 D 0d;S 上的积分和上的积分和,于是当于是当 时时,上式左边趋于上式左边趋于 而右边而右边趋于趋于 221(,)(,)d d.xyDfx yfx yx y这就得这就得 221(,)(,)d d,(1)xy

8、DSfx yfx yx y1d d.(2)|cos(,)|DSx yn z或另一形式或另一形式:到曲面到曲面 S 的面积计算公式的面积计算公式:据曲面面积公式据曲面面积公式,221d d,xyDSzzx y其中其中 D 是是 222211,24xyxxy即即曲面方程曲面方程 22zxy22xyx 求圆锥求圆锥 在圆柱体在圆柱体 内内 那一部分的面积那一部分的面积.2222,xyxyzzxyxy22.zxy故故 是是 22d d2.4DSx yD(,),(,),(,),(,)(3)xx u vyy u v zz u vu vD 表示，其中表示，其中 (,),(,),(,)x u vy u v z

9、 u v在在 D 上具有连续的上具有连续的 一阶偏导数一阶偏导数,且且 2212,xyzz若空间曲面若空间曲面 S 由参数方程由参数方程 222(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)y zz xx yu vu vu v则曲面则曲面 S 在点在点 (,)x y z的法的法线方向为线方向为 (,)(,)(,),.(,)(,)(,)y zz xx ynu vu vu v 记记 222(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)x yz xy zW u vu vu vu v2222222()()(),uuuvvvuvuvu vxyzxyzx xy yz z 与与 z轴夹角的余弦则为轴夹角的余弦则为 n

10、其中其中 2(,)1,(4)(,)x yu vEGF 1(,)cos(,)(,)(,)x yn zW u vu v222,uuuExyz ,uvuvuvFx xy yz z222.vvvGxyz(,)0(,)x yu v 当当时时,对公式对公式(2)作变换作变换:则有则有 1d d|cos(,)|DSx yn z1(,)d d.|cos(,)|(,)Dx yu vn zx y由由(4),便得参数曲面便得参数曲面(3)的面积公式：的面积公式：(,),(,),xx u vyy u v 2d d.(5)DSEGFu v求球面上两条纬线和两条经线之间曲面的面积求球面上两条纬线和两条经线之间曲面的面积

11、(右图中阴影部分右图中阴影部分).设球面的参数方程为设球面的参数方程为:sincos,sinsin,cos,xRyRzR 其中其中 R 是是球面半径球面半径.1212,这里是求当这里是求当 时球面上的面积时球面上的面积.xyzO2 1 由于由于 222222,0,sin,ExyzRFGR 所以所以 由公式由公式(5)即得所求曲面的面积即得所求曲面的面积:22sin.EGFR 22112dsindSR 在讨论曲线的弧长时在讨论曲线的弧长时,我们曾用弧内接折线长度我们曾用弧内接折线长度 的极限来定义的极限来定义(当各段的长趋于零时当各段的长趋于零时),但能否类似但能否类似 22112()(cosc

12、os).R 地用曲面的内接多边形面积的极限来定义曲面面积地用曲面的内接多边形面积的极限来定义曲面面积 呢呢?施瓦茨曾举出一个反例说明这样的定义方法是施瓦茨曾举出一个反例说明这样的定义方法是 不可行的，对此读者可参见有关的数学分析教程不可行的，对此读者可参见有关的数学分析教程(如菲赫金哥尔茨如菲赫金哥尔茨微积分学教程微积分学教程中译本第三卷中译本第三卷 第二分册第二分册).的面积公式，下面用二重积分给予严格证明的面积公式，下面用二重积分给予严格证明.设平面光滑曲线的方程为设平面光滑曲线的方程为 在上册的定积分应用中，曾用微元法给出过旋转面在上册的定积分应用中，曾用微元法给出过旋转面(),()0)

13、.yf xxa bf x求证此曲线绕求证此曲线绕 x轴旋转一周得到的旋转面的面积为轴旋转一周得到的旋转面的面积为 22()1()d.baSf xfxx 由于上半旋转面的方程为由于上半旋转面的方程为 22(),zfxy 因此因此 22222()(),()()xyf x fxyzzfxyfxy 2222222()()()1.()xyfxfx fxzzfxy 不妨设不妨设 ()0,f xxa b 则则 222()22()()()()2dd()bf xaf xfxfx fxSxyfxy 2()2021()4d()d()1()bf xafxyxf xyf xfx122014()1()dd1baf xfx

14、xtt22()1()d.baf xfxx 第一型曲面积分需要化为二重积分来计算第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.设有光滑曲面设有光滑曲面:(,),(,),S zz x yx yD为为 S 上的连续函数上的连续函数,则则 (,)f x y z22(,)d(,(,)1d d.xySDf x y zSf x y z x yzzx y(定理证明与第一类曲线积分的计算定理类似定理证明与第一类曲线积分的计算定理类似,不再不再详述详述.)1d,SSzS其其中中计算计算 2222xyza是是球球面面被被 平面平面(0)zhha所截所截 得的顶得的顶部部(右图右图).xyhOza为为 定义域定义域 S222

15、,zaxyD 曲面曲面 的方程为的方程为 圆圆域域 2222.xyah由于由于 222221,xyazzaxy222dd dSDSax yzaxy因此因此222202dahrarar 2 ln.aah2222200ddahar rar 22220 ln()ahaar()d,SxyzS2222,0.S xyzaz：计算计算 222222d dd;:.a x ysD xyaaxy()dSxyzS2222200dd(cossin)aar rrrarar 302d.aar ra()d,SxyzxyzSS22zxy其中其中 为圆锥面为圆锥面 被圆柱面被圆柱面 222xyax 所割所割 下的部分下的部分(

16、右图右图).对于圆锥面对于圆锥面 22,zxy 有有 yxO22zxy 222xyaxz2222,xyxyzzxyxy222()d d.xyDxyxyxyx y()dSIxyzxyzS2212;xyzz 因此因此用二重积分的极坐标变换用二重积分的极坐标变换,Sxy222:().xyDxaya在在平面上的投影为平面上的投影为而而 2 cos32022(sin cossincos)ddatItttttrr44224 2(sin cossincos)cosdattttt t45420648 2cos2.15atdta对于由参量形式表示的光滑曲面对于由参量形式表示的光滑曲面 (,),:(,),(,),

17、(,),xx u vSyy u vu vDzz u v在在S上第一型曲面积分的计算公式则为上第一型曲面积分的计算公式则为 (,)dSf x y zS其中其中 222222,.uuuuvuvuvvvvExyzFx xy yz zGxyz2(,),(,),(,)d d.Df x u vy u v z u vEGFu v螺旋面螺旋面(右右图图)的一部分的一部分:0,:02.uaDv计算计算d,SIz S其中其中 S 为为 cos,:sin,(,),xuvSyuvu vDzv 先求出先求出 Ozy(,0,0)ax2 S22222cossin1,uuuExyzvvsin cossin cos0,uvuv

18、u vFx xy yz zuvvuvv 22222222sincos11;vvvGxyzuvuvu 然后由计算公式然后由计算公式 求得求得:221.EGFu22()d,SJyzSS计算曲面积分计算曲面积分其中其中是球面是球面 2222.xyza 记记 222001d dd1daDIvuu vv vuu2220121ln122auuuu 2221ln1.aaaa 22222222()2d dxyaa axx yaxy22220022cos2ddaararrar 2222222:,.Szaxyxya 122222()d()dSSJyzSyzS根据计算公式根据计算公式,并使用极坐标变换并使用极坐标变

19、换,可得可得 2222221:,;Szaxyxya222222222coscoscossinsin,Eaaaasincos,sinsin,cos,xayaz (,)0,0,2.S的参数方程为的参数方程为按公式计算如下按公式计算如下:2202222daarar rar2224028d.3aaaattaat222222(sinsincos)sin d dDJaaa 22sin cos sin cossin cos sin cos0,Faa 22222222sinsinsincossin,Gaaa2422sinsin;EGFaa2422200d(sincoscos)sinda 242240182sincosd.33aa 22(,),(,),(,).f x y zxg x y zyx y zS 令令 由于由于 关于平面关于平面 Sxy(,)x y z对称对称,且在对称点且在对称点 与与 (,)y x zS(,)(,),f x y zg y x z 处有处有 因此因此 (,)d(,)d,SSf x y zSg x y zS22dd.SSxSyS即即 类似地类似地,有有22dd.SSxSzS由此得到由此得到222222()d()d3SSyzSxyzS224228d.333SaSaSa