第十第一讲分析的严格化课件.ppt
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1、数学史教程数学史教程 李文林第十章 分析的严格化-01一一、分析基础的严密化分析基础的严密化19世纪分析严格化世纪分析严格化,波尔察诺波尔察诺(1781-1848)1817年年发表纯粹分析证明发表纯粹分析证明,柯西柯西(1789-1851)1821年年分析教程分析教程,1823年无限小计算教程年无限小计算教程,魏尔斯特魏尔斯特拉斯的拉斯的语言语言,戴德金的单调有界数列收敛和实数分戴德金的单调有界数列收敛和实数分割理论割理论,康托尔的集合论可数集合与不可数集合康托尔的集合论可数集合与不可数集合,是实数集的基数是实数集的基数.02狄利克雷(18051859)Dirichlet,Peter Gust
2、av Lejeune,他是最早倡导严格化方法的数学家之一。1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点。柯西(Cauchy,Augustin Louis 1789-1857)(一一)单复变函数单复变函数 柯西最重要和最有首创性的工作是关于单复变函数论的。18世纪的数学家们采用过上、下限是虚数的定积分。但没有给出明确的定义。柯西首先阐明了有关概念,并且用这种积分来研究多种多样的问题,如实定积分的计算,级数与无穷乘积的展开,用含参变量的积分表示微分方程的解等等。(二二)分析基础分析基础 柯西在综合工科学校所授分析课程及有关教材柯西在综合工科学校所授分析课程及有关教材给数学界造成了极大的
3、影响。自从牛顿和莱布给数学界造成了极大的影响。自从牛顿和莱布尼茨发明微积分尼茨发明微积分(即无穷小分析,简称分析即无穷小分析,简称分析)以以来,这门学科的理论基础是模糊的。为了进一来,这门学科的理论基础是模糊的。为了进一步发展,必须建立严格的理论。柯西为此首先步发展,必须建立严格的理论。柯西为此首先成功地建立了极限论。成功地建立了极限论。在柯西的著作中,没有通行的语言,他的说法在柯西的著作中,没有通行的语言,他的说法看来也不够确切,从而有时也有错误,例如由看来也不够确切,从而有时也有错误,例如由于没有建立一致连续和一致收敛概念而产生的于没有建立一致连续和一致收敛概念而产生的错误。可是关于微积分
4、的原理,他的概念主要错误。可是关于微积分的原理,他的概念主要是正确的,其清晰程度是前所未有的。例如他是正确的,其清晰程度是前所未有的。例如他关于连续函数及其积分的定义是确切的,他首关于连续函数及其积分的定义是确切的,他首先准确地证明了泰勒公式,他给出了级数收敛先准确地证明了泰勒公式,他给出了级数收敛的定义和一些判别法。的定义和一些判别法。柯西在分析方面最深刻的贡献在常微分方程领域。他首先证明了方程解的存在和唯一性。在他以前,没有人提出过这种问题。通常认为是柯西提出的三种主要方法,即柯西利普希茨法,逐渐逼近法和强级数法,实际上以前也散见到用于解的近似计算和估计。柯西的最大贡献就是看到通过计算强级
5、数,可以证明逼近步骤收敛,其极限就是方程的所求解。(三三)常微分方程常微分方程数理弹性理论的奠基人之一分析方面:在一阶偏微分方程论中行进丁特征线的基本概念;认识到傅立叶变换在解微分方程中的作用等等。几何方面:开创了积分几何,得到了把平面凸曲线的长用它在平面直线上一些正交投影表示出来的公式。代数方面:首先证明了阶数超过了的矩阵有特征值;与比内同时发现两行列式相乘的公式,首先明确提出置换群概念,并得到群论中的一些非平凡的结果;独立发现了所谓“代数要领”,即格拉斯曼的外代数原理。魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯(Weierstrass,Karl Theodor Wilhelm,1815-1897),德国数学
6、家 1.在数学分析方面在数学分析方面 他是把严格的论证引进分析学的一位大师,为分析严密化作出他是把严格的论证引进分析学的一位大师,为分析严密化作出了不可磨灭的贡献,是分析算术化运动的开创者之一。他改进了不可磨灭的贡献,是分析算术化运动的开创者之一。他改进了波尔查诺柯西、阿贝尔的方法,早在了波尔查诺柯西、阿贝尔的方法,早在1841年至年至1856年,作年,作中学教师的魏尔斯特拉斯,就给出了今天大学数学分析教科书中学教师的魏尔斯特拉斯,就给出了今天大学数学分析教科书中一直沿用的连续函数的定义(中一直沿用的连续函数的定义(-定义),以及完整的一套类定义),以及完整的一套类似的表示法,使数学分析的叙述
7、精确化。他证明了(似的表示法,使数学分析的叙述精确化。他证明了(1860):):任何有界无穷点集,一定存在一个极限点。在任何有界无穷点集,一定存在一个极限点。在1860年的一次演年的一次演讲中,他从自然数导出了有理数,然后用递增有界数列的极限讲中,他从自然数导出了有理数,然后用递增有界数列的极限来定义无理数,从而得到了整个实数系。成功地为微积分奠定来定义无理数,从而得到了整个实数系。成功地为微积分奠定理论基础的理论。理论基础的理论。为了说明直觉的不可靠,1872年7月18日魏尔斯特拉斯在柏林科学院的一次讲演中,构造了一个连续函数却处处不可微的例子,震惊了整个数学界。这个例子推动了人们去构造更多
8、的函数,这样的函数在一个区间上连续或处处连续,但在一个稠密集或在任何点上都不可微。从而推动了函数论的发展。早在1842年,魏尔斯特拉斯就有了一致收敛的概念,并利用这一概念给出了级数逐项积分和在积分号下微分的条件。1885年,魏尔斯特拉斯所证明的用多项式任意逼近连续函数的定理,是二十世纪的一个广阔研究领域函数构造论,即函数的逼近与插值理论的出发点之一。2.在解析函数方面 他用幂级数来定义解析函数,并建立了一整套解析函数理论,与柯西、黎曼一起被称为函数论的奠基人。从已知的一个在限定区域内定义一个函数的幂级数出发,根据幂级数的有关定理,推导出在其它区域中定义同一函数的另一些幂级数,这是他的一项重要发
9、现。他把整函数定义为在全平面上都能表示为收敛的幂级数的和的函数;还断定,若整函数不是多项式,则在无穷远点有一个本性奇点。魏尔斯特拉斯关于解析函数的研究成果,组成了现今大学数学专业中复变函数论的主要内容。3、在椭圆函数方面 椭圆函数是双周期亚纯函数,是从求椭圆弧长引起的。有关研究是19世纪的热门课题。继阿贝尔、雅克比之后,魏尔斯特拉斯在这方面作出了巨大贡献。1882年,他将椭圆函数分别化成含有一个三次多项式的平方根的3个不同形式,把通过“反演”的第一个积分所得的椭圆函数作为基本的椭圆函数,还证明了这是最简单的双周期函数。他证明了每个椭圆函数均可用这个基本椭圆函数和它的导函数简单地表示出来。总之,
10、魏尔斯特拉斯把椭圆函数论的研究推到了一个新的水平,进一步完备了、改写了、并且美化了其理论体系。4、在代数领域、在代数领域 1858年,他对同时化两个二次型成平方和给出了一般方法,年,他对同时化两个二次型成平方和给出了一般方法,并证明了若二次型之一是正定的,即使某些特征值相等,并证明了若二次型之一是正定的,即使某些特征值相等,这个化简也是可能的。这个化简也是可能的。1868年,他已完成二次型的理论体年,他已完成二次型的理论体系,并将这些结果推广到了双线性型。系,并将这些结果推广到了双线性型。5、在变分学方面、在变分学方面 1879年,他证明了弱变分的年,他证明了弱变分的3个条件,即函数取得极小值
11、个条件,即函数取得极小值的充分条件。此后,他转向了强变分问题,并得到了强变的充分条件。此后,他转向了强变分问题,并得到了强变分的极大值的充分条件。在变分学方面还得到了不少的其分的极大值的充分条件。在变分学方面还得到了不少的其它成果。它成果。6、在微分几何方面、在微分几何方面 魏尔斯特拉斯研究了侧地线和最小曲面。魏尔斯特拉斯研究了侧地线和最小曲面。魏尔斯特拉斯不仅是一位伟大的数学家,而且是一位杰出的教育家,他高尚的风范和精湛的艺术是永远值得全世界数学教师学习的光辉典范。他培养了一大批有成就的数学人才,其中最著名的有:柯瓦列夫斯卡娅,俄国女数学家、作家、政论家)、H.A.施瓦茨(Schwarz,H
12、ermann Amandus,1843-1921,法国数学家)、I.L.富克斯(Fuchs,Immanuel Lazarus,法国数学家)、M.G.米塔-列夫勒(Mittag-Leffler,Magnus Gustaf,1846-1927,瑞典数学家)、F.H.朔特基(Schottky,Friedrich Hermann,1851-1935,法国数学家)、L.柯尼希贝格(Konigsberger,Leo,1837-1921.,法国数学家)等。lim()0n mnnaa 尤利乌斯尤利乌斯威廉威廉理查德理查德戴德金(戴德金(Julius Wilhelm Richard Dedekind,18311
13、916)最伟大的德国数)最伟大的德国数学家、理论家和教育家,近代抽象数学的先驱。戴德金学家、理论家和教育家,近代抽象数学的先驱。戴德金是哥廷根大学哲学博士、柏林科学院院士。是哥廷根大学哲学博士、柏林科学院院士。18621912年任不伦瑞克高等技术学校教授,发展了年任不伦瑞克高等技术学校教授,发展了有理数和无理数可以构成一个(无空隙的)实数的连续有理数和无理数可以构成一个(无空隙的)实数的连续系统,前提是实数和直线上的点有着一对应的关系。系统,前提是实数和直线上的点有着一对应的关系。戴德金分割戴德金分割:假设给定某种方法,把所有的有理数分为两个集合,A和B,A中的每一个元素都小于B中的每一个元素
14、,任何一种分类方法称为有理数的一个分割。戴德金在数学上有很多新发现。不少概念和定理以他的名字命名。主要贡献有以下两个方面:在实数和连续性理论方面,他提出“戴德金分割”,给出了无理数及连续性的纯算术的定义。1872年,他的连续性与无理数出版,使他与G.康托尔、K.魏尔斯特拉斯等一起成为现代实数理论的奠基人。在代数数论方面,他建立了现代代数数和代数数域的理论,将E.E.库默尔的理想数加以推广,引出了现代的“理想”概念,并得到了代数整数环上理想的唯一分解定理。今天把满足理想唯一分解条件的整环称为“戴德金整环”。他在数论上的贡献对19世纪数学产生了深刻影响。对于任一分割,必有3种可能,其中有且只有1种
15、成立:A有一个最大元素a,B没有最小元素。例如A是所有1的有理数,B是所有1的有理数。B有一个最小元素b,A没有最大元素。例如A是所有1的有理数。B是所有1的有理数。A没有最大元素,B也没有最小元素。例如A是所有负的有理数,零和平方小于2的正有理数,B是所有平方大于2的正有理数。显然A和B的并集是所有的有理数,因为平方等于2的数不是有理数。注:A有最大元素a,且B有最小元素b是不可能的,因为这样就有一个有理数不存在于A和B两个集合中,与A和B的并集是所有的有理数矛盾。第3种情况,戴德金称这个分割为定义了一个无理数,或者简单的说这个分割是一个无理数。前面2种情况中,分割是有理数。这样,所有可能的
16、分割构成了数轴上的每一个点,既有有理数,又有无理数,统称实数。1888年,戴德金提出了算术公理的完整系统,其中包括完全数学归纳法原理的准确表达方式,把映象的许多概念用最普通的形式引入数学中。此外,他还研究了结构理论的基础,使之成为现代代数的中心分支之一。现今数学上的许多命题和术语,如环、场、结构、截面、函数、定理、互换原理等,都是与他的名字联系在一起的。他于1916年2月12日在不伦瑞克去世。尽管他的关于数学基本理论的许多重要思想在他生前并未被人们充分认识,但仍然影响着现代数学的发展。格奥尔格康托尔(Cantor,Georg Ferdinand Ludwig Philipp,1845-1918
17、)德国数学家,集合论的创始人.康托尔对数学的贡献是集合论和超穷数理论。康托尔是在寻找函数展开为三角级数表示的唯一性判别准则的工作中,认识到无穷集合的重要性,并开始从事无穷集合的一般理论研究。早在1870年和1871年,康托尔两次在数学杂志上发表论文,证明了函数f(x)的三角级数表示的唯一性定理,而且证明了即使在有限个间断点处不收敛,定理仍然成立。康托尔以一一对应为原则,提出了集合等价的概念,将有穷集合的元素个数的概念推广到无穷集合。两个集合只有它们的元素间可以建立一一对应才称为是等价的。这样就第一次对各种无穷集合按它们元素的“多少”进行了分类。他引进了“可列”这个概念,把凡是能和正整数构成一一
18、对应的任何一个集合都称为可列集合。1874年他在数学杂志上发表的论文中,证明了有理数集合是可列的,后来他还证明了所有的代数数的全体构成的集合也是可列的。1872年他在数学年鉴发表了三角级数中一个定理的推广,把唯一性的结果推广到允许例外值是某种无穷的集合情形。为了描述这种集合,他首先定义了点集的极限点,然后引进了点集的导集和导集的导集等有关重要概念。这是从唯一性问题的探索向点集论研究的开端,并为点集论奠定了理论基础。以后,他又在数学年鉴和数学杂志两刊上发表了许多文章。他称集合为一些确定的、不同的东西的总体,这些东西人们能意识到并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。他指出,如果一个集合能够和它
19、的一部分构成一一对应,它就是无穷的,给出了开集、闭集和完全集等重要概念,并定义了集合的并与交两种运算。在瑞士苏黎世召开的第一届国际数学家大会上,康托尔的集合论得到公开的承认和热情的称赞。瑞士苏黎世理工大学教授胡尔维茨(Hurwitz,Adolf,18591919)在他的综合报告中,明确地阐述康托尔集合论对函数论的进展所起的巨大推动作用,这破天荒第一次向国际数学界显示康托尔的集合论不是可有可无的哲学,而是真正对数学发展起作用的理论工具。法国数学家阿达玛(Hadamard Jacques,18651963),报告康托尔对他的工作的重要作用。希尔伯特(Hilbert David,1862.1.23-
20、1943.2.14)高度赞誉康托尔的集合论“是数学天才最优秀的作品”,“是人类纯粹智力活动的最高成就之一”,“是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。在1900年第二届国际数学家大会上,希尔伯特高度评价了康托尔工作的重要性,并把康托尔的连续统假设列入20世纪初有待解决的23个重要数学问题之首。当康托尔的朴素集合论出现一系列悖论时,克罗内克的后继者布劳威尔(18811966.)等人借此大做文章,希尔伯特用坚定的语言向他的同代人宣布:“没有任何人能将我们从康托尔所创造的伊甸园中驱赶出来”。1873年康托尔给戴德金的一封信中提出实数集合是否可列的问题,不久他自己得到回答:实数集合是不可列的。由于实数集合
21、是不可列的,而代数数集合是可列的,于是他得到了必定有超越数存在的结论,而且超越数“大大多于”代数数。同年又构造了实变函数论中著名的“康托尔集”,给出测度为零的不可数集的一个例子。克罗内克(克罗内克(Kronecker,Leopold;18231891)德国数学家。对代数和代数数论,特别是椭圆函数理论有突出贡献。克罗内克最主要的功绩在于努力统一数论、代数学和分析学的研究。克罗内克定理克罗内克定理 设为正无理数,为实数,则对任给正数,都存在两个正整数m,n,使得 n-m+。=0的特殊情况称为狄利克雷定理。克罗内克的数学观对后世有极大影响。他主张分析学应奠基于算术,而算术的基础是整数。他的名言是:“
22、上帝创造了整数,其余都是人做的工作”,反映了他对当时的分析学持批判态度。他作为直觉主义的代表人物,还曾极力反对G.康托尔的集合论。数学史教程数学史教程 -李文林第十章 分析的严格化-02分析的扩展(一)复分析的建立(一)复分析的建立 德国数学家,对数学分析和微分几何做出了重要贡献,其中一些为广义相对论的发展铺平了道路。他的名字出现在黎曼函数,黎曼积分,黎曼引理,黎曼流形,黎曼映照定理,黎曼-希尔伯特问题,黎曼思路回环矩阵和黎曼曲面中。他作了题为“论作为几何基础的假设”的演讲,开创了黎曼几何,并为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。黎曼(18261866)Riemann,在1858年发表的关于素
23、数分布的论文中,研究了黎曼函数,给出了函数的积分表示与它满足的函数方程,他提出著名的黎曼猜想至今仍未解决。另外,他对偏微分方程及其在物理学中的应用有重大贡献。黎曼首先提出用复变函数论特别是用函数研究数论的新思想和新方法,开创了解析数论的新时期,并对单复变函数论的发展有深刻的影响。(二)解析数论的形成狄利克雷(18051859)Dirichlet,Peter Gustav Lejeune 狄利克雷在数学和力学两个领域都做出了名垂史册的重大贡献,尤以分析、数论、位势伦为最.狄利克雷函数、狄利克雷级数、狄利克雷系数、狄利克雷指数、狄利克雷数据、狄利克雷型、狄利克雷抽屉原理、狄利克雷变分问题、狄利克雷
24、除数问题、狄利克雷代数、狄利克雷范数、狄利克雷分布、狄利克雷积分、狄利克雷核、狄利克雷空间、狄利克雷间断乘子、狄利克雷铺砌、狄利克雷区域、狄利克雷特征标、狄利克雷原理,以及多种狄利克雷定理等等.对数论、数学分析和数学物理有突出贡献,是解析数论的创始人之一。在分析学方面,他是最早倡导严格化方法的数学家之一。1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点。1863年狄利克雷撰写了数论讲义,对高斯划时代的著作算术研究作了明晰的解释并有创见,使高斯的思想得以广泛传播。1837年,他构造了狄利克雷级数。18381839年,他得到确定二次型类数的公式。1846年,使用抽屉原理。阐明代数数域中单位
25、数的阿贝尔群的结构。在分析方面,他最卓越的工作是对傅里叶级数收敛性的研究.他在18221825年期间在巴黎会见傅里叶之后,对傅里叶级数产生了兴趣.日本数学家丸山哲朗说:“把任意函数用三角级数表示出来的傅里叶方法,被狄利克雷所继承,他给出了傅里叶级数的收敛性证明.”即1829年在其论文关于三角级数的收敛性中,第一次对傅里也级数的收敛性给出了严谨的证明,得到函数f(x)的傅里叶级数收敛的第一个充分条件:“对于在-,内有定义且有限的,逐段连续且逐段单调的函数f(x),其傅里叶级数在(-,)内收敛于,在端点x=处收敛于.这一研究还促使他将函数作了一般化的推广.他在1829年给出如下具有典型意义的例子:
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