泰勒公式课件.ppt
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1、二、常用函数的麦克劳林公式二、常用函数的麦克劳林公式 一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用 应用应用用多项式近似表示函数用多项式近似表示函数理论分析理论分析近似计算近似计算 第三章 问题的提出问题的提出在理论分析和近似计算中,常希望能用一个简单我们已经介绍了用线性函数(一次多项式)来近似0000()()()()()f xf xfxxxo xx的函数来近似的表示一个比较复杂的函数。表示函数的方法,)1ln(xy xy oxyxey xy 1oxy一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立思路思路:nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 提出问题
2、提出问题:1、精确度不高;2、误差不能估计.以直代曲近似存在不足:寻找高次多项式函数P(x),使得)()(xPxf 误差)()()(xPxfxR 可估计。设 f(x)在含有x0的开区间内具有直到(n+1)阶导数,试找出一个关于(x-x0)的n次多项式:来近似表达 f(x),误差 Rn(x)=f(x)-Pn(x)是比(x-x0)n高阶的无穷小,并给出误差的具体表达式。0 x)(xfy oxy 假设的理由假设的理由)()(00 xfxPn)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2.若有相同的切线若有相同的切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近似程度越来越好近似程度越来越好1.若在若在
3、点相交点相交0 x 分析分析:假设假设).()(,),()(0)(0)(00 xfxPxfxPnnnn ),()(00 xfxPn ),()(00 xfxPn),(00 xfa nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(!2)()()()(00)(200000 ),(101xfa)(!202xfa ,)(!0)(xfannn ()()00()()0,1,2,kknPxfxkn由假设()01()(0,1,2,).!kkafxknk得()nP x代入中得 多项式系数的确定多项式系数的确定下面定理表明,上式多项式即为要找的n次多项式。)()(!)()(!2)()()()(00)(2000
4、00 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 证明证明:),()()(xPxfxRnn由只需证明只需证明nnxnR)(1()(0110)()()()()(10010nnnnnxxxRxRxxxR0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn)(01之间与在xx0)(1()()()(1()(0101011nnnnnxnxRRxnR1022)(1()(nnxnnR)(102之间与在x),(00之间与也在之间与在xxxn)()(!1)()(010)1(之间与在xxxxnfxRnnn,0)()1(xPnn)()()1()1(xfxRnnn 则由上式得则由上式得注:注:称下式为 f(x
5、)按(x-x0)幂展开n次近似多项式 nkkknxxkxfxP000)()(!)()(称下式为 f(x)按(x-x0)幂展开 n 阶泰勒公式 nknkkxRxxkxfxf000)()()(!)()(.)(!1)()(10)1(为拉格朗日余项其中nnnxxnfxR)()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf 带佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式0)()(lim00 nnxxxxxR及及.)()(0nnxxoxR 1n01n01)(nnxx1nMxxnfxR)(!)(!1)()()(!)0(!2)0()0()0()()(2nnnxOxnfxfxffxf 带拉氏余项的麦克劳林带拉氏余项的麦
6、克劳林(Maclaurin)公式公式)10()!1()(!)0(!2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麦克劳林公式麦克劳林公式 带佩氏余项的麦克劳林带佩氏余项的麦克劳林(Maclaurin)公式公式解解xnexf)()1(注意到代入公式,得).10()!1(!2112 nxnxxnenxxxe由公式可知!212nxxxenx 估计误差)0(x设设).10()!1()!1()(11 nxnxnxnexnexR!1!2111,1nex取.)!1(3 n其误差其误差)!1(neRn二、常用函数的麦克劳林公式二、常用函数的麦克劳林公式,)()(xkexf),2,
7、1(1)0()(kfk解解.)!12()1(!5!3sin212153mmmRmxxxxx 其中).10()!12(2)12(sin)(122mmxmmxxR,sin,1xxm得近似公式取其误差)10(6|!3)23sin(332xxxR)sin(x)()(xfk2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,)1(1m),2,1(m!)2(2mxmxxfcos)(.备选例类似可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm!)22(m)cos()1(1xm)10(m)1(22mx)1()1()(.xxxf备选例)()(xfk)1(x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1
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