格林公式曲线积分与路线的无关性课件.ppt

1、3.3.格格 林林 公公 式式曲线积分与路线的无关性曲线积分与路线的无关性2022-12-11皖皖西西学学院院 数数理理系系 数数学学分分析析一、格林公式一、格林公式格林公式表达了在区域格林公式表达了在区域D上的二重积分与区域上的二重积分与区域D的的边界曲线边界曲线L上的第二型曲线积分的关系上的第二型曲线积分的关系.设设D为平面区域为平面区域,如果如果D内任一闭曲线所围成内任一闭曲线所围成的部分都属于的部分都属于D,则称则称D为平面单连通区域为平面单连通区域,否则否则称为复连通区域称为复连通区域.复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD2022-12-11皖皖西西学学院院 数数理理系系 数

2、数学学分分析析边界曲线正向的规定：边界曲线正向的规定：设区域设区域D由边界曲线由边界曲线L围成，当沿边界行走时，围成，当沿边界行走时，区域区域D总在它的左边总在它的左边.DLDL外部边界曲线的正向为逆时针方向；外部边界曲线的正向为逆时针方向；内部边界曲线的正向为顺时针方向。内部边界曲线的正向为顺时针方向。2022-12-11皖皖西西学学院院 数数理理系系 数数学学分分析析定定理理21.1121.11(,),(,)P x y Q x yD若若函函数数在在闭闭区区域域 上上连连续续，且且有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数，则则有有DLQPx yP xQ yxyd ddd 格林公式格林公式定理的证

3、明：按照区域定理的证明：按照区域D的三种情形分别证明的三种情形分别证明.2022-12-11皖皖西西学学院院 数数理理系系 数数学学分分析析设设 D 既是既是X-型型,又是又是Y-型的区域型的区域 ,则则12()():xyxDaxb 12()():yxyDcyd xdcbayAEDCBDQx yxd d 21()()dyyQxx 2(),)ddcQyyy 1(),)ddcQyyy (,)dCBEQ x yy (,)dCAEQ x yy (,)dCBEQ x yy (,)dEACQ x yy LQ x yy(,)d.ddcy DLQPx yP xQ yxyd ddd 2022-12-11皖皖西西

4、学学院院 数数理理系系 数数学学分分析析d dddDLQPx yP xQ yxy 为方便记忆，为方便记忆，格林公式格林公式可以写成下面的形式：可以写成下面的形式：DLxy dP xQ yPQdd.2022-12-11皖皖西西学学院院 数数理理系系 数数学学分分析析L1.例例设设 是是一一条条分分段段光光滑滑的的闭闭曲曲线线，证证明明22,Pxy Qx证证明明：令令则则QPxy 22xx0 由由格格林林公公式式，得得22ddLxy xxy 0ddDxy 0.Lxy xxy22dd0.2022-12-11皖皖西西学学院院 数数理理系系 数数学学分分析析ABx yABr2.d,.例例计计算算其其中中

5、曲曲线线是是半半径径为为 的的圆圆在在第第一一象象限限部部分分的的顺顺时时针针方方向向ABO解：解：022drABx yry dy sinyrt 02cos(sin)rtd rt 0222cosrtdt 21.4r 另解：利用格林公式另解：利用格林公式.注意曲线的方向注意曲线的方向2022-12-11皖皖西西学学院院 数数理理系系 数数学学分分析析ABx yABr2.d,.例例计计算算其其中中曲曲线线是是半半径径为为 的的圆圆在在第第一一象象限限部部分分的的顺顺时时针针方方向向ABOPQx0,.这这里里，解解：,LOBBAAO记记.LABBOOA LLPdxQdyxdy则则DQPdxy()Dd

6、 214r 0(0);BOxdydy 其其中中，0(0).OAxdyx 21.4ABxdyr 所所以以，L D2022-12-11皖皖西西学学院院 数数理理系系 数数学学分分析析DDdxdyS,因因为为QPxy1所所以以，当当时时，DLDPdxQdydxdyS.推论推论:正向闭曲线正向闭曲线L 所围区域所围区域D的面积的面积LAx yy x1dd.2 LLAx yy xdd.当当然然，也也有有：xaLybcos:,02sin 例例如如，椭椭圆圆周周围围成成的的面面积积LAxyy xab1dd.2 2022-12-11皖皖西西学学院院 数数理理系系 数数学学分分析析xyax ax23.()(0)

7、.例例计计算算抛抛物物线线与与 轴轴所所围围的的面面积积LAxyy x1dd2 OMN(,0)A aLOAAMO1122OAAMOAxdyydxxdyydx12AMOxdyydx aaxaxx dxax01(1)()22 21.6a 2022-12-11皖皖西西学学院院 数数理理系系 数数学学分分析析LAxyd xyax ax23.()(0).例例计计算算抛抛物物线线与与 轴轴所所围围的的面面积积OMN(,0)A axyax2()adydxx1(1)2AMOaaAxdyxdxx01(1)2axax dxa2011().26 xy d xyadx2()()另解：另解：2022-12-11皖皖西西

8、学学院院 数数理理系系 数数学学分分析析LxdyydxILxy224.,.例例计计算算其其中中 为为任任一一不不包包含含原原点点的的闭闭区区域域的的边边界界线线2222,yxPQxyxy 解解：令令220,xy则则当当时时22222()Qyxxxy Py 22ddLx yy xxy 由格林公式，得由格林公式，得DQPxyxy()dd 思考：若思考：若L L包含原点呢？包含原点呢？oLD0dd0.Dxy 2022-12-11皖皖西西学学院院 数数理理系系 数数学学分分析析LxdyydxILxy224.,.例例计计算算其其中中 为为任任一一包包含含原原点点的的闭闭区区域域的的边边界界线线P Q,.

9、注注意意：在在原原点点无无定定义义LDLDoDLDLDQPxyxy()dd0 o2022-12-11皖皖西西学学院院 数数理理系系 数数学学分分析析LxdyydxILxy224.,.例例计计算算其其中中 为为任任一一包包含含原原点点的的闭闭区区域域的的边边界界线线LDoDLDQPxyxy()dd0 L Lx yy xLLxy22dd0()取取逆逆时时针针方方向向，取取顺顺时时针针方方向向LLx yy xx yy xxyxy2222dddd 2222220cossindrrr 2.2022-12-11皖皖西西学学院院 数数理理系系 数数学学分分析析二、曲线积分与路线的无关性二、曲线积分与路线的无

10、关性1 1、曲线积分与路径无关的概念、曲线积分与路径无关的概念LLD12设设和和是是区区域域 内内任任意意同同起起点点、终终两两条条点点的的曲曲线线，LLPdxQdyPdxQdy12,如如果果LPdxQdyD 则则称称曲曲线线积积分分在在区区域域 内内与与路路线线无无关关.DAL2L1B2022-12-11皖皖西西学学院院 数数理理系系 数数学学分分析析2 2、曲线积分与路径无关的条件、曲线积分与路径无关的条件定理定理21.1221.12D设设 是是单单连连通通闭闭区区域域，(),(,)P x,y Q x yD函函数数在在 内内连连续续；且且具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数.则则以以下下四

11、四个个条条件件等等价价：(1)DL沿沿 内内任任一一按按段段光光滑滑封封闭闭曲曲线线，有有0;LPdxQdy (2)LDLPdxQdy 对对 内内任任一一按按段段光光滑滑曲曲线线，曲曲线线积积分分L与与路路径径无无关关，只只与与 的的起起点点和和终终点点有有关关；(3)(,)PdxQdyDu x y 是是 内内某某一一函函数数的的全全微微分分，即即有有;duPdxQdy(4).PQDyx 在在 内内处处处处成成立立2022-12-11皖皖西西学学院院 数数理理系系 数数学学分分析析定理的证明：定理的证明：(1)(2)(3)(4)(1).0LPdxQdy LPdxQdy 与与路路线线无无关关du

12、PdxQdyPQyx(1)(2)0LPdxQdy ASBBRAPdxQdyPdxQdyASBBRAPdxQdyPdxQdy .ASBARBPdxQdyPdxQdy即即LASBBRA记记ABRS2022-12-11皖皖西西学学院院 数数理理系系 数数学学分分析析(2)(3)LPdxQdyduPdxQdy 与与路路径径无无关关00(,),(,)A xyB x yABu x yPdxQdy(,).记记(,)(,)xuu xx yu x y ACABPdxQdyPdxQdyBCPdxQdy xxxPdx (,).P xx yx 0limxxuuxx 0lim(,)xP xx y (,).P x y D

13、AB Cx 2022-12-11皖皖西西学学院院 数数理理系系 数数学学分分析析(3)(4)PQduPdxQdyyxduPdxQdy证证：,.uuPQxy()Quxxy 2uy x ()Puyyx 2ux y ,QPxy连连续续，22.uuy xx y 即即，连连续续PQyx2022-12-11皖皖西西学学院院 数数理理系系 数数学学分分析析(4)(1)0LPQPdxQdyyx LD 证证：是是 内内的的封封闭闭曲曲线线，其其围围成成的的闭闭区区域域记记为为.则则由由格格林林公公式式，得得()LQPPdxQdydxy 0.注：利用曲线积分与路径的无关性，可以通过注：利用曲线积分与路径的无关性，

14、可以通过选择适当的简单路径，得到简化计算的目的选择适当的简单路径，得到简化计算的目的.2022-12-11皖皖西西学学院院 数数理理系系 数数学学分分析析3 3、曲线积分与路线无关的应用、曲线积分与路线无关的应用 简化计算简化计算xBy(1,1)sin2 到到的的曲曲线线弧弧上上的的一一段段.Lxxy dxxy dyLO2245(2)(),(0,0)例例计计算算其其中中 是是点点PQxyx2积分与路线无关积分与路线无关.1523 112400(1)x dxy dyOMBIPdxQdy OAABPdxQdyPdxQdy(0,0)O(1,0)A(1,1)BPQyx.解：解：M2022-12-11皖

15、皖西西学学院院 数数理理系系 数数学学分分析析3 3、曲线积分与路径无关的应用、曲线积分与路径无关的应用 求原函数求原函数xy dxxy dy6(2sin)(cos).例例 应应用用曲曲线线积积分分求求的的原原函函数数(,)2sin,(,)cos.P x yxy Q x yxy解解：这这里里，cos.PQyyx显显然然，有有：ABu x yPdxQdyTH21.(,)12.由由：(0,0);A其其中中，为为定定点点，不不妨妨取取(,).Bx y为为任任一一点点，坐坐标标为为选选择择积积分分路路径径如如图图：(,0)C x(0,0)A(,)B x yu x y(,)xyCxdxxydy002cos 2sinxxyC2022-12-11皖皖西西学学院院 数数理理系系 数数学学分分析析第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）201920192022-12-11皖皖西西学学院院 数数理理系系 数数学学分分析析