极限的定义课件.ppt

1、第二章第二章 极限与连续极限与连续 一、极限的定义一、极限的定义 二、函数极限的性质及运算法则二、函数极限的性质及运算法则 三、无穷大量与无穷小量三、无穷大量与无穷小量 四、函数的连续性四、函数的连续性 五、闭区间上连续函数的性质五、闭区间上连续函数的性质一、极限的定义一、极限的定义(一一)、数列的极限、数列的极限(二二)、函数的极限、函数的极限“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽概念的引入概念的引入R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十

2、二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS面积的逼近面积的逼近(一一)、数列的极限、数列的极限定义定义:定义在正整数集上的函数定义在正整数集上的函数)n(fan 按按,3,2,1顺序依次排列的一列数顺序依次排列的一列数 ,a,a,an21 (1)称为称为无穷数列无穷数列,简称简称数列数列.其中的每个数称为数其中的每个数称为数列的列的项项,na称为称为通项通项(一般项一般项).数列数列(1)记为记为an.例如例如;,2,8,4,2n;,61,041,0,21,02n2)1(1nn 1.数列数列注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一

3、可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,a,a,an211a2a3a4ana2.数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn;,56,43,34,21,2)1(1nnn .)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn播放播放2.数列极限的定义数列极限的定义.alim,a,aalim,aa,aa,n,a:nnnnnnnn不不存存在在或或发发散散否否则则称称数数列列记记收收敛敛于于称称则则无无限限趋趋于于时时当当设设数数列列定定义义 例例1:观察下列数列的变化趋势观察下列数列的变化趋势nnqy)4(,61,0,41,0,210,(3)1,-1,1,-1,(2)10,10,1

4、0,)1(-1q 1q 11q 1q 0qlimnn不存在不存在3.数列极限四则运算法则与性质数列极限四则运算法则与性质(1)四则运算法则四则运算法则则则设设,bblim,aalimnnnn nnnnalimccalim)1(bablimalim)ba(lim)2(nnnnnnn abblimalimbalim)3(nnnnnnn 0blim,bablimalimbalim)4(nnnnnnnnn aalimaalim)1(:knnnn 性性质质aalimalimaalim)2(1n2nn2nnn nnnnnnnnyxyxNnNyx limlim,),(,)3(则则有有时时当当正整数正整数满足

5、满足0lim0|lim)4(nnnnaa例例2 求下列数列的极限求下列数列的极限)1n1n(nlim)1(n nnn3kn21xlim,)1k(k1x,1x,1x)2(求求设设nnnnnnnylim,cba0,cbay)3(求求设设nnkn1kn21nxlim,ax,2a)4(n 求求设设(二二)、函数的极限、函数的极限.)x(f,)f(Dx的变化趋势的变化趋势函数函数中变化时中变化时在在考虑考虑X的变化趋势有的变化趋势有:x:x记记 xx00 xx,xx 000 xx:,xx,xx记记 000 xx:,xx,xx记记Xx:统一简记为统一简记为1.定义定义:,A)x(flim,A)x(f,Xx

6、,A)x(f,XxXx 记记收收敛敛于于时时则则称称无无限限趋趋于于某某一一确确定定的的数数时时设设不不存存在在或或称称时时发发散散在在否否则则称称)x(flim,Xx)x(fXx.)x(f,Xx)x(flim,)x(flimXxXx趋趋于于无无穷穷大大时时或或说说不不存存在在则则称称若若 特别记号特别记号:)x(flim(2)0 x(f)x(flim)1(:-x0 xx0 左左极极限限)x(flim(2);)0 x(f)x(flim)1(:x0 xx0 右右极极限限不不存存在在则则若若)x(flim),x(flim)x(flim)1(000 xxxxxx 不不存存在在且且不不为为无无穷穷大大

7、则则)x(flim),x(flim)x(flim)2(xxx 000 xx,xx:xx包含两个过程包含两个过程 x,x:x包含两个过程包含两个过程A)0 x(f)0 x(fA)x(flim00 xx0 A)x(flim)x(flimA)x(flimxxx .lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 oxxlimxxlim0 x0 x 左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例证证1)1(lim0 x xxlimxxlim0 x0 x 11lim0 x 例例3 观察下列函数的变化趋势观察下列函数的变化趋势x1y )1(x1lim x0;x1lim x0;x1

8、lim 1x1;x1lim 0 x x1lim 0 x x1ey )2(x1xelim 1 x10 xelim 0 x10 xelim 0 x1lim x 不存在不存在x1lim 0 x不存在不存在x10 xelim xarctany )3(xarctanlim xxyarctan 2 2 2 xarctanlim x2 不不存存在在xarctanlim x xcotarcy )4(xcotarclim x0 xcotarclim x xycot arc 不不存存在在xcotarclim x 不不存存在在不不存存在在同同理理可可知知xcoslim,xsinlim)5(xx x1sinlim)9

9、(0 xxy1sin.x1sinlim0 x不存在不存在:A)x(flim)1(.2x的的几几何何解解释释 AxfAAxfAxfx)(,)(,0)(,即即是指是指于于无限趋无限趋时时当当)(xfy AAAM Mxyo就是说就是说.)(,0,0 AxfAMxM时时当当:A)x(flim)2(.20 xx的的几几何何解解释释)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.)(,0,00 AxfAxx时时当当 AxfAAxfAxfxx)(,)(,0)(,0即即是是指指于于无无限限趋趋时时当当就是说就是说当当f(x)是基本初等函数时是基本初等函数时)x(f)x(flim),f(Dx0 xx00 则则若若例

10、例:求下列函数的极限求下列函数的极限 2x 12x xf(x)x(flim )2(xlim )1(22x22x1214xf(x)(lim )4()12(lim )3(2xx2121xxfx.x)x(f,x)x(f)x(flim:)4)(2(00 xx0附近的变化趋势有关附近的变化趋势有关在在而只与而只与有无定义无关有无定义无关在在的值与的值与可看出可看出从从)x(flim),x(flim),x(flim),x(flim),x(flim),x(flim,2x 11-x12x1 1-x1x 1/21x xf(x)4xxx2x1x1x2 求求例例)x(flim),x(flim),x(flim,1x21xf(x)53xxx2 求求设设例例.,)(,)(lim000的表达式无关的表达式无关而与远离而与远离附近的表达式有关附近的表达式有关在在只与只与时时求求xxxfxfxx)x(f)x(flim),f(Dx,f(x)4.20 xx00 则则是是初初等等函函数数性性质质)b(f)x(flim),a(f)x(flim,b,a)f(Dbxax 则则有有若若例例6 求下列极限求下列极限x10 x2xe11lim)2(2x3xlim)1()2xxx(lim)4(x21xlim)3(22x22x