最优控制理论课件.ppt

1、第六章 动态系统的最优控制方法Page:2现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory第六章 动态系统的最优控制方法 6-1 一般概念 6-2 最优控制中的变分法 6-3 无约束条件的泛函极值问题 6-4 有约束条件下的泛函数极值问题 6-5 变分法求解最优控制问题 6-6 极小值原理 6-7 线性二次型问题的最优控制Page:3现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory 最优控制理论是现代控制理论的核心，20世纪50年代发展起来的，已形成系统的理论。所谓最优控制系统，是在一定的具体条件下，在完成所要求的控制任务时，使系统的某种性能指标达到最优

2、。本章重点讨论了最优控制系统常用的方法：变分法、极小值原理和线性二次型优化三种方法及在典型系统设计中的应用。6-1 一般概念最优控制：在系统的状态方程和约束给定的情况下，寻找最优控制律，使 系统的性能指标达到最优。一、概述一、概述Page:4现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory6-1 一般概念一般概念2.2.初态和终态：初态和终态：,nttttR，为状态向量，xfxux 0,pftRtt t为控制向量，且在上分段连续；uu nRt为连续向量函数，连续可微fx最优控制的四个要素：最优控制的四个要素：1.1.状态方程：状态方程：3.3.容许控制容许控制 ：t指控制矢

3、量应满足的约束条件u t 控制域u 0fttS，xx目标集目标集二、问题的提出Page:5现代控制理论现代控制理论 Modern Control TheoryL L为状态控制过程中对工作品质的要为状态控制过程中对工作品质的要求求 0,dftftJtLtu tttxx一般表示一般表示:对终端状态的要求对终端状态的要求4.性能指标性能指标：6-1 一般概念一般概念三三.性能指标的类型性能指标的类型积分型性能指标积分型性能指标:0,dfttJLttttxu末值型性能指标末值型性能指标:(),ffJttxft自 由固 定Page:6现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory复

4、合型性能指标：0,dftfftJttLttttxxu四四.主要数学方法主要数学方法 解析法规划采用极小值原理，动态控制有约束采用变分法控制无约束 数值法 梯度型法6-1 一般概念Page:7现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory6-2 最优控制中的变分法 ,tttJJtJt如果对于自变量 存在一类函数对于每个函数有一 值与之对应，则变量 称为依赖于函数的泛函数，简称泛函，记作xxxx一一.泛函与变分的基本概念泛函与变分的基本概念1.泛函与变分的基本概念(1)泛函(2)2)函数的变分函数的变分 00:,Jtttttt泛函的变量变分它表示与之间的差xxxxxxxxPa

5、ge:8现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory(3)泛函的连续性：处处是是连连续续的的。在在点点则则称称有有时时，当当存存在在对对于于任任意意给给定定的的000,0,0 xxJxJxJxx (4)(4)线性泛函：线性泛函：xaJaxJ:满足满足实数实数a JJJxyxy J则称为线性泛函x6-2 6-2 最优控制中的变分法最优控制中的变分法Page:9现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory txJxtxJxtxJxJ ,的的增增量量：泛泛函函 xtxrxtxL ,的的线线性性函函数数其其中中JxtxL ,的的高高阶阶无无穷穷小小Jxt

6、xr ,JtxJxtxL 的的一一阶阶变变分分，记记为为为为泛泛函函则则称称,(5)泛函的变分6-2 6-2 最优控制中的变分法最优控制中的变分法线性主部泛函变分是泛函增量的Page:10现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory泛函变分的求法定理：定理：)10(|0 ，的的变变分分xxJJxJ性质：性质：2121.1FFFF 122121.2FFFFFF 003.,ddffttttFttF tx xd4.dddttxx6-2 6-2 最优控制中的变分法最优控制中的变分法Page:11现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory0dftLLJx

7、xttxx0(,)dfttJLttJ求x x5.例例02()dfttJttx?J120()dJt txx10dFJtxx102dx xx解解:6-2 6-2 最优控制中的变分法最优控制中的变分法Page:12现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory *Jtt在上达到极小值的必要条件：xx()0Jtx6-2 6-2 最优控制中的变分法最优控制中的变分法二、泛函的极值Page:13现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory6-3 无约束条件的泛函极值问题 给定的泛函极值问题给定的泛函极值问题一、一、ftt,0-横截条件横截条件000fTTtft

8、LLttxxxx定理：设设0*(,)min()?fttJLtJt求的x xx*()t 满足以下条件：xd()0dLLtxx-欧拉方程Page:14现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory6-3 无约束条件的泛函极值问题 00fftttt当 和给定时，和是否定还是自由，可分四种情况：xx(1)固定始端和终端固定始端和终端000,0fftttt即和给 定xxxx则横截横截条件为：00,fftttxxxxtx(t)tft0Page:15现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory6-3 无约束条件的泛函极值问题 (4)自由始端和自由终端自由始端和自

9、由终端0,00 fttxLxL(3)自由始端和固定终端自由始端和固定终端 00,ftftLtxxx横截横截条件为：横截横截条件为：(2)固定始端和自由终端固定始端和自由终端 00,0fttLtxxx则横截横截条件为：tx(t)tft0tx(t)tft0Page:16现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory6-3 无约束条件的泛函极值问题 (4)自由始端和自由终端自由始端和自由终端0,00 fttxLxL横截横截条件为：tx(t)tft0Page:17现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory例例 已知已知解：解：22,00 xxminJ x

10、t 22,xxxxF xxF2 d2dtFxx0 xx tctctxsincos21*12:0,2cc由 边 界 条 件 2220dJtttxxx求求ttxsin2)(*6-3 无约束条件的泛函极值问题 Page:18现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory 6-4 6-4 有约束条件下的泛函数极值问题有约束条件下的泛函数极值问题0.ftt一 起始时刻 和终端时刻 固定的泛函极值问题定理：设 0min,dfttJgttxx x.ts0,txxf min Jt满足在约束条件下，使取极值的必要条件，满足：xxd0dLtLxx欧拉方程欧拉方程Page:19现代控制理论现代

11、控制理论 Modern Control Theory000fTTtftLttLxxxx横截条件横截条件,0TLtgttft其 中x xx xx x待待定定拉拉格格朗朗日日等等式式向向量量nR 例已知:2201d2Jutt txtx21 tutx 21)0(1 x0)2(2 x1)0(2 x0)2(1 x).(min*tuJ的的求求使使 6-4 6-4 有约束条件下的泛函数极值问题有约束条件下的泛函数极值问题Page:20现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory ttt21 uxxxuGFLT22121221 uxxxu 22211221 111d0dLLxtx设设解

12、解:6-4 6-4 有约束条件下的泛函数极值问题有约束条件下的泛函数极值问题则：则：1222d0dLLxtx Page:21现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory2d0dLLuutu 11a 12 212ata 21atau 21aa、为常数为常数 6-4 6-4 有约束条件下的泛函数极值问题有约束条件下的泛函数极值问题解得：解得：这里这里2dxu t由由 3221221atatatx 得：得：Page:22现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory12dxxt 43223112161atatatatx 31 a272 a13 a14 a

13、由边界条件：由边界条件：6-4 6-4 有约束条件下的泛函数极值问题有约束条件下的泛函数极值问题由由得：得：1472123*1 ttttx 127232*2 tttx 273*3 ttx即：即：Page:23现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory6-5 变分法求解最优控制问题设状态方程,tt xfx u 00txx 0,dftfftJttLttxx u其中,npRRxu，求maxmin*Ju构造构造Harmilton函数：函数：,THtLttftx ux ux u式中：式中：nR拉格朗日乘子分量拉格朗日乘子分量Page:24现代控制理论现代控制理论 Modern

14、Control Theory6-5 变分法求解最优控制问题下面分两种情况进行讨论:对于最优控制问题对于最优控制问题 0min,d.ftftJtLttstxx u 00,ttt xf x uxxft一、末端时刻一、末端时刻固定固定,ftx任意任意(终端自由终端自由)求最优解的必要条件求最优解的必要条件.下面分两种情况进行讨论:Page:25现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory定理定理:对于最优控制问题对于最优控制问题 0min,d.ftftJtLttstxx u 00,ttt xf x uxxft一、末端时刻一、末端时刻固定固定,ftx任意任意(终端自由终端自由)

15、最优解的必要条件最优解的必要条件:正则方程满足1.ttx6-5 变分法求解最优控制问题 t HxnR()tHxPage:26现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory6-5 变分法求解最优控制问题,TttttHx uL x ufx u其中：Harmilton函数函数 00txx横截条件横截条件 ffftttxx3.3.极值条件0HuPage:27现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory6-5 变分法求解最优控制问题证明证明:构造增广泛函0,dftTaftJtLtttxxufxux0,dftTfttHttxx ux0fftTTatttHJxx

16、xxd0TTTTHHt uxxuPage:28现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory000ddffftttTTTTtttt xxxx000ddffftttTTTtttx tt xx0dfftTTttt xx0ffTTtatttHJxxxx6-5 变分法求解最优控制问题d0TTHHtuxuPage:29现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory Hx xH 0 uH ffftxtxt 6-5 变分法求解最优控制问题Page:30现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory例设系统试求使 tux 6-5 变分法求解最优

17、控制问题00,fctt 022*11d22ftftJctutut为极小时x其中 00 xtx 给定，求maxmin*Ju解：解：uufLH 2210 uuH uxu u Page:31现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory6-5 变分法求解最优控制问题0 xH c fffftcxtxtxt*00 xtx fftcxtt*ftcxu*auttx attcxxauttxf 0*000Page:32现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory6-5 变分法求解最优控制问题 0*0ttcxxaf ttcxttcxxtxff*0*0*ftt ffff

18、ttcxttcxxtx*0*0*00*1ttcxtxff 00*1ttccxtuf 当Page:33现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theoryft二、末端时刻二、末端时刻固定固定,ftx受约束受约束定理：对于min 0,dftftJtLttxx u（终端受约束）（终端受约束）.t.s 0,.2,.100 ffttxxtxtuxftx 其中,()nprRRRrnxuM正则方程 Ht xnR1.满足 ttx()Ht x,THtLtttx ux ufx u其中：6-5 变分法求解最优控制问题Page:34现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory2

19、.边界条件：00txx,0ffttx横截条件：fTfftxtxt 3.极值条件：0uH6-5 变分法求解最优控制问题Page:35现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory6-6 极小值原理 例一阶系统 ,01,1x tx tu txu t 其中 10,du tJx tt试求使有极小值。极小值原理由前苏联学者庞德里亚金于极小值原理由前苏联学者庞德里亚金于19561956年提出，它年提出，它由变分法引申而来。由变分法引申而来。ft定理：设定常系统,ft xx u 00txx 0,dftfftJttLu ttxx u t 有界闭集（容许控制域）只要求：固定时，求的必要条件

20、：*minuJPage:36现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory1.正则方程正则方程,HH xx其中其中,THutLu tt fu txxx定理：设定常系统tuxfx,00txx 0,dftfftJttLttxx u u t 有界闭集（容许控制域）ft只要求：固定时，求的必要条件：*minuJ6-6 极小值原理 Page:37现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory2.横截条件横截条件ffftttxx3.极小值条件极小值条件 *,min,u tHttutHttu txx 00txx边界条件边界条件6-6 极小值原理 已知系统,05,0

21、.5()1xxu xu t *min,()uttJx求：10dJx tu tt例Page:38现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory解：线性定常系统，固定，自由，受约束ftftxu uxuxuxH11 5.01*tu116-6 极小值原理 由协态方程 1xHt e1ttc 11e10c ec 1e1tt使Hmin得：得：Page:39现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory6-6 极小值原理 5.01*tu00.307t 1307.0 t 5.01txtxtx 00.307t 1307.0 t 12e1e0.5ttcx tc00.307

22、t 1307.0 t解得：Page:40现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory由由当当 求出求出 时时 的初态的初态 50 x41c*14e12txt 00.307t 1307.0 t tx307.0st44.6307.0 x37.42c*4e14.37e0.5ttx00.307t 1307.0 t6-6 极小值原理Page:41现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory6-7 线性二次型问题的最优控制一一.问题的提出问题的提出设系统设系统 tttttttt xAxBuyCx其中其中 ,npqtRtRtRxuy mintJ求：u 011d

23、22ftTTTfftJtttttttxFxxQxuRuTrrTnnTnnRRRQQQFFF ,0,0,0其中Page:42现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory6-7 线性二次型问题的最优控制 011d22ftTTTfftJtttttttxFxxQxuRu二次型指标中各项的物理含义：二次型指标中各项的物理含义：12TttxQx表示对过程的要求，对每个状态分量的要求由Q阵来控制(0)Q 12TttuRu表示对控制能力的要求，即在整个控制过程中，消耗能量最少12TffttxFx表示对终点状态的要求，对每个状态分量的要求由F阵来控制)0(R)0(FPage:43现代控制

24、理论现代控制理论 Modern Control Theory6-7 线性二次型问题的最优控制 线性二次型最优控制问题指：线性系统，性能指标为状态变量和控制变量的二次型函数的积分及二次型末值项状态调节器：状态调节器：011d22ftTTTfftJtttttttxFxxQxuRu输出调节器：输出调节器：011d22ftTTTfftJtttttttyFyyQyuRu输出跟踪调节器：输出跟踪调节器：011d22ftTTTfftJttttttteFeeQeuRuPage:44现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory二二.有限时间时变状态调节器有限时间时变状态调节器(tf 固定

25、固定)设线性时变系统状态空间描述为：设线性时变系统状态空间描述为：00ttttttttt xAxBuyCxxx,n p q式中分别为维变量x u y性能泛函性能泛函 011d22ftTTTfftJtttttttxFxxQxuRu式中式中 tn ntppn n维维维QRF 000ttQRFPage:45现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory*则最优控制存在u *1Tttttt uRBPx最优性能指标 *00012TJtttxPx*minuJ 设 取值不受限制，寻求使u其中满足下列黎卡提矩阵微分方程 tP 1TTttttttttttPPAAPPBR BPQ ftPF边

26、界条件最优轨迹满足：*tx 1Tttttttt xABRBPxPage:46现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory三.无限时间最优状态调节器（）系统 00tttttt xAxBuxx常数阵A，B要求（A，B）能控，*t 无 约 束u常值阵Q，R 01d2TTJtttx QxuRu0,0TTQQRR寻求最优控制*mintJ 使utf+Page:47现代控制理论现代控制理论 Modern Control Theory最优性能指标：定理：存在，且唯一。*tu *1Ttt uR B Px *1002TJ xPx其中其中为对称正定常值阵，且满足如下黎卡提矩阵代数方程为对称正定常值阵，且满足如下黎卡提矩阵代数方程n nP10TTPAA PPBR B PQ