无穷小量与无穷大量(15)课件.ppt

1、1一、无穷小量v无穷小量的定义讨论 很小很小的数是否是无穷小量？0是否为无穷小量？提示 无穷小量是这样的函数 在xx0(或x)的过程中 极限为零 很小很小的数 作为常数函数在自变量的任何变化过程中 其极限就是这个常数本身 0000().lim()0,xxfUxf xfxx设 在某内有定义若则称 为当时的无穷小量2特别,任何无穷小量也必都是有界量.2,sin1 cos0,111 sin,xxxxxxxxxx2例如,与都是当时的无穷小量是当时的无穷小量而为时的无穷小量.00(),U xgxxo若函数g在某内有界则称 为当时的有界量1sin,sin0 xxxx如是当时的有界量是当时的有界量3 证明

2、设f及g是当xx0时的两个无穷小量 则 0 10 当0|xx0|1 时 有|f(x)|20 当0|xx0|2 时 有|g(x)|取 min1 2 则当0|xx0|时 有 这说明fg 也是当xx0时的无穷小|fg|f|g|2 定理1 有限个无穷小量(相同类型的)的和也是无穷小 仅就两个xx0时的无穷小量情形证明 举例:当x0时 x与sin x都是无穷小 所以xsin x也是当x0时的无穷小 无穷小量的性质4 设函数u在x0的某一去心邻域x|0|xx0|1内有界 即M0 使当0|xx0|1时 有|u|M 又设g是当xx0时的无穷小量 即0 存在20 使当0|xx0|2时 有|g|取min1 2 则

3、当0|xx0|时 有|ug|u|g|M 这说明ug 也是当xx0时的无穷小量 证明 定理2 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小 定理1 有限个无穷小量的和也是无穷小 5举例:当 x时 x1是无穷小 arctan x 是有界函数 所以x1arctan x 也是无穷小 推论2 有限个无穷小量的乘积也是无穷小量 定理2 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量 定理1 有限个无穷小量的和也是无穷小量 推论1 常数与无穷小量的乘积是无穷小量 6三、无穷小量阶的比较 观察两个无穷小比值的极限v观察与比较03lim20 xxx 203limxxx 1sinlim0 xxx 两个无穷小比值的极限的各种不同情况 反映

4、了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度 在x0的过程中 x2比3x趋于零的速度快些 反过来3x比x2趋于零的速度慢些 而sin x与x趋于零的速度相仿 7三、无穷小量阶的比较 无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢。为此，我们考察两个无穷小量的比，以便对它们的收敛速度作出判断。80,xxfg设当时与 均为无穷小量00()lim0,()xxf xxxfgg x若则高阶无称当时 为 的穷小量,gf或称 为 的低阶无穷小量,0()()().f xo g xxx记作 00,()(1)().fxxf xoxx特别当时的无穷小量记作 92,0,()(1)(0).nkxx xxnxo

5、x例如 当时为正整数 等都是无穷小量,因而有1()(0).kkxo xx而且它们中后一个为前一个的高阶无穷小量,即有 001 cos,limlimtan0.sin2cos(sin)(0).xxxxxxox x又如由于故有 1-100002.,()(),()KLUxfxKLg xfgxx若 存 在 正 数和使 得 在 某上 有 则 称与为同 阶 无当时 的穷 小 量.0()lim0,()xxf xcg xfg特别当 时与 必为同阶无穷小量 1122020cos.cos1lim,2cos0 xxxxxxxxx例如,当时,1-与 皆为无穷小量1-由于 所以1-与 为当时的同阶无穷小量.10(2sin

6、)12sin31(2sin)0 xxxxxxxxx又如,当时,与都是无穷小量,由于它们之比的绝对值满足 1所以 与为时的同阶无穷小量12000,(),fgf xL xUxg xf xO g xxx 若无穷小量 与 满足关系式()()则记作()=()().000(),1f xUxf xOxx特别,若()在内有界 则记为 ()=()().20 xO xx例如,1-cos()(),1(2sin)0 xO xxx()(),sin1x Ox =()()00f xo g xxxf xO g xxx甚至当()=()()时,也有()=()().1300f xo g xxxf xO g xxx 注 这里的等式(

7、)=()()与()=()()等,与通常等式的含义是不同的.这里等式左边是一个函数,右边是一个函数类,而中间等号的含义是属于.cos(sin)(0),(1)xox x例如 1-0(sin)lim0,sin(1)cosxf xoxfxx()其中 等式表示函数1-属于此函数类.14000()lim1,.()()()().xxf xfgxxg xf xg x xx3.若则称 与 是当时等价无的穷量记作小0sin,lim1,sin(0).xxxx xx例如由于故有0arctanlim1,arctan(0).xxxx xx又由于故有15v阶的比较举例所 以 当x 0 时 3x2是 比x高 阶 的 无 穷

8、小 即3x2=o(x)(x0)所以当x3时 x2-9与x-3是同阶无穷小 所以当 n时 n1是比21n低阶的无穷小 例2 例例 3 因为639lim23xxx 例3 例例 1 因为03lim20 xxx 例1 因为211limnnn 16所以当x0时 1-cos x 是关于x 的二阶无穷小 所以当x0时 sin x 与x是等价无穷小 即sin xx(x0)例例 4 因为21cos1lim20 xxx 例4 例例 5 因为1sinlim0 xxx 例5 v阶的比较举例17以上讨论了两个无穷小量阶的比较.但要指出,并不是任何两个无穷小量都可以进行阶的比较.222xxxxxxxxxxxxxxx例如,

9、当0时,1sin和 都是无穷小量,但它们的比1sin11 sin或11sinsin当0时都不是有界量,所以这两个无穷小量不能进行阶的比较181.什么是传统机械按键设计？传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的开关按键来实现功能的一种设计方式。传统机械按键设计要点：1.合理的选择按键的类型，尽量选择平头类的按键，以防按键下陷。2.开关按键和塑胶按键设计间隙建议留0.050.1mm，以防按键死键。3.要考虑成型工艺，合理计算累积公差，以防按键手感不良。传统机械按键结构层图：按键开关键PCBA003.12,(),f g hUx定理设函数在内有定义 且有0()()().f xg x xx0

10、0()lim()(),lim()();xxxxif x h xAg x h xA若则00()()()lim,lim.()()xxxxh xh xiiBBf xg x若则000()lim()()limlim()()1()xxxxxxg xig x h xf x h xAAf x()证0000()()()()()()limlimlimlim()()()()()xxxxxxxxh xh xf xh xf xiiBg xf xg xf xg x20定理的意义:求两个无穷小比值的极限时 分子及分母都可用等价无穷小来代替 因此 如果用来代替的无穷小选取得适当 则可使计算简化.此定理显示了等价无穷小量在求极

11、限问题中的作用210arctanlim.sin4xxx例1 求arctan(0),sin44(0)xx xxx x解 由于00arctan13.12limlim.sin444xxxxxx故由定理得2230tansinlimsinxxxx例2 利用等价无穷小量代换求极限 sintansin(1 cos),cosxxxxx解 由于而233sin(0),1 cos(0),sin(0),2xxx xxxxxx23300tansin112limlimsincos2xxxxxxxxx故有23 解 当x0时 tan 2x2x sin 5x5x 所以 解 当x0时sin xx 无穷小x3+3x与它本身显然是等

12、价的 所以 例3 例例 求xxx5sin2tanlim0 xxx5sin2tanlim05252lim0 xxx 例4 例例 求xxxx3sinlim30 xxx5sin2tanlim05252lim0 xxxxxx5sin2tanlim05252lim0 xxx 3131lim3lim3sinlim202030 xxxxxxxxx3131lim3lim3sinlim202030 xxxxxxxxx3131lim3lim3sinlim202030 xxxxxxxxx3131lim3lim3sinlim202030 xxxxxxxxx 24注 在利用等价无穷小量代换求极限时,应注意:只有对所求极

13、限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代,而对极限式中相加或相减部分则不能随意替代.tan(0),sin(0),xx xxx x如例2中,若因有3300tansinlimlim0,sinsinxxxxxxxx而推出.则得到的结果是错误的25定义200().fUx设函数 在某内有定义0,0,G若对使得当0000(;)()(),xUxUxf xG时有 0,fxx则称函数 当时有非正常极限0lim().xxf x 记作()()(),f xGf xGf xG 若换成或0,fxx则分别称 当时有非正常极限+或00lim(),lim().xxxxf xf x 记作nfxan 关于函数 关于在自变量

14、的其它不同趋向的非正常极限的定义,以及数列当时的非正常极限的定义,都可类似给出,如lim()0,0,()xf xGMxMf xG当时 有lim0,0,nnxaGNnNaG 当时26讨论 无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大?提示 )(lim0 xfxxG0 d 0 当0|xx0|d 时有|f(x)|G 三、无穷大量v无穷大的定义,(),.对于自变量的某种趋向(或n时),所有以为非正常极限的函数 包括数列 都称为无穷大量 简称无穷大27201lim.xx 例3 证明证2110,GGxxG要使只要1G因此令021(0;),.xUGx 则对都有201limxx 这就证明了:1,limx

15、xaa 例4 证明 当时0(1),GG证 不妨设,log,log,xaGxaGMaG要使由对数函数的严格递增性只要因此令,.xxMaG 则对都有limxxa 这就证明了,1,lim0;xxaa顺便指出当时01lim0,limxxxxaaa 当时有28注1 无穷大量不是很大的数,而是具有非正常极限的函数.210 xx如由例3知是当时的无穷大量,(1)xaax 由例4知是当时的无穷大量.0,().fxxfUx00注2 若 为时的无穷大量 则易见 为上的无界函数但无界函数却不一定是无穷大量.()sin()0,2,22()(2)sin(2)(2).222f xxxUGGxnnf xnnnG如在上是无界

16、的,因对取这里正整数则有lim(),2(1,2,),()lim()0nnxxf xxnnxnf x 但因若取数列则而29说明:如果当xx0(或x)时 对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大 那么称函数f(x)为xx0(或x)时的无穷大 记为 当xx0(或x)时为无穷大的函数f(x)按函数极限定义来说 极限是不存在的 但为了便于叙述函数的这一性态 我们也说“函数的极限是无穷大”.v无穷大量的另一定义)(lim0 xfxx(或)(limxfx)30v定理定理3.13(3.13(无穷大与无穷小之间的关系无穷大与无穷小之间的关系)0000003.13()().1,1,ifUxfxxxxfiigxxx

17、xg定理设 在内有定义且不等于零若 为时的无穷小量 则为时的无穷大量.()若 为时的无穷大量 则为时的无穷小量.00()lim()0,xxifxxf x由题设 为时的无穷小量,故证01,(),Mxxf xM从而对任给正数,必存在正数,当0时 有00()fUx又由于在内不等于零,001(),()xUxMf x故当时 有01lim()xxf x 因此ii可类似证明()31 (1),无穷小量;作业 小结 (2),无穷大量;(3),无穷小量的性质;(4),无穷小量的阶的比较;(5),等价无穷小量的定理.P66:1(1)(3)(5),5(1)(2),6(1)32四 曲线的渐近线22211.,xyxyab

18、ab2作为函数极限的一个应用,我们讨论曲线的渐近线问题.由平面解析几何知道,双曲线有两条渐近线一般地 曲线的渐近线定义如下:定义4 若曲线C上的动点P沿着曲线无限地远离原点时,点P与某定直线L的距离趋于0,则称直线L为曲线C的渐近线.0(),yf xykxbxx下面我们讨论曲线在什么条件下存在斜渐近线与垂直渐近线以及怎样求出渐近线方程.33()yf xPMNLCOykxb().()yf xykxbP现假设曲线有斜渐近线如下图曲线上动点 到渐近线的距离为21cos()().1PNPMf xkxbk,0,xPN 按渐近线的定义,当时即有lim()()0,xf xkxblim().xf xkxb或(

19、)1limlim()00,xxf xkf xkxbxx又由()lim.xf xkx得到(3)(4)34(),0(),()yf xykxbkbkbPNxykxbyf x 由上面的讨论可知,若曲线有斜渐近线则常数 与 可继由(4)式和(3)式来确定;反之,若由(4)和(3)式求得 与则可知从而为曲线的渐近线.0000lim()(lim(),lim(),(),xxxxxxff xf xf xy f xxxx 若函数 满足或则按渐近线的定义可知,曲线=有垂直于 轴的渐近线称为垂直渐近线.lim().xf xkxb()lim.xf xkx3532()23xf xxx例 求曲线=的渐近线.332()1(),3f xxxxxxx 解 由(4)式1.k 得32()2(),23xf xkxxxxx 再由(3)式2.b 得2.y x从而求得此曲线的斜渐近线方程为=331(),lim(),lim(),(3)(1)xxxf xf xf xxx 又由=易见31.xx 所以此曲线有垂直渐近线和36