无穷小与无穷大(22)课件.ppt

1、第四节 无穷小、无穷大一.无穷小及其运算性质二.无穷大请点击请点击11.无穷小的定义2.函数的极限与无穷小的关系 3.无穷小的运算法则请点击请点击21.无穷小的定义 ,)0(0 ,0使当若X ,)|(|0 0时Xxxx|)(|xf0,()()f xxxx成立则称为当时的无穷小。3 .,0 0,lim )1(220是一个无穷小量时 xxxx .sin ,0 0,sinlim )2(0是一个无穷小量时xxxx .1 ,0,1lim )3(是一个无穷小量时xxxx .cos ,2 0,coslim )4(2是一个无穷小量时xxxx 0,0 lim )5(在任何一个极限过程中,常值函数 y=0 均为无

2、穷小.简言之,在某极限过程中,以 0 为极限的函数就称为该极限过程中的一个无穷小.例例1 14 无穷小无穷小 很小的数很小的数 ！零是可以作为无穷小的唯一的常数零是可以作为无穷小的唯一的常数。以零为极限的数列 称为 时的无穷小。nxNotesNotesn 52.函数极限与无穷小的关系 分析 ,|0 ,0 ,)(lim 00时当则若xxaxfxx ,|0)(|)(|axfaxf .)(,0是一个无穷小量时即当axfxx ,)(0)(,)()(0且则令xxxaxfx .)()()(0 xxxaxf反之亦然.由以上的分析,你可得出 什么结论?6 由此可看出,寻找函数极限运算法则可归结为寻找无穷小的运

3、算法则.)(lim)(0axfxxx,)()(xaxf .)(,(0)(,0 xxxx其中7 纸上得来终觉浅，纸上得来终觉浅，绝知此事须躬行！绝知此事须躬行！8 同一个极限过程中的有限个无穷小之和仍是一个无穷小.同一个极限过程中的有限个无穷小之积仍为无穷小.9常数与无穷小之积仍为无穷小.在某极限过程中,以极限不为零的函数除除无穷小所得到商仍为一个无穷小.在某一极限过程中,无穷小 与有界函数的乘积仍是无穷小.10证明：在某极限过程中,两个无穷小之 和仍是一个无穷小.,0则时的两个无穷小量为设xx ,0,2|,|0 ,0101时当xx,2|,|0 ,0202时当xx ,|0 ,min 021有时则

4、当取xx ,22|.,0是一个无穷小量时即 xx证11 证明:在某一极限过程中,无穷小与 有界函数的乘积仍是一个无穷小.,0 0 ,)(10和即时的有界量是设Mxxxf .|)(|,),U(10Mxfxx时使当 ,0 ,0 ,)(0)(20使当则又设xxx .|)(|,|020Mxxx时 ,|0 ,min 021时则当令xxMMxxfxxf|)(|)(|)()(|.)()(,0为无穷小量时故当xxfxx证120sin1limxxx证明)(,01 lim 无穷小量因为xx)(,),(1|sin|有界量xx .0sin1lim xxx故有界函数与无穷小的乘积！有界函数与无穷小的乘积！证例例2 21

5、3证明：在某极限过程中以极限不为零的函数 除无穷小所得到商仍为一个无穷小.)(0)(;0 ,)(lim 00 xxxaaxfxx设 ,|0 ,0 ,2|000有时当则取xxa ,2|)(|aaxf ,),U(|2 )(1 2|)(|00 xxaxfaxfa故 .)(1 ,0有界时即xfxx .0)()(lim 0 xfxxx故证14(i)一般说来,有界函数的倒数不一定有界.例如,f(x)=x,x(0,1).(ii)我们没有涉及两个无穷小商的极限的 情形,因为它的情形较复杂,将在以后专 门讨论.：.,3 ,0 ,223223的情况时可观察例如xxxxxxx 151.什么是传统机械按键设计？传统的

6、机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的开关按键来实现功能的一种设计方式。传统机械按键设计要点：1.合理的选择按键的类型，尽量选择平头类的按键，以防按键下陷。2.开关按键和塑胶按键设计间隙建议留0.050.1mm，以防按键死键。3.要考虑成型工艺，合理计算累积公差，以防按键手感不良。传统机械按键结构层图：按键开关键PCBA.4lim 230 xxx求 )(,0lim 30无穷小量由于xx )(,4)4(lim20极限不为零xx .04lim 230 xxx故例例3 3解17请点击请点击18 ,|,0 ,0有时当若XxXMMxf|)(|,)(,记为时的无穷大量为则称成立xxf.)()()(

7、limxxfxfx或 .)(lim ,)(称为正无穷大量则换成xfMxfx .)(lim ,)(称为负穷大量则换成xfMxfx19,(i)2xy,ln (iii)xy.lim2xx,lnlim0 xx.lnlimxx,tan (iv)xy,tanlim2xx.tanlim2xx,(ii)3xy.lim3xx(iii),(iv)自己画画图会更清楚.例例4 420?)2(,是否为无穷大量时当nnxn有时则当取 ,log 2NnMNMn|)2(|.)2(limlim nnnnx故 ,0M 2|)2(|Mxnnn要 ,log2Mn 无穷大是按绝对值定义的！例例5 5解21无穷大是否一定是无界函数?在某

8、极限过程中,无界函数是否一定是无穷大?.2)1(,0 ,2 ,0 ,4 ,0 ,2 ,0 :,nnxnxnnn例如 0 ,的项使总有等于时当取多么大不论NnN|Mxn .,不是无穷大量时故当不成立nxn但该数列是无界的.例例6 622Q Q：当 x 时,函数 sinx、cosx,是否为无穷大？A A：因为sinx、cosx 是有界函数,所以在任何极限过程中它们都不是无穷大！23(无穷大的倒数为无穷小,x 0)(无穷小的倒数为无穷大,x 0)则 .0 ),(,1)(xxxxf且设.01lim )1(xx.1lim )2(0 xx例例7 724在某一极限过程中 请自己根据定义自已进行证明.(),f

9、 x若是一个无穷大1 .()f x则为无穷小()()0,f xf x 若是一个无穷小且1 .()f x则为无穷大25,)(lim xf若无穷大一定是同一极限过程中的无界函数.但反之不真！但反之不真！.|)(|lim xf则26在某极限过程中,两个无穷大之积仍是一个无穷大.在某极限过程中,无穷大与有界函数之和仍为无穷大.27,0 ,0 ,0 :nnyx ,8 ,6,4 ,2 :nnyx ,)1(,4 ,3 2,1 :nxnn ,)1(,4 ,3 2,1 :1nynn此时时显然 .,nnyxn两个无穷大的和是否仍为无穷大?考察考察例例8 828有界函数与无穷大的乘积是否一定为无穷大？不着急,看个例题:,)()(1xxxf 1,1|)(|,)1|(2xxgxx时不妨设当 .)(011)()(21xxxxxgxf而 ,)()(32xxxf .)(1)()(232xxxxxgxf例例9 929有界函数与无穷大的乘积是否一定为无穷大？不着急,看个例题:,)()(1xxxf 1,1|)(|,)1|(2xxgxx时不妨设当 .)(011)()(21xxxxxgxf而 ,)()(32xxxf .)(1)()(232xxxxxgxf例例9 9不一定再是无穷大！30在某个极限过程中,无穷大一定是无界函数,但无界函数不一定是无穷大.两个无穷大的和不一定是无穷大.无穷大与有界函数之积不一定是无穷大.31