无穷小量与无穷大量精选课件.ppt

1、2.3 2.3 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量一一、无穷小量的概念无穷小量的概念二、无穷小量的性质二、无穷小量的性质三、无穷小量的比较三、无穷小量的比较四、无穷大量四、无穷大量2022-12-111、定义、定义.0)(lim,0)(lim,0)(lim0)(lim,0)(lim,0)(lim,0lim000 xfxfxfxfxfxfxxxxxxxxxxnn极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小量无穷小量(简称简称无穷小无穷小).一、无穷小量的概念一、无穷小量的概念2022-12-11注意注意:o这里指极限，包括数列极限和六种形式的这里指极限，包括数列极限和六种形式的 函数极限；函数极

2、限；o无穷小量是相对某个极限过程而言；无穷小量是相对某个极限过程而言；o无穷小量是极限为零的变量，而不是绝对无穷小量是极限为零的变量，而不是绝对值很小的数；值很小的数；o数数0可视为无穷小量，但无穷小量不一定可视为无穷小量，但无穷小量不一定是是0。2022-12-11例如例如,0sinlim0 xx.0sin时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数xx,01lim xx.1时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 xx,0)1(lim nnn.)1(时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 nnn2022-12-112、函数极限与无穷小量之间的关系、函数极限与无穷小量之间的关系定理：Axfxx)(lim0

3、的充分必要条件是函数)(xf在0 x的某个去心邻域内可以表示为常数A与无穷小量之和，即有 AxfAxfxx)()(lim0，其中为0 xx 时的无穷小量.2022-12-11证明：必要性 设Axfxx)(lim0，则对于任 意 给 定 的0，存 在0，使 得 当|00 xx时，总有|)(|Axf.即|0)(|Axf，于是0)(lim0Axfxx.记Axf)(，则 有 Axf)(，其 中0lim0 xx.2022-12-11充分性 设 Axf)(，其中0lim0 xx，则对 任 意 给 定 的0，存 在0，使 得 当|00 xx时，总有|)(|Axf.所以，Axfxx)(lim0.类似地有：Ax

4、fAxfx)()(lim 其中为x时的无穷小量.2022-12-11.更一般地：AxfAxf)()(lim 其中为自变量x的变化过程中的无穷小量.2022-12-11二、无穷小量的性质二、无穷小量的性质 定理定理1 1 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中,有限有限个无穷小的代数和仍是无穷小个无穷小的代数和仍是无穷小.证证,时时的的两两个个无无穷穷小小是是当当及及设设 x使得使得,0,0,021 NN;21 时恒有时恒有当当Nx;22 时恒有时恒有当当Nx2022-12-11,max21NNN 取取恒恒有有时时当当,Nx 22 ,0()n 注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小

5、无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，是无穷小，时时例如例如nn1,.11不不是是无无穷穷小小之之和和为为个个但但nn2022-12-1100,0,0.xxM 使 得 当时恒 有 uuMM ,.,0为无穷小为无穷小时时当当 uxx,0时的无穷小时的无穷小是当是当又设又设xx 定理定理2 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证内内有有界界，在在设设函函数数100)(xxxu.)(,0MxuM 使使得得则则2022-12-11 推论推论1 1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小小的乘积是无穷小.推论推论2 2 常数

6、与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.,1arctan,1sin,0,2xxxxx时时当当例如例如都是无穷小都是无穷小1sinlim xxx 定理定理3 3 无穷小量除以极限不为零的变量，无穷小量除以极限不为零的变量，其商仍是无穷小其商仍是无穷小.2022-12-11例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx 极限不同极限不同,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.;32趋近零的速度要

7、快得多趋近零的速度要快得多比比 xx;sin大致相同大致相同与与xx不可比不可比.,0,1 xx1sinlim0.不存在不存在观察各极限观察各极限三、无穷小的比较三、无穷小的比较2022-12-11);(,0lim)1(o记记作作高高阶阶的的无无穷穷小小是是比比就就说说如如果果1 1、定义、定义:.0,且且穷穷小小是是同同一一过过程程中中的的两两个个无无设设;),0(lim)2(是是同同阶阶的的无无穷穷小小与与就就说说如如果果 CC;,1lim 记记作作是是等等价价的的无无穷穷小小与与则则称称如如果果特特殊殊地地.),0,0(lim)3(无穷小阶的是就说如果kkCCk2022-12-11定理定

8、理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理).limlim,lim,则则存在存在且且设设证证 lim)lim(limlimlim.lim 2、等价无穷小代换、等价无穷小代换2022-12-11四、无穷大量四、无穷大量 在自变量的变化过程中绝对值无限增在自变量的变化过程中绝对值无限增大的变量称为大的变量称为无穷大无穷大.定义 如果对于任意给定的正数M(不论它多么大),总存在正数(或正数X),使得对于适合不等式00 xx(或Xx)的一切x,所对应的函数值)(xf都满足不等式 Mxf)(,则称函数)(xf当0 xx(或x)时为无穷大,记作 ).)(lim()(lim0 xfxfxxx或 2022-12

9、-11.)(lim,)(lim,)(lim)(lim,)(lim,)(lim,lim000 xfxfxfxfxfxfxxxxxxxxxxnn特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注注:0无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;0无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.2022-12-11xxy1sin1.,1sin1,0,但不是无穷大但不是无穷大是一个无界变量是一个无界变量时时当当例如例如xxyx),3,2,1,0(221)1(nnxn取取,22)(nxyn.)(,Mxynn 充充分分大大时时当当),3,2,1,0(21)2(nnxn取取,可以任意小可以任意小充分大时充分大时当当nxn nnxyn2sin2)(但但.0M 不是无穷大不是无穷大无界，无界，2022-12-11 定理定理4 4 在同一自变量变化过程中在同一自变量变化过程中,无穷无穷大的倒数为无穷小大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒恒不为零的无穷小的倒数为无穷大数为无穷大.五、无穷小与无穷大的关系五、无穷小与无穷大的关系2022-12-11