加法原理和乘法原理PPT教学课件.ppt

1、加法原理和乘法原理PPT教学课件什么是分类计数原理与分步计数原理？什么是分类计数原理与分步计数原理？分类计数原理分类计数原理:完成一件事情，有完成一件事情，有n类办法类办法,在第一类在第一类办法中有办法中有m1种不同的方法种不同的方法,在第二类办法中有在第二类办法中有m2种不种不同的方法，同的方法，在第，在第n类办法中有类办法中有mn种不同的方法种不同的方法。那么完成这件事共有。那么完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方种不同的方法。法。分步计数原理分步计数原理:完成一件事情，需要分成完成一件事情，需要分成n个步骤，个步骤，做第一步有做第一步有m1种不同的方法种不同的方法,做第二步有做第

2、二步有m2种不同的种不同的方法，方法，做第，做第n步有步有mn种不同的方法。那么完成种不同的方法。那么完成这件事共有这件事共有N=m1m2mn种不同的方法。种不同的方法。反馈练习：反馈练习：(1)设设A=a，b，c，d，e，B=x，y，z，从从A到到B共有多少个不同映射？共有多少个不同映射？(2)6个人分到个人分到3个车间，共有多少种分法？个车间，共有多少种分法？（3）7个同学争夺三个体育项目的冠军，共有个同学争夺三个体育项目的冠军，共有多少种不同的冠军获得情况？多少种不同的冠军获得情况？应用时弄清：应用时弄清：1、干什么事？、干什么事？2、如何才算完成了这件事？、如何才算完成了这件事？3、分

3、类或是分步完成、分类或是分步完成4、用加（乘）法原理、用加（乘）法原理解决问题时解决问题时例例:要从甲、乙、丙要从甲、乙、丙3 3名工人中选出名工人中选出2 2名分别名分别上日班和夜班，有多少种不同的选法？上日班和夜班，有多少种不同的选法？例例1 1：用红、黄、蓝不同颜色的旗各：用红、黄、蓝不同颜色的旗各3 3面，面，每次升一面、两面、三面在某一旗杆上纵每次升一面、两面、三面在某一旗杆上纵向排列，共可以组成多少种不同的信号？向排列，共可以组成多少种不同的信号？先分类，再在每一类中分类或分步先分类，再在每一类中分类或分步例例2 2：某艺术组有：某艺术组有9 9人，每人至少会钢琴和小号中人，每人至

4、少会钢琴和小号中的一种乐器，其中的一种乐器，其中7 7人会钢琴，人会钢琴，3 3人会小号，从中人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各选出会钢琴与会小号的各1 1人，有多少种不同的人，有多少种不同的选法？选法？第一类：多面手入选，另一人只需从其他第一类：多面手入选，另一人只需从其他8 8人中任选一人中任选一个，故这类选法共有个，故这类选法共有8 8种。种。第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从6 6个只会钢个只会钢琴的人中选出，会小号的琴的人中选出，会小号的1 1人也只能从只会小号的人也只能从只会小号的2 2人中人中选出，故这类选法共有选出，故这类选法共有6

5、62=122=12种，因此有种，因此有N=8+6N=8+62=202=20种。种。故共有故共有2020种不同的选法。种不同的选法。解：由题意可知，在艺术组解：由题意可知，在艺术组9人中，有且只有一人既人中，有且只有一人既会钢琴又会小号（把该人称为会钢琴又会小号（把该人称为“多面手多面手”），只会钢），只会钢琴的有琴的有6人，只会小号的有人，只会小号的有2人，把会钢琴、小号各人，把会钢琴、小号各1人的选法分为两类：人的选法分为两类：例例3：用：用0，1，2，3，4，5这六个数字，这六个数字，(1)可以组成多少个数字不重复的三位数？可以组成多少个数字不重复的三位数？(2)可以组成多少个数字允许重复

6、的三位数？可以组成多少个数字允许重复的三位数？(3)可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？(4)可以组成多少个数字不重复的小于可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？的自然数？(5)可以组成多少个大于可以组成多少个大于3000，小于，小于5421数字不重复数字不重复的的四位数？四位数？例例4.4.如图一如图一,要给要给,四块区域分别四块区域分别涂上五种颜色中的某一种涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使允许同一种颜色使用多次用多次,但相邻区域必须涂不同颜色但相邻区域必须涂不同颜色,则不同则不同涂色方法种数为涂色方法种数为()()A.1

7、80 B.160 C.96 D.60 A.180 B.160 C.96 D.60图一图一图二图二图三图三例例5.平面上直线平面上直线L上的三个点上的三个点A，B，C及及L外一点外一点D，过这四点中的两点连直线，可连得多少条不，过这四点中的两点连直线，可连得多少条不同的直线？同的直线？变式：变式：1.在在1到到20共共20个整数中取两个数相加，个整数中取两个数相加，使其和为偶数的不同取法共有多少种？使其和为偶数的不同取法共有多少种？2.在在1到到20共共20个整数中取两个数相加，使个整数中取两个数相加，使其和大于其和大于20的不同取法共有多少种？的不同取法共有多少种？解决一个较复杂的问题，可能要

8、综合分类与分步，解决一个较复杂的问题，可能要综合分类与分步，一般是先分类，再在每一类中考虑分类与分步一般是先分类，再在每一类中考虑分类与分步小结：小结：1 1、较复杂的分步问题，后面的步骤可能要、较复杂的分步问题，后面的步骤可能要受前面步骤的制约受前面步骤的制约2 2、解决一个较复杂的问题，可能要综合、解决一个较复杂的问题，可能要综合分类与分步，一般是先分类，再在每一分类与分步，一般是先分类，再在每一类中考虑分类与分步类中考虑分类与分步3 3、对于有、对于有“特殊元素特殊元素”的问题，分类与分的问题，分类与分步时一般可从特殊元素出发考虑，即步时一般可从特殊元素出发考虑，即“特特殊优先原则殊优先

9、原则”用用0，1，2，9可以组成多少个可以组成多少个8位号码；位号码；用用0，1，2，9可以组成多少个有重复数字可以组成多少个有重复数字的的4位整数；位整数；用用0 0，1 1，2 2，9 9可以组成多少个无重复数字可以组成多少个无重复数字的的4 4位整数；位整数；用用0，1，2，9可以组成多少个可以组成多少个8位整数；位整数；1、4种不同的颜色涂在如图所示的种不同的颜色涂在如图所示的A、B、C、D四个区域四个区域内且相邻区域颜色不同的涂法有多少种？内且相邻区域颜色不同的涂法有多少种？ADCB3.若若1x4,1y5,以有序整数对以有序整数对(x,y)为坐标的点有多少个？为坐标的点有多少个？2.

10、若若x,yN+,且且x+y6,则有序自然数对则有序自然数对(x,y)有多少个？有多少个？练习2：棱锥、圆锥的体积复习：1、等底面积等高的两个柱体体积相等。2、V柱体Sh V圆柱r2 h 3、柱体体积公式的推导：柱体体积公式的推导：等底面积等高的几个柱体被平行于平面的平面所截截面面积始终相等体积相等V长方体abcV柱体Sh V圆柱r2 h问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下 锥体体积是否具有相似的结论？锥体体积是否具有相似的结论？定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。h1S1h1S1hShS取任意两个锥体，它们的底面积为S，高都是h平行于平面

11、的任一平面去截截面面积始终相等两个锥体体积相等定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。h1S1h1S1hShShhSShhSS22122211，SSSS21SS21证明：取任意两个锥体，设它们的底面积为S，高都是h。把这两个锥体放在同一个平面上，这是它们的顶点都在和平面平行的同一个平面内，用平行于平面的任一平面去截它们，截面分别与底面相似，设截面和顶点的距离是h1，截面面积分别是S1、S2，那么 根据祖搄原理，这两个锥体的体积相等。与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。ABCACB与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。ABCACBBCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACB

12、ABCABCABCACBABCABCABCACBABCA与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。BCABCACBABCA与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShShABCA31CB把三棱锥1以ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱柱。定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShSh31ABCACB连接BC,然后把这个三棱柱分割成

13、三个三棱锥。就是三棱锥1 和另两个三棱 锥2、3。23定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShSh31 就是三棱锥1 和另两个三棱 锥2、3。BCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCA23定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShSh31BCAB2CACB3ABCA1三棱锥1、2的底ABA、BAB的

14、面积相等。定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShSh31CACB3ABCA1BCAB2BCAB2ABCA1BCAB2ABCA1三棱锥1、2的底ABA、BAB的面积相等，高也相等（顶点都是C）。A1BCAB2BCAB2ABCA1BCAB2ABCA1高高定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShShABCA131CACB3BCAB2三棱锥2、3的底BCB、CBC的面积相等。定理二：如果三棱锥的底面积是

15、定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShShABCA131CACB3BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2三棱锥三棱锥2 2、3 3的底的底BCBBCB、C CB BC C的面积相等。的面积相等。高也相等（顶点都是高也相等（顶点都是A A）。）。高高定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShShABCA131CACB3BCAB2V1V2V3 V三棱锥31定理二：如果三棱锥的底

16、面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShSh31定理证明：已知：三棱锥1（A1-ABC）的底面积S,高是h.求证:V三棱锥 Sh证明:把三棱锥1以ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱 柱，然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥，就是三 棱锥1和另两个三棱锥2、3。三棱锥1、2的底ABA1、B1A1B的面积相等，高也相等（顶点都是C）；三棱锥2、3的底 BCB1、C1B1C 的面积相等，高也相等 （顶点都是A1）V1V2V3 V三棱锥。V三棱柱 Sh。V三棱锥 Sh。31313131ABCACB23任意锥体的体积公式：定理

17、三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积 是S，高是h，那么它的体积是 V锥体 Sh31 推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，那么它的体积是 V圆锥 r2h31小结：定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShSh定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积 是S，高是h，那么它的体积是 V锥体 Sh推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，那么它的体积是 V圆锥 r2h31313131例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底 面BCD，侧面ABC与底面

18、所成的角为 求证：V三棱锥 SABCADcos A D B CE 证明：在平面BCD内，作DE BC，垂足为E，连接AE,DE就是AE在平面BCD上的射影。根据三垂线定理，AE BC。AED。V三棱锥 SB CD AD31 SAB C ADcos31 BC ED AD2131 BC AEcos AD213131例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底 面BCD，侧面ABC与底面所成的角为 求证：V三棱锥 SABCADcos A D B CE 问题1、ADcos有什么几何意义？F 结论：V三棱锥 SAB C d 3131例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底 面BCD，

19、侧面ABC与底面所成的角为 求证：V三棱锥 SABCADcos A D B CE 结论：V三棱锥VC-AE DVB-AE D 问题2、解答过程中的 BC AEcos AD其中 AEcos AD可表示意思？212131AEcosEDSAED EDAD 21又BE与CE都垂直平面AED，故BE、CE分别是三棱锥B-AED、C-AED的高。分析：练习1：将长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，这个三棱锥的体积是长方体体积几分之几？（请 列出三棱锥体积表达式）AB CD A CB D问题1、你能有几种 解法？问题2、如果这是一 个平行六面 体呢？或者 四棱柱呢？练习2:从一个正方体中，如图那样截去

20、四个三棱锥，得到 一个正三棱锥A-BCD，求它的体积是正方体体积的 几分之几？C D AB 问题2、如果改为求 棱长为a的正四面 体A-BCD的体积。你能有几种解法？问题1、你能有几种 解法？解一、补形，将三棱 锥补成一个正方体。解二、利用体积公式 V四面体 SBCDh31 解三、将四面体分割为 三棱锥C-ABE和三棱 锥D-ABEE小结：1、锥体体积公式的证明体现了从整体上掌握知识的思想，形象具体地在立体几何中运用“割补”进行解题的技巧。2、三棱锥体积的证明分两步进行：、证明底面积相等、高也相等的任意两个锥体体积相等：（一个锥体的体积计算可以间接求得）、证明三棱锥的体积等于其底面积与高的积的

21、三分之一：（它充分揭示了一个三棱锥的独特性质，可根据需要重 新安排底面，这样也为点到面的距离、线到面的距离计 算提供了新的思考方法。这一点以后再学习。）3、锥体的体积计算在立体几何体积计算中，占有重要位置，它 可补成柱体又可以截成台体，它可以自换底面、自换顶点，在 计算与证明中有较大的灵活性，技巧运用得当，可使解题过程 简化，常常给人耳目一新的感觉。小结：小结：4、定理及推论 定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。定理二、如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥 Sh 定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积 是S，高是h，那么它的体积是 V锥体 Sh 推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，那么它的体积是 V圆锥 r2h313131作业：1、四面体O-ABC中，除OC外其余的棱长均为1，且OC与 平面ABC所成的角的余弦值为，求此四面体的体积。2、三棱锥P-ABC中，已知PABC，PABCa，PA,BC的 公垂线段为EF(E、F分别在PA、BC上)，且EFh，求 三棱锥的体积。