不等式关系与不等式课件PPT.pptx

1、不等式关系与不等式课件PPT长短长短轻重轻重实际生活中实际生活中:大小大小高矮高矮你能发现下列成语、谚语中反映的不等关系吗你能发现下列成语、谚语中反映的不等关系吗?1.1.雷声大，雨点小；雷声大，雨点小；2.2.捡了芝麻，丢了西瓜捡了芝麻，丢了西瓜;3.3.道高一尺，魔高一丈道高一尺，魔高一丈;4.4.三个臭皮匠，顶个诸葛亮三个臭皮匠，顶个诸葛亮.1.1.通过具体情境，感受在现实世界和日常生活通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在的大量的不等关系，会从实际问题中找中存在的大量的不等关系，会从实际问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组出不等关系，并能列出不等式与不等式组.（重点）（重

2、点）2.2.结合实例，学会依据具体问题的实际背景分析结合实例，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法问题、解决问题的方法.3.3.学会用作差法比较两个实数的大小，掌握作差学会用作差法比较两个实数的大小，掌握作差法比较大小的步骤法比较大小的步骤.(重点、难点）重点、难点）探究点探究点1 1：用不等式表示不等关系：用不等式表示不等关系在数学中，我们怎样来表示不等关系？在数学中，我们怎样来表示不等关系？提示：用不等式表示提示：用不等式表示.1.1.右图是限速右图是限速40 km/h40 km/h的路标，的路标，指示司机在前方路段行驶时，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度应使汽车的速

3、度v v不超过不超过40 km/h40 km/h，写成不等式就是：写成不等式就是：_._.40v40 km/hv40 km/h请看下面现实生活的例子请看下面现实生活的例子:【即时练习即时练习】2.2.某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f f应不少于应不少于2.52.5，蛋白质的含量蛋白质的含量p p应不少于应不少于2.32.3，写成不等式组为写成不等式组为.f2.5%f2.5%p2.3%p2.3%问题问题1 1 设点设点A A与平面与平面的距离为的距离为d d，B B为平面为平面上的上的任意一点，则任意一点，则d d|AB|AB|（填（填“”“

4、”，“”“”）A AB BB BB Bd请看下面数学中的问题请看下面数学中的问题:问题问题2 2 某种杂志原以每本某种杂志原以每本2.52.5元的价格销售，可以售出元的价格销售，可以售出8 8万本万本.据市场调查，若单价每提高据市场调查，若单价每提高0.10.1元元,销售量就可销售量就可能相应减少能相应减少2 0002 000本本.若把提价后杂志的定价设为若把提价后杂志的定价设为x x元，元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于2020万元呢？万元呢？那么不等关系那么不等关系“销售的总收入不低于销售的总收入不低于2020万元万元”可以表示为不等式可以表示为不

5、等式 x-2.5（8-0.2）x20.0.1分析分析:若杂志的定价为若杂志的定价为x x元，则销售的总收入为元，则销售的总收入为万元万元.问题问题3 3 某钢铁厂要把长度为某钢铁厂要把长度为4 000 mm4 000 mm的钢管截成的钢管截成500 mm500 mm和和600 mm600 mm两种两种.按照生产的要求，按照生产的要求，600 mm600 mm钢钢管的数量不能超过管的数量不能超过500 mm500 mm钢管的钢管的3 3倍倍.怎样写出满足怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组呢？上述所有不等关系的不等式组呢？分析分析:假设截得假设截得500 mm500 mm的钢管的钢管x x根，

6、截得根，截得600 mm600 mm的钢的钢管管y y根根.根据题意，应有如下的关系：根据题意，应有如下的关系：(1)(1)截得两种钢管的总长度不能超过截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm4 000 mm；要同时满足上述三个关系，可以用下面的不等式要同时满足上述三个关系，可以用下面的不等式组来表示：组来表示：500 x+600y4 000;3xy;x;N y.N(2)(2)截得截得600 mm600 mm钢管的数量不能超过钢管的数量不能超过500 mm500 mm钢管钢管数量的倍；数量的倍；(3)(3)截得两种钢管的数量为自然数截得两种钢管的数量为自然数.将实际的不等关系写成对应的不等

7、式时，应将实际的不等关系写成对应的不等式时，应注意实际问题中注意实际问题中关键性关键性的文字语言与数学符号间的文字语言与数学符号间的正确转换的正确转换.文字语言文字语言大于大于小于小于大于等于大于等于小于等于小于等于数学符号数学符号文字语言文字语言至多至多至少至少不少于不少于不多于不多于数学符号数学符号【提升总结提升总结】实际问题：不等关系实际问题：不等关系数学问题：不等式数学问题：不等式抽象抽象概括概括刻画刻画【提升总结提升总结】写出满足下列条件的不等式写出满足下列条件的不等式:（1 1）今天的天气预报说：明天早晨的最低温度为）今天的天气预报说：明天早晨的最低温度为7 7，明天白天的最高温度

8、为，明天白天的最高温度为13 13 7 7 t t13 13（2 2）某公路立交桥对通过车辆的）某公路立交桥对通过车辆的高度高度h“h“限高限高m”m”5mh【即时练习即时练习】如果如果ab是正数，那么是正数，那么ab；如果如果ab等于零，等于零，那么那么a=b；如果；如果ab是负数，那么是负数，那么a0，因此因此x2x x2.作差，变作差，变形，判断形，判断【变式练习变式练习】作差比较法的步骤是：作差比较法的步骤是：1.1.作差；作差；2.2.变形：配方、因式分解、通分、分母（分子）变形：配方、因式分解、通分、分母（分子）有理化等；有理化等；3.3.判断符号；判断符号；4.4.作出结论作出结

9、论【提升总结提升总结】1.1.设设M=xM=x2 2，N=x-1N=x-1，则，则M M与与N N的大小关系为的大小关系为()A AMNMNB BM=NM=NC CMN Mbab_._.性质性质2 2传递性：传递性：abab，bcbc_._.性质性质3 3可加性：可加性：abab_._.babcaca+cb+ca+cb+c性质性质4 4可乘性：可乘性：_，_._.性质性质5 5同向可加性：同向可加性：_._.性质性质6 6同向同正可乘性：同向同正可乘性：_._.性质性质7 7可乘方性：可乘方性：ab0ab0_(nN_(nN，n1).n1).性质性质8 8可开方性：可开方性：ab0ab0 (nN

10、 (nN，n2).n2).abc 0 acbcacbcabc 0 acbcacb+da+cb+dab 0c d 0 acbdacbda an nbbn nnnab【即时小测即时小测】1.1.判断判断(1)ab(1)abacac2 2bcbc2 2.(.()(2)(2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的同向不等式相加与相乘的条件是一致的.(.()(3)(3)若若ab0ab0，则，则abab .(.()11ab【解析解析】(1)(1)错误错误.当当c=0c=0时，由时，由abab推不出推不出acac2 2bcbc2 2.(2)(2)错误错误.同向不等式相加时，已知数可以为任意实数，同向不等式相加时

11、，已知数可以为任意实数，同向不等式相乘时，要求已知数是正数同向不等式相乘时，要求已知数是正数.(3)(3)正确正确.因为因为ab0ab0，所以，所以abab的两边同除以的两边同除以abab可得可得 即即 反之，反之，的两边同乘以的两边同乘以abab可得可得babb.ab.答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)11ba，11.ab11ab2.2.设设a a，b b，cRcR，且，且abab，则，则()A.acbcA.acbcB.B.C.aC.a2 2bb2 2D.aD.a3 3bb3 3【解析解析】选选D.D.若若c c0 0，则，则A A错；若错；若a0a0，b0b0，则，则B B错

12、；错；若若a=0a=0，b=-1b=-1，则，则C C错，选错，选D.D.11ab3.3.如果如果a a，b b，c c满足满足cbacba，且，且ac0acacA.abacB.c(b-a)0B.c(b-a)0C.cbC.cb2 2abab2 2D.ac(a-c)0D.ac(a-c)0【解析解析】选选C.C.由题意知由题意知c0c0a0，b-a 0b-a 0a-c0，所以所以A A一定正确；一定正确；B B一定正确；一定正确；D D一定正确；当一定正确；当b=0b=0时时C C不不正确正确.4.4.若若xyxy，abab，则，则a-xb-ya-xb-y；a+xb+ya+xb+y；axbyaxb

13、y；x-by-a.x-by-a.这四个式子中，恒成立的不等式的序号是这四个式子中，恒成立的不等式的序号是_._.【解析解析】因为因为xyxy，abab，所以，所以-b-a-b-a，所以所以a+xb+ya+xb+y；x-by-a.x-by-a.当当x=1x=1，y=-1y=-1，a=1a=1，b=-1b=-1时，时，a-x=b-y=0a-x=b-y=0，ax=ax=by=1by=1，故错误，故错误.答案：答案：5.5.若若a(60a(60，84)84)，b(28b(28，33)33)，则，则 _._.【解析解析】因为因为b(28b(28，33)33)，所以，所以 又又60a8460a0)(n0)

14、在在(0(0，+)+)上递增上递增.(7)(7)性质性质1 1，3 3是单向推导，其他是是单向推导，其他是“双向双向”推导推导.2.2.对利用不等式的性质证明不等式的说明对利用不等式的性质证明不等式的说明(1)(1)不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数数a a，b b有有a-b0a-b0abab；a-b=0a-b=0a=ba=b；a-b0a-b0ab.ab0ab0，cd0cdbcabc，求证：，求证：ababababA.B.C.D.cdcddcdc1110.a b b c c a【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，如何判断中，如何

15、判断 的大小关系？要构造出的大小关系？要构造出 的关系，需要进行什么运算？的关系，需要进行什么运算？提示：提示：在不等式在不等式cdc0b-c0证得证得.110a bc a【解析解析】1.1.选选D.D.方法一：因为方法一：因为cd0cdb0ab0对应相乘得，对应相乘得，所以所以 方法二：令方法二：令a=3a=3，b=2b=2，c=-3c=-3，d=-2d=-2，则则 排除选项排除选项A A，B B；又又 所以所以 所以选项所以选项C C错误，选项错误，选项D D正确正确.110dc 110dc ，ab0dc ，ab.dcab11cd，a3 b2d2 c3，abdc，2.2.因为因为abcab

16、c，所以，所以-c-b-c-b，所以所以a-ca-b0a-ca-b0，所以，所以 所以所以 又因为又因为b-c0b-c0，所以，所以 所以所以 110a ba c，110a b c a+，10.b c1110.a b b c c a【方法技巧方法技巧】1.1.运用不等式的性质判断真假的技巧运用不等式的性质判断真假的技巧(1)(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质其是不凭想当然随意捏造性质.(2)(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下

17、原则：一是满足题设条除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算件；二是取值要简单，便于验证计算.2.2.利用不等式的性质证明简单不等式的实质及注意点利用不等式的性质证明简单不等式的实质及注意点(1)(1)实质：利用不等式性质证明简单的不等式的实质就实质：利用不等式性质证明简单的不等式的实质就是根据性质把不等式变形是根据性质把不等式变形.(2)(2)注意点：记准、记熟不等式的性质并注意在解题注意点：记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；中灵活准确地加以应用；应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等

18、式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则不能随意构造性质与法则.【拓展延伸拓展延伸】不等式中的倒数性质不等式中的倒数性质(1)ab(1)ab，ab0ab0 (2)a0b(2)a0b0(3)ab0，0cd0cd (4)0axb(4)0axb或或axb0axbb0ab0，cd0cd0，求证：，求证：【证明证明】因为因为ab0ab0，cd0cd0，所以所以acbd0.acbd0.又因为又因为cd0cd0，所以，所以 0.0.所以所以acac bd bd 0 0，即即 所以所以 ab.dc1cd1cd1cdab0.dcab.d

19、c【补偿训练补偿训练】若若a ab b0 0，c cd d0 0，e e0 0，求证：求证：【证明证明】因为因为c cd d0 0，所以，所以-c-c-d-d0.0.又因为又因为a ab b0 0，所以，所以a-ca-cb-db-d0.0.所以所以(a-c)(a-c)2 2(b-d)(b-d)2 20.0.所以所以0 0又因为又因为e e0 0，所以，所以 22ee.a cb d2211.a cb d22ee.a cb d类型二类型二 利用不等式的性质比较大小利用不等式的性质比较大小【典例典例】设设a0a0，b0b0且且abab，P=aP=aa ab bb b，Q=aQ=ab bb ba a，

20、试比较，试比较P P与与Q Q的大小的大小.【解题探究解题探究】本例中，为了比较本例中，为了比较P P与与Q Q的大小需要用什的大小需要用什么方法？么方法？提示：提示：需要用作商法，先比较需要用作商法，先比较 与与1 1的大小关系，再由的大小关系，再由不等式的性质得出不等式的性质得出P P与与Q Q的大小关系的大小关系.PQ【解析解析】因为因为a0a0，b0b0，所以，所以P0P0，Q0Q0，因为因为 =a=aa-ba-bb bb-ab-a=ab=ab，所以当所以当ab0ab0时，时，11，a-b0a-b0，则，则 11，于是，于是PQ.PQ.当当ba0ba0时，时，0 10 1，a-b0a-

21、b11，于是，于是PQ.PQ.综上所述，对于不相等的正数综上所述，对于不相等的正数a a，b b，都有，都有PQ.PQ.abb aPa bQa ba ba()b，aba ba()baba ba()b【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件变换条件)本例条件改为本例条件改为 结果如何？结果如何？【解析解析】因为因为(x+2)(x+5)-(x+3)(x+4)=-2(x+2)(x+5)-(x+3)(x+4)=-20 0，且，且x-2x-2，Px 2x 5 ，Qx 3x 4 x2 ，22Px 2x 52x 7 2x 2 x 5 ，22Qx 3x 42x 7 2x 3 x 4 ，所以所以0(x+2)(x

22、+5)0(x+2)(x+5)(x+3)(x+4)(x+3)(x+4)，所以所以所以所以P P2 2Q Q2 2，又因为，又因为P0P0，Q0Q0，所以，所以P PQ.Q.x 2 x 5x 3 x 4，2.(2.(变换条件、改变问法变换条件、改变问法)本例条件改为已知本例条件改为已知a0a0，且，且a1a1，试比较试比较loglog0.5 0.5 与与loglog2 2 的大小的大小.【解析解析】(1)(1)当当a1a1时，时，a a2 2(a-1)0(a-1)0，所以，所以32a 1a 1P aQ a，PQPQ 322a 1a 1a a 1PaaQ，2a a 10Paa1.Q(2)(2)当当0

23、a10a1时，时，a a2 2(a-1)0(a-1)1 1，所以，所以loglog0.50.5 0 0，loglog2 2 0 0，所以所以loglog0.50.5 loglog2 2 .2a a 10Paa1.QPQPQPQPQPQ【方法技巧方法技巧】比较大小的常用方法比较大小的常用方法(1)(1)作差法作差法.作差后通过分解因式、配方等手段，充分利用作差后通过分解因式、配方等手段，充分利用a a2 2，|a|a|，的非负性判断差的符号，然后根据以下结论判断大的非负性判断差的符号，然后根据以下结论判断大小：若小：若A-B0A-B0，则，则ABAB；若；若A-B=0A-B=0，则，则A=BA=

24、B；若；若A-B0A-B0，则，则AB.A0B0，11，则，则ABAB；若；若B0B11，则，则AB.Abab，bcbc，则，则acac，一般选择，一般选择0 0或或1 1为中间量为中间量.ABAB(4)(4)乘方转化法乘方转化法.对于两个根式大小的比较，可以利用对于两个根式大小的比较，可以利用ab0ab0a an nbbn n(nN(nN，n1)n1)，ab0ab0 (nN (nN，n2)n2)转化转化后比较大小后比较大小.nnab【补偿训练补偿训练】已知已知a0a0且且a1a1，p=logp=loga a(a(a3 3+1)+1)，q=logq=loga a(a(a2 2+1)+1)，比较

25、，比较p p与与q q的大小的大小.【解析解析】p-q=logp-q=loga a(a(a3 3+1)-log+1)-loga a(a(a2 2+1)+1)当当a1a1时，时，a a3 3+1a+1a2 2+1+1，所以，所以 11，所以，所以logloga a 00；当当0a10a1时，时，a a3 3+1a+1a2 2+1+1，所以所以 10.0.总之，总之，p-q0p-q0，所以，所以pq.pq.3a2a1log.a132a1a132a1a132a1a132a1a1【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件变换条件)本题条件改为本题条件改为a1a1，p=p=和和q=q=结果如何？结果如何？

26、【解析解析】因为因为p-q=p-q=a 1a aa 1a 1a(aa 1)11a 1a 1.a 1aaa 1a 1aaa 1 因为因为a1a1，所以，所以0a-1a+10a-100，所以所以p-q0.p-q0a0，p=ap=aa a，q=3q=3a a，且，且pqpq，试求，试求a a的取值范围的取值范围.【解析解析】因为因为q=3q=3a a00，且，且pq.pq.所以所以 当当0a30a3时，时，0 103a3时，时，11，则，则 11，即，即pq.pq.综上知，综上知，a3.a3.aaapaa()1q33，a3aa()3a3aa()3类型三类型三 利用不等式的性质求取值范围利用不等式的性

27、质求取值范围【典例典例】1.1.设实数设实数x x，y y满足满足3xy3xy2 288，4 94 9，则则 的取值范围是的取值范围是_._.2.2.已知已知-6a8-6a8，2b32b3，分别求，分别求2a+b2a+b，a-ba-b，的范围的范围.2xy34xyab【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，中，与与 的关系是什么？求范围的步骤的关系是什么？求范围的步骤是什么？是什么？提示：提示：由由 可先求可先求 和和 的范围，再求的范围，再求 的范围的范围.34xy22x1y xy，32242xx1()yyxy22x()y21xy34xy2.2.典例典例2 2中，求中，求2a+b2a+

28、b，a-ba-b，的取值范围的基本步骤的取值范围的基本步骤分别是什么？分别是什么？提示：提示：对于对于2a+b2a+b的范围可先求的范围可先求2a2a的取值范围，再求的取值范围，再求2a+b2a+b的取值范围；对于的取值范围；对于a-ba-b的范围可先求的范围可先求-b-b的取值范围，再的取值范围，再求求a-ba-b的取值范围；对于的取值范围；对于 的范围可先求的范围可先求 的取值范围，的取值范围，再求再求 的取值范围的取值范围.ababab1b【解析解析】1.1.，由，由4 94 9，3xy3xy2 288，得得16()16()2 28181，得得2 27.2 27.答案：答案：2 2，27

29、2732242xx1()yyxy2xy2xy21118xy3，34xy2.2.因为因为-6a8-6a8，所以，所以-122a16.-122a16.又又2b32b3，所以，所以-102a+b19.-102a+b19.因为因为2b32b3，所以，所以-3-b-2.-3-b-2.又又-6a8-6a8，所以，所以-9a-b6.-9a-b6.因为因为2b32b3，所以，所以111.3b2(1)(1)当当0a80a8时，时，0 40 4；(2)(2)当当-6a0-6a0时，时，-3 0.-3 0.综合综合(1)(2)(1)(2)得得-3 4.-3 4.ababab【延伸探究延伸探究】本典例本典例2 2条件

30、改为条件改为12a6012a60，15b3615b36，结，结果如何？果如何？【解析解析】因为因为12a6012a60，所以，所以242a120.242a120.又因为又因为15b3615b36，所以，所以392a+b156392a+b156，即即2a+b2a+b的取值范围是的取值范围是(39(39，156).156).因为因为15b3615b36，所以，所以-36-b-15.-36-b-15.又因为又因为12a6012a60，所以所以12-36a-b60-1512-36a-b60-15，所以，所以-24a-b45-24a-bbcabc，求，求 的取值范围的取值范围.ca【解析解析】因为因为f

31、(1)=0f(1)=0，所以，所以a+b+c=0a+b+c=0，所以所以b=-(a+c).b=-(a+c).又因为又因为abcabc，所以所以a-(a+c)ca-(a+c)c，且，且a0a0，c0.c0.所以所以 即即 a cc1aa，cc11.aa 2c1c1a2.ca22.a，所以解得【补偿训练补偿训练】已知函数已知函数f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+bx，且，且1f(-1)21f(-1)2，2f(1)42f(1)4，求，求f(-2)f(-2)的取值范围的取值范围.【解析解析】所以所以f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).

32、又因为又因为1f(-1)21f(-1)2，2f(1)42f(1)4，所以所以53f(-1)+f(1)1053f(-1)+f(1)10，故，故5f(-2)10.5f(-2)10.1af1f 1f1a b21f 1a bbf 1f12 ，即，易错案例易错案例 利用不等式的性质求代数式的取值范围利用不等式的性质求代数式的取值范围【典例典例】(2015(2015宁波高一检测宁波高一检测)若若-，则则-的取值范围是的取值范围是()()A.(-A.(-，)B.(0B.(0，)C.(-C.(-，0)0)D.0D.022【失误案例失误案例】【错解分析错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？分析解题过程，你知

33、道错在哪里吗？提示：提示：错误的根本原因是忽略了错误的根本原因是忽略了 这个条件这个条件.实际实际上，上，-0.0.【自我矫正自我矫正】选选C.C.因为因为-，-，所以所以-.-.又因为又因为，所以，所以-0-0，所以，所以-0.-0.2222【防范措施防范措施】1.1.注意变量之间的内在联系注意变量之间的内在联系在研究范围问题时，一定要看清变量间有无内在联系，在研究范围问题时，一定要看清变量间有无内在联系，要准确确定独立变量，以免产生错误范围要准确确定独立变量，以免产生错误范围.2.2.关注不等式性质的应用条件关注不等式性质的应用条件利用不等式的性质时，要特别注意性质成立的条件，利用不等式的性质时，要特别注意性质成立的条件，如同向不等式相加，不等号方向不变，两边都是正数如同向不等式相加，不等号方向不变，两边都是正数的同向不等式才能相乘的同向不等式才能相乘.对于异向不等式可利用不等式对于异向不等式可利用不等式的对称性或在不等式的两边同乘以的对称性或在不等式的两边同乘以-1-1转化为同向不等转化为同向不等式式.