《空间向量的数量积》课件新人教A版选修21.ppt

1、空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算1)1)两个向量的夹角的定义两个向量的夹角的定义:O OA AB Ba a b b,a bb a 这样规两个夹(2)在(2)在的的定定下下，向向量量的的角角就就被被唯唯一一确确定定了了，并并且且2 2）两个向量的数量积）两个向量的数量积注注:两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而不是向量.规定规定:零向量与任意向量的数量积等于零零向量与任意向量的数量积等于零.、仍仍是是、的 的模模。aba b注注:性质性质 是证明两向量垂直的依据；是证明两向量垂直的依据；性质性质是求向量的长度（模）的依据；是求向量的长度（模）的依据；(3)(3)空

2、间两个向量的数量积性质空间两个向量的数量积性质(4)(4)空间向量的数量积满足的运算律空间向量的数量积满足的运算律注意：注意：数量积不满足结合律即数量积不满足结合律即)()a bcab c （课堂练习课堂练习222222)()()()3)()()4)()a bcab cpqp qpqpqpq 135 2变变：若若呢呢？a b ADFCBE1(2)(3)(4)图间边条边对线长点别点计（）3.如3.如：已已知知空空四四形形的的每每和和角角都都等等于于1，1，、分分是是、的的中中。算算：ABCDEFABADEF BAEF BDEF DCEF ACDCBDABCA解：解：ACABADAA 222222

3、22|()|2()4352(0107.5)85ACABADAAABADAAAB ADAB AAAD AA|85AC 4435ABCDA B C DABADAABADBAADAA 0000、已已知知在在平平行行六六面面体体中中，=90,=60，=90,=60，AC求求对对角角线线的的长长度度。ABCD3.已知线段已知线段AB、BD在平面在平面 内内,BDAB,线段线段AC ,如果如果ABa,BDb,ACc,求求C、D间的距离间的距离.222abc 第第3题题:12第第4题题:3.3.已知线段已知线段 、在平面、在平面 内，线段内，线段 如果，求、之间的距离如果，求、之间的距离.ABBD BDAB

4、 AC ,ABaBDbACcCDcab CABD解：解：22222222|()|CDCAABBDCAABBDabc 222CDabca b a b,a b 另外另外,空间向量的运用还经常用来判定空间垂空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系直关系,证两直线垂直线常可转化为证明以这两证两直线垂直线常可转化为证明以这两条线段对应的向量的数量积为零条线段对应的向量的数量积为零.P O A la 证明：证明：如图如图,已知已知:,POAOllOA射射影影且且求证：求证：lPA 在直线在直线l上取向量上取向量 ,只要证只要证a 0a PA ()0a PAaPOOAa POa OA ,aPAl 即即PA.

5、PA.为为 P O A la 0,0a POa OA 逆命题成立吗?P O A la 分析分析:同样可用向量同样可用向量,证明思证明思路几乎一样路几乎一样,只不过其中的加只不过其中的加法运算用减法运算来分析法运算用减法运算来分析.分析：要证明一条直线与一个平面分析：要证明一条直线与一个平面垂直垂直,由直线与平面垂直的定义可由直线与平面垂直的定义可知知,就是要证明这条直线与平面内就是要证明这条直线与平面内的的任意一条直线任意一条直线都垂直都垂直.例例:(试用试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)已知直线已知直线m,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相

6、交直线,如果如果 m,n,求证求证:.lll lmngm g m l 取已知平面内的任一条直线取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方拿相关直线的方向向量来分析向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件看条件可以转化为向量的什么条件?要要证的目标可以转化为向量的什么目标证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量怎样建立向量的条件与向量的目标的联系的条件与向量的目标的联系?lmngn g m l,gxmyn ,l gxl myl n 0,0,l ml n 0,.l glg 即即,lgll 即即 垂垂直直于于平平面面 内内任任一一直直线线.解解:在在 内作不与内作不与m,n重合的任一直

7、线重合的任一直线g,在在 ,l m n g 上取非零向量上取非零向量 因因m与与n相交相交,故向量故向量m,n,l m n g 不平行不平行,由共面向量定理由共面向量定理,存在唯一实数存在唯一实数 ,使使 (,)x y例例:已知直线已知直线m,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线,如果如果 m,n,求证求证:.lll 11110 00 01111例例：如如图图，在在直直三三棱棱柱柱-中中，=90=90，=30=30，=1=1，=6=6，是是棱棱的的中中点点。求求证证：。ABC A B CACBBACBCA AMCCA BAM BCC1A1B1AM111111121()()11022

8、12A B AMA AABACCMA A ACA A CMAB ACAB CMA AAAAB ACABCCA AAB AC 20113cos30623022A BAM 11111111100ABC A B CAAABCCCABCAAABCCABAAABCCAB 证证明明：-是是直直三三棱棱柱柱，平平面面，平平面面，00190,3023Rt ABCBCACBBACABAC中中，ABCD A B C DCDDCOAOAOCD 1 1、已已知知正正方方体体-，和和相相交交于于点点，连连接接，求求证证：练练习习：2、已已知知在在空空间间四四边边形形中中，求求证证：OABCOABCOBACOCAB 3

9、3、已已知知空空间间四四边边形形的的每每条条边边和和对对角角线线的的长长都都等等于于，点点、分分别别是是边边、的的中中点点。求求证证：，。ABCDaMNABCDMNABMNCD4 4、已已知知空空间间四四边边形形，求求证证：OABCOBOCAOBAOCOABC ODCBADABC1 1、如如图图，已已知知正正方方体体-，和和相相交交于于点点，连连接接，求求证证：ABCD A B C DCDDCOAOAOCD ()1()+CD 2 =00AO CDADDOCDD CDDO CD =ADCDDDDCAD CDAD DD AOCD 练练习习：证证明明：OABCOBAC 证证明明：由由已已知知，A A

10、B BC CO O 0000OA BC=,OB AC=OA(OCOB)=OB(OCOA)=所所以以OA OC=OA OBOB OC=OB OA 所所以以000OA OCOB OC=(OAOB)OC=BA OC=所所以以OCAB 所所 以以2、已已知知在在空空间间四四边边形形中中，求求证证：OABCOABCOBACOCAB NMABDC证明：因为证明：因为MNMAADDN 所以所以222()1110244AB MNAB MAADDNAB MAAB ADAB DNaaa MNAB同理，同理，MNCD 3 3、已已知知空空间间四四边边形形的的每每条条边边和和对对角角线线的的长长都都等等于于，点点、分

11、分别别是是边边、的的中中点点。求求证证：，。ABCDaMNABCDMNABMNCDOACB()|cos|cos|cos证证明明：因因为为OA BCOA OCOBOA OCOA OBOAOCOAOBOAOB|cos0OAOB OABC4 4、已已知知空空间间四四边边形形，求求证证：OABCOBOCAOBAOCOABC 小小 结：结：通过学习通过学习,体会到我们可以利用向量数量积解决立体体会到我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：几何中的以下问题：1 1、证明两直线垂直、证明两直线垂直;2 2、求两点之间的距离或线段长度、求两点之间的距离或线段长度;（3 3、证明线面垂直、证明线面垂直;）4 4、求两直线所成角的余弦值等等、求两直线所成角的余弦值等等.