《条件概率与独立性》课件2.ppt

1、1第三节第三节2一、条件概率 在概率论里，不仅需要研究某事件B 发生的概率P(B),还需要研究在另一个事件A发生的条件下，事件B 发生的概率，称它为条件概率，记为P(B|A).定义：对于两个事件A与B，如果P(A)0,称()(|)()P ABP B AP A 为在事件 A发生的条件下,事件 B 发生的条件概率.3古典概型中条件概率的计算事件数为k个,则条件概率(|)P B A/k nkm nm设试验E的基本事件总数为n,且所有基本事件的概率都相等,即样本空间 由n个等可能的样本点组成,事件A的基本事件数为m个,事件AB的基本故条件概率P(B|A)是在缩减后的样本空间中讨论.()()P ABP

2、A 4条件概率P(B|A)的计算方法:(1)按照条件概率的定义计算:()(|)()P ABP B AP A(2)在缩减后的样本空间中按古典概率的定义 计算.5例1.一批产品100件,有80件正品,20件次品,其中甲生产的为60件,有50件正品,10件次品,余下的40件均为乙生产.现从该产品中任取一件,记A=“正品”,B=“甲生产的产品”,写出概率P(A),P(AB),P(B|A).6例2 设袋中有7个黑球,3个白球,不放回摸取两次，如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的概率.若改为放回摸取，结果如何？解 设A,B分别表示第一、二次摸到白球,则 不放回:2(|).9P B A 放回:3(|

3、).10P B A 7例3 人寿保险公司常常需要知道存活到某一个年龄段的人在下一年仍然存活的概率根据统计资料可知，某城市的人由出生活到50岁的概率为0.90718，存活到51岁的概率为0.90135。问现在已经50岁的人，能够活到51岁的概率是多少？解记 A=活到50岁,BA 显然B=活到51岁,所以 P(A)=0.90718,P(B)=0.90135,从而()(|)()P ABP B AP A()()P BP A 0.901350.993570.90178 8不难验证条件概率具有以下三个基本性质：；0)|(BAP(1)非负性；1)|(BP(2)规范性(3)可列可加性设设nAA,1是是两两两两

4、不不相相容容的的事事件件，则则 iiiiBAPBAP)|()|(并由此推出条件概率的其他性质：；0)|()4(BP;)|(1)|()5(BAPBAP )|()|()|()|()6(212121BAAPBAPBAPBAAP )|(BAP)()(BPBAP)()()(BPABPBP )|(1BAP )()()|(BPABPBAP 9二、乘法公式二、乘法公式由条件概率的定义：即若P(B)0,则 P(AB)=P(B)P(A|B)()()|(BPABPBAP 若已知P(B),P(A|B)时,可以反过来求 P(AB).若P(A)0,则 P(AB)=P(A)P(B|A)乘法公式10推广到三个事件：若P(AB

5、)0,则有，)|()|()()(ABCPABPAPABCP P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2An-1)一般,与次序无关.注:乘法公式常用来计算交事件的概率!11设设BA,为任意两个事件，且已知为任意两个事件，且已知，5.0)(AP，6.0)(BP 4.0)|(ABP,求求(|)P B A 例1 解)|()()(ABPAPBAP)()()(BAPBPABP ；20.04.05.0 40.020.060.0 ()(|)()P ABP B AP A 0.40.5 0.8.12例2 某厂产品的废品率为4%,而合格品中有75%是一等品,求一等品率.解记 A：合格品；B：一

6、等品，,%96%41)(,AP由由题题意意，%75)|(ABPAB .BAB )()(BAPBP)|()(ABPAP ，72.075.096.0 即一等品率为72%.13例4 在空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为0.3；若甲机未被击落，则再进行还击，击落乙机的概率为0.4求在这几个回合中，甲机和乙机被击落的概率分别为多少？解记A：第一次进攻中，甲击落乙；B：第二次进攻中，乙击落甲；C：第三次进攻中，甲击落乙 由题意知 2.0)(AP,3.0)|(ABP,4.0)|(BACP,则甲机被击落的概率为)(BAP)|()(ABPAP;24.0

7、3.08.0 14例4 在空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为0.3；若甲机未被击落，则再进行还击，击落乙机的概率为0.4求在这几个回合中，甲机和乙机被击落的概率分别为多少？解2.0)(AP,3.0)|(ABP,4.0)|(BACP,乙机被击落的概率为)(CBAAP )|()|()()(BACPABPAPAP .424.04.07.08.02.0 )()(CBAPAP 15 设有两个事件A,B,一般来说,P(A|B)与P(A)是有差异的，但有时事件B的发生与否并不影响事件A发生的概率，即P(A|B)=P(A).显然 P(A|B)=P(A

8、)A=第二次掷出6点，B=第一次掷出6点，例如,将一颗均匀骰子连掷两次，设三、事件的独立性 由乘法公式知，有 P(AB)=P(B)P(A|B)P(AB)=P(A)P(B)16若两事件A、B满足 P(AB)=P(A)P(B)则称A、B独立，或称A、B相互独立.定义注:相互独立与互不相容的关系 两事件相互独立)()()(BPAPABP 两事件互不相容 AB二者之间没有必然联系例：掷两次硬币事件A=“第一次正面向上”事件B=“第二次正面向上”显然，A与B相互独立，但A与B不是互不相容的.17 这就是说,事件B发生与否并不会影响事件A发生的概率.推论1 设A与B为两个事件,P(B)0,则A与B相互独立

9、的充要条件是()()P A BP A 18,相相互互独独立立与与若若事事件件BA则下列各对事件也相互独立.,BA与与,BA与与.BA与与A、B独立证明()()P ABP BAB)()(ABPBP )()()(BPAPBP 1()()P AP B.)()(BPAP 由独立的对称性,可得其余结论.推论219 推论3 若事件A与B的概率都不等于0,则以下式子等价:(|)()P B AP B(|)()P B AP B(|)()P A BP A(|)()P A BP A 这就是说,事件A发生与否并不会影响事件B发生的概率,事件B发生与否并不会影响事件A发生的概率.定义1.4 对于事件A与B,若其中一个事

10、件发生的概率不受另一个事件发生与否的影响,则称A与B是相互独立的.20例 甲乙二人独立地对目标各射击一次，设甲射中目标的概率为0.5，乙射中目标的概率为0.6，求目标被击中的概率解 P ABP AP BP AB P AP BP A P B 0.50.60.5 0.6 0.8 设A,B分别表示甲,乙击中目标,显然A与 B相互独立,A+B表示目标被击中.21推广到n个事件的独立性定义,可类似写出：),()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP.,21为为相相互互独独立立的的事事件件则则称称nAAA具有等式具有等式任意任意如果对于任意如果对于任意个事件个事件是是设设,1),1(,21

11、21niiinkknAAAkn 定义1.522三个事件相互独立性的概念P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)定义 对三个事件A,B,C，如果下列四个等式同时成立，则称A,B,C相互独立.23三事件两两独立的概念,()()(),()()(),()()(),.A B CP ABP A P BP BCP B P CP ACP A P CA B C 定定义义设设是是三三个个事事件件 如如果果满满足足等等式式则则称称事事件件两两两两独独立立注意相互独立两两独立24例 一个袋内装有4个球,其中全红、全黑、全白色的球各一个，

12、另一个是涂有红、黑、白三色的彩球.从中任取一个,记事件A、B、C分别表示取到的球上涂有红色、黑色、白色.试判断事件A、B、C两两独立但不相互独立.25 需要说明的是，我们一般不是根据定义来判断事件的独立性，而是从实际问题出发，如果事件之间无甚关联，则假定事件之间相互独立.12,nA AAn定定义义1 1.6 6 若若为为 个个事事件件 如如果果它它们们中中任何一个事件发生的概率都不受其余事件发生与否的影响,则称事件12,nA AA相相互互独独立立.26四个推论1。,)2(,21相相互互独独立立若若事事件件 nAAAn1A则将则将们们各各自自的的对对立立中中任任意意多多个个事事件件换换成成它它n

13、AA,2事件,.个个事事件件仍仍相相互互独独立立所所得得的的 n3。,)2(,21相互独立相互独立若事件若事件 nAAAn则1212()()()()nnP A AAP AP AP A 2。,)2(,21相互独立相互独立若事件若事件 nAAAn则其中任意k个事件也相互独立.27设设事事件件nAAA,21相相互互独独立立，则则nAAA,21至至少少发发生生其其一一的的概概率率可可按按下下列列方方法法来来求求：)(21nAAAP )(121nAAAP )()()(121nAPAPAP .)(1)(1)(1 121nAPAPAP )(121nAAAP 推论推论4 4 利用事件的独立性计算概率利用事件的

14、独立性计算概率28例 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？将三人编号为1，2，3，所求概率为记 Ai=第i个人破译出密码 i=1,2,3解123)(321AAAP )()()(1321APAPAP.534332541 “三个臭皮匠，顶个诸葛亮.”29例(保险赔付)设有n个人向保险公司购买人身意外保险(保险期为1年)，假定投保人在一年内发生意外的概率为0.01（1）求保险公司赔付的概率；（2）当n为多大时，使得以上赔付的概率超过 0.5.解(1)1,2,iAiin记记 第第 个个投投保保人人出出现现意意外外A 保保险险公公司司赔赔付付则则由由实实际际问问题题可可知知，P A12,nA AA相相互互独独立立1,niiAA 且且因此 10.99n11niiPA 11niiP A 30例(保险赔付)设有n个人向保险公司购买人身意外保险(保险期为1年)，假定投保人在一年内发生意外的概率为0.01（1）求保险公司赔付的概率；（2）当n为多大时，使得以上赔付的概率超过 0.5.lg2684.162lg99n 解解得得685.n 即即当当投投保保人人数数时时，保保险险公公司司有有大大于于一一半半的的概概率率赔赔付付解(2)由题意 10.990.5nP A 0.990.5n 即即感谢下感谢下载载