全国青年教师数学大赛高中数学优秀教案、教学设计及说课稿《正切函数的图象与性质》.pdf
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1、课题:正切函数的图像与性质课题:正切函数的图像与性质 教材:上海教育出版社高中一年级第二学期(试用本)第六章第二节教材:上海教育出版社高中一年级第二学期(试用本)第六章第二节 授课教师:上海市敬业中学 授课教师:上海市敬业中学 张丽霞 教学目标 教学目标(1)理解正切函数的定义及正切函数的图像特征,研究并掌握正切函数的基本性质(2)在探究正切函数基本性质和图像的过程中,渗透数形结合的思想,形成发现问题、提出问题、解决问题的能力,养成良好的数学学习习惯(3)在解决问题的过程中,体验克服困难取得成功的喜悦 教学重点 教学重点 掌握正切函数的基本性质 教学难点 教学难点 正切函数的单调性及证明 教学
2、方法教学方法 教师启发讲授,学生积极探究 教学手段 教学手段 计算机辅助 教学过程教学过程 一、一、设置疑问,引入新课 设置疑问,引入新课 1、正切函数的定义 有同学,类比正弦函数、余弦函数的定义,定义了一个正切函数:对于任意一个实数对于任意一个实数x,都有唯一确定的值,都有唯一确定的值tan x与它对应,按照这个对应法则所建立的函数,表示为与它对应,按照这个对应法则所建立的函数,表示为tanyx,叫做正切函数,叫做正切函数 大家认为这个定义是否完善?大家认为这个定义是否完善?强调:强调:,2xkkZ 1开公开课备亮点找素材尽在高中数学公开课优质课信息融合课QQ群865257936(设计意图:
3、,2xkkZ,是学生容易出错的地方,通过学生之间的自我纠错,理解不能取,2kkZ的理由)今天我们就要研究正切函数tanyx(,2xkkZ)的图像与性质 2、作函数图像的常用的方法是什么?(1)描点法是作函数图像最基本的方法;(2)利用基本初等函数图像的变换作图 大家认为应该选择哪种方法呢?学生的回答会选择(1)教师引导:描点应该结合函数的性质,描关键点、特殊点 所以,首先研究函数的基本性质 二、主动探究,解决问题 二、主动探究,解决问题(一)利用定义,研究函数的性质(一)利用定义,研究函数的性质 学生自主研究探索正切函数的性质 1、定义域:|,2x xR xkkZ 学生可以迅速解决 2、值域:
4、R 请学生回答,并讲清楚理由,从而引出对正切线的复习 复习正切线:正切线是角 x 与 tanx 关系的直观体现,正切函数的性质融于其中 3、奇偶性:奇函数 学生会利用tan()tanxx 迅速做出判断 问:该函数是偶函数吗?2(可举反例说明不是偶函数)4、周期性:是最小正周期 学生会利用tan()tanxx,得到是函数的周期 教师提问:能否说明是最小正周期?引导学生思考能否利用周期函数的定义证明呢?反证法:假设存在00(0)TT是tanyx的周期,则|,2xx xR xkkZ 都有0tan()tanxTx取,则0 x 0tantan00T 0,TkkZ 00,0Tk1,这与kZ矛盾 从而,是正
5、切函数的最小正周期 5、单调性:函数在整个定义域上既不是增函数也不是减函数 有学生可能会在正切线的复习中,认为是个增函数 若学生这样回答,则可以请同学思考,是否正确?如何说明?有学生可能说因为是周期函数,所以不是单调函数,就请同学继续思考,周期函数不是单调函数的原因(举反例:121215,tanta442nxxxxxx这与单调性的定义矛盾)对每一个,在开区间kZ,22kk内,函数单调递增(可以先作图,通过图观察得到结论,然后证明)(二)结合性质,作出函数的图像(二)结合性质,作出函数的图像(1)根据正切函数的周期性,我们可以先画出一个合适的、长度为的区间上的图像,选择哪一个呢?选择区间,22
6、;简单说明选择的理由(2)借助于正切线,描点,然后用光滑的曲线顺次连接,得到函数在,22 上的图像 3(3)根 据 正 切 函 数 的 周 期 性,把 上 述 图 像 向 左、右 扩 展,得 到 正 切 函 数tan(,)2yxxRxkkZ且的图像 54321-1-2-3-4-5-6-7-8-8-6-4-22468 23 4-4 4-2-2-3 2-5 4-3 4-27 43 25 4O(三)观察图像,进一步研究性质(三)观察图像,进一步研究性质 请同学们认真观察正切函数的图像,发现有何特征?(正切函数的图像是它的性质的直观表现)1、正切函数的图像是被相互平行的直线 x=k+2,kZ 所隔开的
7、无穷多支形状完全相同的曲线组成的 2、对每一个,在开区间kZ,22kk内,函数单调递增(同学思考,完成证明)3、正切函数的图像关于原点对称;(问:还有其他的对称中心吗?)三、通过练习,巩固基础 三、通过练习,巩固基础 例 1已知函数 y=tanx,(1)若,3 4x ,求 y 的取值范围;(2)若0,22x,求 y 的取值范围 说明说明:(1)利用函数在区间,3 4 上单调递增得到答案 4(2)把 y=tanx 在区间0,22上的图像不断向左、右扩展,也可得到正切函数tan(,)2yxxRxkkZ且的图像因此,有同学说正切函数在一个周期上递增是错误的也可以对照说明,作正切函数图时选择,2 2
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