青年教师比赛-优秀设计及说明-空间向量的夹角和距离.pdf
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1、 96 空间向量的夹角和距离公式 96 空间向量的夹角和距离公式 南昌大学附属中学 高莹 南昌大学附属中学 高莹 三维目标:三维目标:知识与技能:知识与技能:使学生知道如何建立空间直角坐标系,掌握向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式,并会用这些公式 解决有关问题;使学生经历对从生活中如何抽象出数学模型的过程,从而提高分析问题、解决问题的能力.过程与方法:过程与方法:通过采用启发探究、讲练结合、分组讨论等教学方法使学生在积极活跃的思维过程中,从“懂”到“会”到“悟”.情感、态度和价值观:情感、态度和价值观:通过自主探究与合作交流的教学环节的设置,激发学生的学习热情和求知欲,充分
2、体现学生的主体地位;通过数形结合的思想和方法的应用,让学生感受和体会数学的魅力,培养学生“做数学”的习惯和热情.教学重点:教学重点:夹角公式、距离公式 教学难点:教学难点:数学模型的建立 关键:关键:将生活中的问题转化为数学问题,建立恰当的空间直角坐标系,正确写出空间向量的坐标.教具准备:教具准备:多媒体投影,实物投影仪.教学过程:教学过程:(一)(一)创设创设情境,新课导入 情境,新课导入 2008 年 5 月 16 日,南昌可以说是万人空巷,大家都把自己的爱国热情聚集在圣火的传递上,让我们值得骄傲的是火炬传递中的一站就是我们的南昌大学,其中途经我市雄伟而壮观的生米大桥,为记录传递过程,我校
3、派了小记者在船上进行全景拍摄,出现了这么一个问题.引例:引例:在离江面高 30 米的大桥上,火炬手由东向西以 2 m/s 的速度前进,小船以 1 m/s的速度由南向北匀速行驶,现在火炬手在桥上点以东 30 米的点处,小船在水平 D点以南方向 30 米的 A 处(其中水面)1D1C1D D1 开公开课备亮点找素材尽在高中数学公开课优质课信息融合课QQ群865257936诚朴信雅 恒毅乐巧 求(1)6s 后火炬手与小船的距离?D1C1DANM (2)此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值?(不考虑火炬手与小船本身的大小).今天我们从另一个角度来分析这个问题.分析:建立数学模型 分析:建立数学模型
4、问题(1)转化为:如何求空间中两点间的距离?问题(2)转化为:如何求空间中两条直线所成角的余弦值?1、空间两点间的距离公式1、空间两点间的距离公式 2 111222(,)(,),A x y zB xyz已知:,则 212121,ABxx yy zz 22212121()()(ABAB ABxxyyzz 2)z 22,212121()()(A Bdxxyyzz2)2、夹角公式 2、夹角公式 设,111222,ax y zbxyz则,aOA bOB cos,a ba ba b 12121 222222111222x xy yz z2xyzxyz (二二)例题示范,形成技能例题示范,形成技能 例 1
5、:例 1:在离江面高30米的大桥上,火炬手由东向西以2 m/s的速度前进,小船以1 m/s的速度由南向北匀速行驶,现在火炬手在桥上点以东30米的C点处,小船在水平D点以南方向30米的A处(其中水面)1D11D D求(1)6s后火炬手与小船的距离?(2)此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值?(不考虑火炬手与小船本身的大小).x y O 111(,)A x y zaa bB222(,)xyz诚朴信雅 恒毅乐巧 解:解:建立如图空间直角坐标系,则 130,0,0,0,30,30AC 3 0,18,30,24,0,0MN;(1)222241830MN 30 2m(2).124,18,30,30,30
6、,30MNAC 111cos,MN ACMN ACMNAC 2222430183030302 6.530 2303030 此题所求的是空间两条直线所成角的余弦值,而不是两个空间向量夹角的余弦值,两者有什么区别?我们又如何转化为本题的结论?(三三)学生互动学生互动 巩固提高巩固提高 变式训练:变式训练:实际上,我们刚刚就是在一个正方体中讨论两点间的距离,两条直线所成的角,而在正方体中还有许多的点与线,例例 2:(1)若G为MN的中点,求GB两点间的距离.(2)若1111114ABB ED F,求1BE与所成的角的余弦值 1DF(1)解:(1)解:设G点的坐标为,则(,)G x y z 12DGD
7、MDN 10,18,3024,0,02 .12,9,15 12,9,15,30,30,0GB,2221821153 110.GB(2)解:(2)解:如图,14530,30,0,30,302BE 诚朴信雅 恒毅乐巧 1150,0,0,0,302DF.1115150,30,0,3022BEDF .111111cos,BEDFBE DFBEDF 151530 301522.1715 17 15 1722 请在上面例题的基础上,各编一个关于求夹角和距离的题目.拓展提高请在上面例题的基础上,各编一个关于求夹角和距离的题目.拓展提高:我们知道平面上到两点距离相等的点的轨迹是一条直线,那么猜想空间上到两点距
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