102等腰三角形课件.pptx

1、 10.2 10.2 等腰三角形（等腰三角形（1 1）w你还记得我们探索过的等腰三角形你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗的性质吗?w定理定理:等腰三角形顶角的平分线等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线底边上的中线，底边上的高互相重合，底边上的高互相重合.w你能利用已有的公理和定理证明这你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗些结论吗?议一议议一议w定理定理:等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等(等边对等角等边对等角).).ACB12ACBD 回顾与思考回顾与思考定理定理:等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等(等边对等角等边对等角).ACB已知已知:如图如图,在在ABC

2、中中,AB=AC.求证求证:B=C.AB=AC,BD=CD,AD=AD,ABD ACD（SSS）.B=C（全等三角形的对（全等三角形的对应角相等）应角相等）.D此时此时AD还是还是什么线什么线?证明证明:取底边取底边BC的中点的中点D，连接，连接AD.你还有其他证明方法吗？与同伴进行交流.定理定理:等腰三角形顶角的平分等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的线、底边上的中线、底边上的高互相重合高互相重合.ACBD12AB=AC,1=2(已知已知)，BD=CD,ADBC.AB=AC,BD=CD，1=2,ADBC.想一想想一想1.如图如图,在在ABD中中,C是是BD上的一点上的一点,且且AC

3、BD,AC=BC=CD.(1)求证求证:ABD是等腰三角形是等腰三角形.(2)求求ABD的度数的度数.ABCD课内练习课内练习前面已经证明了前面已经证明了“等边对等角等边对等角”，反过来，反过来，“等角对等边等角对等边”成立吗成立吗?即即有两个角相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形吗吗?ACB已知已知:如图如图,在在ABC中中,BC.求证求证:AB=AC.如：作如：作BCBC边上的中线；边上的中线；作作A A的平分线的平分线 作作BCBC边上的高边上的高.想一想想一想定理：定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边等角对等边）.AC

4、B在在ABC中，中，C B（已知），（已知），AB=AC（等角对等边）（等角对等边）.定理证明定理证明这又是一个判定这又是一个判定两条两条线段相等的线段相等的方法方法.1.如图如图,ABC中中,D，E分别是分别是AC，AB边上的点边上的点,BD与与CE交于点交于点O,给出下列四个条件给出下列四个条件:EBO=DCO，BEO=CDO，BE=CD，OB=OC.(1)上述四个条件中上述四个条件中,哪两个条件可判定哪两个条件可判定ABC是等腰三角是等腰三角形形(用序号写出所有情形用序号写出所有情形).(2)选择的（选择的（1）小题的一种情形）小题的一种情形,证明证明ABC是等腰三角形是等腰三角形.BA

5、EDCO;w在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等）线、高等）.w与同伴交流你在探索思路过程中的具体做法.w你能发现其中的一些相等的线段吗你能发现其中的一些相等的线段吗?w你能发现其中的一些相等的角吗你能发现其中的一些相等的角吗?ACBw你能证明发现的结论吗你能证明发现的结论吗?DEACBMNACBPQ 想一想想一想E2 例例1 求证求证:等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底角的平分线相等.证明证明:AB=AC(已知已知),ABC=ACB(等边对等角等边对等角).又又1=ABC,2=ACB(已知已知),1=2(等式性质等式性质).在在

6、BDC与与CEB中中 ACB=ABC（已知）（已知）,BC=CB（公共边）（公共边）,1=2（已证）（已证）,BDC CEB（ASA）.BD=CE(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等).ACB 已知已知:如图如图,在在ABC中中,AB=AC,BD,CE是是ABC的角的角平分线平分线.求证求证:BD=CE.2121D1例题解析例题解析例例2 求证求证:等腰三角形两腰上的中线相等等腰三角形两腰上的中线相等.证明证明:AC=AB(已知已知),ABC=ACB(等边对等角等边对等角).又又CM=AC,BN=AB(已知已知),CM=BN(等式性质等式性质).在在BMC与与CNB中，中，BC=CB

7、（公共边）（公共边）,MCB=NBC（已证）（已证）,CM=BN（已证）（已证）,BMC CNB（SAS）.BM=CN(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等).已知已知:如图如图,在在ABC中中,AB=AC,BM,CN是是ABC两腰上的中线两腰上的中线.求证求证:BM=CN.2121ACBMN命题证明命题证明例例3 求证求证:等腰三角形两腰上的高相等等腰三角形两腰上的高相等.证明证明:AB=AC(已知已知),ABC=ACB(等边对等角等边对等角).又又 BP,CQ是是ABC两腰上的高两腰上的高(已知已知),BPC=CQB=900(高的定义高的定义).在在BPC与与CQB中，中，BPC=

8、CQB（已证）（已证）,PCB=QBC（已证）（已证）,BC=CB（公共边）（公共边）,BPC CQB（AAS）.BP=CQ(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等).已知已知:如图如图,在在ABC中中,AB=AC,BP,CQ是是ABC两腰上的高两腰上的高.求证求证:BP=CQ.ACBPQ命题证明命题证明2.现有等腰三角形纸片现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点如果能从一个角的顶点出发出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此时的等腰三角形顶角的度数问此时的等腰三角形顶角的度数?90，36，108鲁教八年级下鲁教八年级下 6.2(2)10.2

9、 10.2 等腰三角形（等腰三角形（2 2）议一议议一议 （1）一个等腰三角形满足什么条件时便成）一个等腰三角形满足什么条件时便成了等边三角形？了等边三角形？（2）你认为有一个角等于）你认为有一个角等于60的等腰三角形的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴进行交流把你的证明思路与同伴进行交流.w定理定理:有一个角是有一个角是60的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形.证明证明:AB=AC,B=60(已知已知),C=B=60(等边对等角等边对等角).A=600(三角形内角和定理三角形内角和定理).A=B（等式性质）（等式

10、性质）.AC=CB（等角对等边）（等角对等边）.AB=BC=AC（等式性质）（等式性质）.ABC是等边三角形是等边三角形(等边三角形的定义等边三角形的定义).已知已知:如图如图,在在ABC中中,AB=AC,B=60.求证求证:ABC是等边三角形是等边三角形.ACB600命题证明命题证明w定理定理:有一个角是有一个角是60的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形.在在ABC中中,AB=AC,B=60(已知已知)，ABC是等边三角形是等边三角形(有一个角是有一个角是60的等腰三角形是等边三的等腰三角形是等边三角形角形).这又是一个判定这又是一个判定等边三角形等边三角形的根据的根据.ACB6

11、00回顾与反思回顾与反思w定理定理:三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形.证明证明:A=B(已知已知),BC=AC(等角对等边等角对等边).又又B=C(已知已知),AC=AB(等角对等边等角对等边).AB=BC=AC(等式的性质等式的性质).ABC是等边三角形是等边三角形(等边三角形的定义等边三角形的定义).已知已知:如图如图,在在ABC中中,A=B=C.求证求证:ABC是等边三角形是等边三角形.ACB命题证明命题证明w定理定理:三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形.在在ABC中中,A=B=C(已知已知),ABC是等边三角形是等边三角形(

12、三个角都相等的三个角都相等的三角形是等边三角形三角形是等边三角形).ACB 回顾与反思回顾与反思u1 1 操作操作:用两个含有用两个含有3030角的三角尺，角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？你能拼成一个怎样的三角形？能证明你的结论吗？能证明你的结论吗？300300300300结论结论:在直角三角形中在直角三角形中,30,30角所对的直角边角所对的直角边等于斜边的一半等于斜边的一半.u能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.u由此你想到，在直角三角形中由此你想到，在直角三角形中,30,30角所对角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？的直角边与斜边有怎样的大小

13、关系？300300300做一做做一做w定理定理:在直角三角形中在直角三角形中,如果一个锐角等于如果一个锐角等于30,那么那么它所对的直角边等于斜边的一半它所对的直角边等于斜边的一半.已知已知:如图如图,在在ABC中中,ACB=90,A=30.求证求证:BC=AB.21300ABCD分析：突破如何证明分析：突破如何证明“线段的倍、分线段的倍、分”问题问题转转 化化“线段相等线段相等”问题问题命题的证明命题的证明证明证明:延长延长BC至至D,使使CD=BC,连接连接AD.ACB=90(已知已知),300ABCDACD=90(平角的定义平角的定义).在在ABC与与ADC中，中，BC=DC，ACB=A

14、CD（已证），（已证），AC=AC（公共边），（公共边），ABC ADC（SAS）.AB=AD.BAC=DAC=30,BAD=60.ABD是等边三角形是等边三角形(有一个角是有一个角是60的等腰三角形的等腰三角形是是 等边三角形等边三角形).BC=BD=AB(等式性质等式性质).2121命题的证明命题的证明w定理定理:在直角三角形中在直角三角形中,如果一个锐角等于如果一个锐角等于30,那么那么它所对的直角边等于斜边的一半它所对的直角边等于斜边的一半.在在ABC中中,ACB=90,A=30，BC=AB(在直角三角形中在直角三角形中,如果一个锐角等于如果一个锐角等于30,那么它那么它所对的直角边等

15、于斜边的一半所对的直角边等于斜边的一半).12ABC300回顾反思回顾反思解解:AB=AC,ACB=ABC=15,DAC=ABC+ACB=15+15=30(三角三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和).CD=AC=a(在直角三角形中在直角三角形中,如果一个锐角等于如果一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半那么它所对的直角边等于斜边的一半).ACBD15015021例例 已知已知:如图如图,在在ABC中中,已知已知AB=AC=2a,ABC=1515,CD,CD是腰是腰ABAB上的高，求上的高，求CDCD的长的长.2a2a例题解析例题解析

16、已知已知:如图如图,在在ABC中中,ACB90,A=30,CDAB,垂足为垂足为D.求证求证:BD=AB/4.ACBD300随堂练习随堂练习你能规范地写出你能规范地写出证明过程吗？你证明过程吗？你的证题能力有所的证题能力有所提高吗提高吗?等边三角形的判定等边三角形的判定:定理定理:有一个角是有一个角是60的等腰三角形是等边三角的等腰三角形是等边三角形形.定理定理:三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形.特殊直角三角形的性质特殊直角三角形的性质:定理定理:在直角三角形中在直角三角形中,如果一个锐角等于如果一个锐角等于30300 0,那么它所对的直角边等于斜边的一半那么它

17、所对的直角边等于斜边的一半.ACBD300300300ABC课堂小结课堂小结w小明说小明说,在一个三角形中，如在一个三角形中，如果两个角所对的边不相等果两个角所对的边不相等,那么那么这两个角也不相等这两个角也不相等.w你认为这个结论成立吗你认为这个结论成立吗?w如果成立如果成立,你能证明它吗你能证明它吗?CAB 即在即在ABC中中,如果如果ABAC,那么那么BC.想一想想一想w小明是这样想的小明是这样想的:w你能理解他的推理过程吗?CAB 假设假设B=C,那么根据那么根据“等角对等边等角对等边”得得AB=AC,与已知条件与已知条件ABAC相矛盾，相矛盾，因此假设不成立因此假设不成立,原命题成立

18、原命题成立.即即BC.想一想想一想先假设命题的结论先假设命题的结论反面反面成立，成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，已知条件相矛盾的结果，所以假设不成立所以假设不成立,原命题成立原命题成立.w你可要结识你可要结识“反证法反证法”这个新朋友噢这个新朋友噢!反证法是一种重要的数学证明方法反证法是一种重要的数学证明方法.在解决某些问题时常常会有出人意在解决某些问题时常常会有出人意料的作用料的作用.这种证明方法称为这种证明方法称为反证法反证法 (reduction to absurdity)(reduction to absurdity)假设

19、归谬结论开启智慧开启智慧w例例 如何证明这个结论如何证明这个结论:w如果如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数都是正数,且且a1+a2+a3+a4+a5=1,那么那么,这五个数中至少有这五个数中至少有一个大于或等于一个大于或等于1/5.用用反证法反证法来证来证:证明证明:假设这五个数假设这五个数全部全部小于小于1/5,那么这五那么这五个数的和个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于就小于1.这与已知这与已知这五个数的和这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾相矛盾.因此因此假设不成立假设不成立,原命题成立原命题成立,即这五个数中至少即这五个数中至少有一个大于或等于有一个大于或等于

20、1/5.例题讲解例题讲解用反证法证明：用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角一个三角形中不能有两个角是直角.已知：已知：ABC求证：求证：A，B，C中不能有两个角是直角中不能有两个角是直角证明：证明：假设假设A，B，C中有两个角是直角中有两个角是直角，不妨设不妨设A=B=90，则，则A+B+C=90+90+C180这与三角形内角和定理矛盾，这与三角形内角和定理矛盾，所以所以A=B=90不成立不成立所以一个三角形中不能有两个角是直角所以一个三角形中不能有两个角是直角随堂练习随堂练习用反证法证明用反证法证明:在一个三角形中在一个三角形中,至少有一个内角至少有一个内角小于或等于小于或等于60.证明证明:假设假设A,B,C是是ABC的三个内角的三个内角,且都大于且都大于60,则则A 60,B 60,C 60,A+B+C 180.这与三角形的内角和是这与三角形的内角和是1800定理矛盾定理矛盾.假设不成立假设不成立.在一个三角形中在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于至少有一个内角小于或等于60.随堂练习随堂练习课后课后作业作业课后作业